第四讲 对数函数与指数函数经典难题复习巩固Word格式文档下载.docx
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当n是偶数时，正数的n次方根有，这两个数互为
±
（a>
0）
负数没有偶次方根
（2）两个重要公式．①
＝②（
）n＝（注意a必须使
有意义）．
2.幂的有关概念
①正分数指数幂：
＝（a＞0，m、n∈N*，且n＞1）；
②负分数指数幂：
＝＝（a＞0，m、n∈N*，且n＞1）．
③0的正分数指数幂等于,0的负分数指数幂．
y＝ax
a＞1
0＜a＜1
图象
定义域
R
值域
（0，＋∞）
3．指数函数的图象与性质
性
质
（1）过定点
（2）当x＞0时，；
x＜0时，
（2）当x＞0时，；
（3）在R上是
4．对数的概念
（1）对数的定义
如果，那么数x叫做以a为底N的对数，
记作，其中叫做对数的底数，叫做真数．
（2）两种常见对数
对数形式
特点
记法
常用对数
底数为
lgx
自然对数
lnx
5．对数的性质、换底公式与运算法则
性质
①loga1＝，②logaa＝，
③＝。
换底公式
logab＝（a，b，c均大于零且不等于1）
运算法则
如果a>
0，且a≠1，M>
0，N>
0，那么：
①loga（M·
N）＝，
②loga＝，
③logaMn＝nlogaM（n∈R）.
6.对数函数的定义、图象与性质
定义
函数（a>
0，且a≠1）叫做对数函数
图
象
a>
1
0<
a<
（1）定义域：
（2）值域：
（3）当x＝1时，y＝0，即过定点
（4）当0<
x<
1时，；
当x>
1时，
1时，当x>
1时，
y∈
y∈；
（5）在（0，＋∞）上为
7．反函数
考点一
有理指数幂的化简与求值
指数函数y＝ax（a>
0且a≠1）与对数函数（a>
0且a≠1）互为反函数，它们的图象关于直线对称．
三、专题训练：
计算下列各式
（1）
×
（－
）0＋
＋（
）6－
；
（2）
·
（3）
÷
（1－2
）×
.
[自主解答]
（1）原式＝
1＋
＝2＋4×
27＝110.
（2）
＝
＝a
（3）令
＝m，
＝n，
则原式＝
（1－
）·
m
＝m3＝a.
变式训练：
－（－
）0＋[（－2）3]
＋16
＋|－
|
（3）（－3
）
－10（
－2）－1＋（
－
）0.
解：
（1）原式＝（
）－1－1＋（－2）－4＋2－3＋
－1＋
＋
（2）原式＝
＝a0＝1.
（3）（3）原式＝（－1）
（3
＋1
＝（
＋（500）
＋2）＋1
＋10
－10
－20＋1
＝－
考点二
指数函数的图象
画出函数y＝|3x－1|的图象，并利用图象回答：
k为何值时，方程|3x－1|＝k无解？
有一解？
有两解？
[自主解答] 函数y＝|3x－1|的图象是
由函数y＝3x的图象向下平移一个单位
后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折
到x轴上方得到的，函数图象如图所示．
当k<
0时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图象无交点，即方程无解；
当k＝0或k≥1时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图象有唯一的交点，所以方程有一解；
当0<
k<
1时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图象有两个不同交点，所以方程有两解．
思考：
保持条件不变，讨论函数y＝|3x－1|的单调性.
由例2所作图象可知，函数
y＝|3x－1|在[0，＋∞）上为增函
数，在（－∞，0）上为减函数.
已知函数y＝（
）|x＋1|.
（1）作出函数的图象（简图）；
（2）由图象指出其单调区间；
（3）由图象指出当x取什么值时有最值，并求出最值．
（1）法一：
由函数解析式可得
y＝（
）|x＋1|＝
，
其图象由两部分组成：
一部分是：
）x（x≥0）
）x＋1（x≥－1）；
另一部分是：
y＝3x（x＜0）
y＝3x＋1（x＜－1）．
如图所示：
法二：
①由y＝（
）|x|可知函数是偶函数，其图象关于y轴对称，故先作出y＝（
）x的图象，保留x≥0的部分，当x<
0时，其图象是将y＝（
）x（x≥0）图象关于y轴对折，从而得出y＝（
）|x|的图象．
②将y＝（
）|x|向左移动1个单位，即可得y＝（
）|x＋1|的图象，如图所示．
（2）由图象知函数在（－∞，－1]上是增函数，在[－1，＋∞）上是减函数．
（3）由图象知当x＝－1时，有最大值1，无最小值．
考点三
指数函数的性质
已知函数f（x）＝
（1）若a＝－1，求f（x）的单调区间；
（2）若f（x）有最大值3，求a的值；
（3）若f（x）的值域是（0，＋∞），求a的取值范围．
[自主解答]
（1）当a＝－1时，f（x）＝
令g（x）＝－x2－4x＋3，
由于g（x）在（－∞，－2）上单调递增，在（－2，＋∞）上单调递减，
而y＝（
）t在R上单调递减，
所以f（x）在（－∞，－2）上单调递减，在（－2，＋∞）上单调递增，
即函数f（x）的递增区间是（－2，＋∞），
递减区间是（－∞，－2）．
（2）令h（x）＝ax2－4x＋3，y＝（
）h（x），由于f（x）有最大值3，所以h（x）应有最小值－1，因此必有
，解得a＝1
即当f（x）有最大值3时，a的值等于1.
