高等数学讲义Word格式文档下载.docx
《高等数学讲义Word格式文档下载.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等数学讲义Word格式文档下载.docx（38页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
（A）若为奇函数，则为偶函数。
（B）若为偶函数，则为奇函数。
（C）若为周期函数，则为周期函数。
（D）若为单调函数，则为单调函数。
解（B）不成立，反例
（C）不成立，反例
（D）不成立，反例
（A）成立。
证明为奇函数，
所以，为偶函数。
例3设，是恒大于零的可导函数，且，则当时，下列结论成立的是
（A）（B）
（C）（D）
解∵，∴单调减少
于是x<
b，则有，故（A）成立。
二、有关复合函数
1.已知，求
2.已知和，求
例1、已知和
求
解：
例2、已知，且，求
令，则，因此
于是，
1.2极限
一、有关无穷小量
1.有界变量乘无穷小（量）仍是无穷小（量）；
2.等价无穷小代换；
3.无穷小的阶的比较。
解原式
例2设当x→0时（1-cosx）ln（1+x2）是比xsinxn高阶的无穷小，而xsinxn是比高阶的无穷小，则正整数n等于
（A）1（B）2
（C）3（D）4
由题意可知，4>
n+1>
2，
∴n+1=3,n=2选（B）
例3设，则当x→0时，是的（）
（A）高阶无穷小（B）低阶无穷小
（C）同阶但不等价的无穷小（D）等价无穷小
解
选（C）
二、有关两个准则
准则1单调有界数列极限一定存在。
准则2夹逼定理。
例1设，证明存在，并求其值。
解∵
我，（几何平均值≤算术平均值）
用数学归纳法可知n>
1时，，∴有界。
又当n>
1时，，
，
，则单调增加。
根据准则1，存在
把两边取极限，得（舍去）得，
∴。
口诀（3）：
递推数列求极限；
单调有界要先证；
两边极限一起上；
方程之中把值找。
例2求。
解令，
则0<
xn<
yn，于是，
由夹逼定理可知，于是原极限为0。
三、有关两个重要公式
公式1、
公式2、
例1求。
解当x=0时，原式=1
当x≠0时，原式
=
=
例2设在内可导，且，，求c的值。
解:
则拉格朗日中值定理，有
其中ξ介于（x-1）与x之间，那么
于是，e2c=e,2c=1，则
口诀（4）：
函数之差化导数；
拉氏定理显神通。
四、用洛必达法则求极限
洛必达法则主要处理七种待定型极限：
“”型，“”型，“0·
∞”型，“∞-∞”型，
“1∞”型，“00”型和“∞0”型
口诀（5）：
待定极限七类型，分层处理洛必达。
第一层次：
直接用洛必达法则
“”型用洛必达法则Ⅰ
“”型用洛必达法则Ⅱ
第二层次：
间接用洛必达法则
“0·
∞”型例变为“”型
“∞-∞”型例变为“”型
第三层次：
间接再间接用洛必达法则
“1∞”型，“00”型，“∞0”型均为形式
而称为冪指函数，比较复杂。
口诀（6）：
冪指函数最复杂；
指数、对数一起上。
而上面三种类型化为,
这时一定是“0·
∞”型
再用第二层次的方法处理即可
例
解原式=
例2设函数连续，且，求
解原式=（分母令）
=（用积分中值定理）
=（ξ在0和x之间）
=.
口诀（7）：
变限积分是函数；
遇到之后先求导。
公式：
（当连续时）
例3高a>
0,b>
0常数，求
解先考虑它是“”型。
令
令型
因此，
于是，。
口诀（8）离散数列“洛必达”；
先要转化连续型。
五、求分段函数的极限
例求。
∴
口诀（9）：
分段函数分段点；
左右运算要先行。
六用导数定义求极限
例设曲线与在原点相切，求
解由题设可知，
于是
七用定积分定义求极限
（连续）
分析如果还想用夹逼定理中方法来考虑
而，
由此可见，无法再用夹逼定理，因此我们改用定积分定义来考虑。
解∵
而
由夹逼定理可知，
口诀（10）：
数列极限逢绝境；
转化积分见光明。
八、求极限的反问题
例1设，求a和b.
解由题设可知，∴1+a+b=0
再对极限用洛必达法则
例2、设在（0，+∞）内可导，>
0，
且满足，求
先用冪指函数处理方法
再用导数定义
取，
于是
这样
所以
再由，可知C=1，则
1.3连续
一、连续与间断
例1设，在内有定义，为连续，且，有间断点，则下列函数中必有间断点为
（A），（B），（C）不成立可用反例，,（D）成立可用反证法：
假若不然没有间断点，那么为两个连续函数乘积，一定连续故矛盾，所以一定有间断点
例2求的间断点，并判别其类型。
解，考虑
可见为间断点,是可去间断点，其它皆为第二类间断点。
二、闭区间上连续函数的性质（重点为介值定理及其推论）
例1设在上连续，且，，证明存在，使得
证令，则在上连续，，
根据介值定理推论，存在使，即证。
例2设在上连续，且，求证：
存在，使。
证∵在上连续，故有最大值M和最小值m，于是
根据介值定理，存在使
∴.
口诀（11）：
函数为零欲论证；
介值定理定乾坤。
升级会员 