（3）由指数函数的性质知，要使y＝（
）h（x）的值域为（0，＋∞）．应使h（x）＝ax2－4x＋3的值域为R，因此只能有a＝0.因为若a≠0，则h（x）为二次函数，其值域不可能为R.故a的取值范围是a＝0.
已知g（x）＝－（
）x＋4（
）x＋5，求该函数的定义域、值域和单调区间．
由g（x）＝－（
）x＋5＝－（
）2x＋4（
）x＋5.
∴函数的定义域为R，令t＝（
）x（t>
0）．
∴g（t）＝－t2＋4t＋5＝－（t－2）2＋9.
∵t>
0，∴g（t）＝－（t－2）2＋9≤9，
等号成立条件是t＝2，
即g（x）≤9，等号成立条件是（
）x＝2，
即x＝－1.
∴g（x）的值域是（－∞，9]．
由g（t）＝－（t－2）2＋9（t>
0），
而t＝（
）x是减函数，
∴要求g（x）的增区间实际上是求g（t）的减区间．
求g（x）的减区间实际上是求g（t）的增区间．
∵g（t）在（0,2]上递增，
在[2，＋∞）上递减，
由0<
t＝（
）x≤2，
可得x≥－1，由t＝（
）x≥2，可得x≤－1.
∴g（x）在[－1，＋∞）上递减，在（－∞，－1]上递增．
故g（x）的单调递增区间是（－∞，－1]，单调递减区间是[－1，＋∞）．
考点四
对数式的化简与求值
【例4】
（1）计算：
lg5（lg8＋lg1000）＋（
）2＋lg
＋lg0.06；
（2）化简：
log3
log5[
]；
（3）已知：
lgx＋lgy＝2lg（2x－3y），求
的值．
[自主解答]
（1）原式＝lg5（3lg2＋3）＋3（lg2）2－lg6＋lg6－2
＝3lg5·
lg2＋3lg5＋3（lg2）2－2
＝3lg2（lg5＋lg2）＋（3lg5）－2
＝3（lg2＋lg5）－2＝1.
（2）原式＝（log3
－1）·
log5（10－3－2）
－1）log55＝－
（3）∵lgx＋lgy＝2lg（2x－3y）
∴xy＝（2x－3y）2＝4x2＋9y2－12xy
即4x2－13xy＋9y2＝0
∴（4x－9y）（x－y）＝0，即4x＝9y，x＝y（舍去），
∴
＝2.
计算：
（1）（log32＋log92）·
（log43＋log83）；
（2）
（lg32＋log416＋6lg
）＋
lg
（1）原式＝（log32＋
log32）（
log23＋
log23）
＝（log32＋log3
）（log2
＋log2
＝log32
log2（
＝log3
log2
log32·
log23＝
[lg32＋2＋lg（
）6＋lg
]
[2＋lg（32×
）]＝
（2＋lg
[2＋（－1）]＝
考点五
对数值的大小比较
【例5】比较下列各组数的大小．
（1）log3
与log5
（2）log1.10.7与log1.20.7；
（3）已知
b<
c，比较2b,2a,2c的大小关系．
[自主解答]
（1）∵log3
<
log31＝0，而log5
>
log51＝0，
∴log3
log5
（2）法一：
∵0<
0.7<
1,1.1<
1.2，
∴0>
log0.71.1>
log0.71.2.
由换底公式可得log1.10.7<
log1.20.7.
作出y＝log1.1x与y＝log1.2x的图象，如图所示，两图象与x＝0.7相交可知
log1.10.7<
（3）∵y＝
x为减函数，
且
c，
∴b>
c.
而y＝2x是增函数，
∴2b>
2a>
2c.
设a、b、c均为正数，且2a＝
a，（
）b
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