线性代数模拟题及标准答案Word格式.docx

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3.当t=（）时，向量组线性相关。

①5②10

③15④20

4．已知向量组α1，α2，α3线性无关，则向量组（）线性无关。

①α1+2α2+α3,2α1+4α2+α3,3α1+6α2

②α1,α1+α2,α1+α2+α3

③α1+α2,α2+α3,α1+2α2+α3

④α1-α2,α2-α3,α3-α1

5.已知,B为三阶非零矩阵且AB=0,则（）.

①当t=4时,B的秩必为1②当t=4时,B的秩必为2

③当t≠4时,B的秩必为1④当t≠4时,B的秩必为2

6．设非齐次线性方程组AX=b中未知量个数为n，方程个数为m，系数矩阵A的秩为r，则．

①r=m时，方程组AX=b有解

②r=n时，方程组AX=b有唯一解

③m=n时，方程组AX=b有唯一解

④r＜n时，方程组AX=b有无穷多解

7．设矩阵A和B等价，A有一个k阶子式不等于零，则B的秩（）k.

①<

②=③≥④≤

8.一个向量组的极大线性无关组（）.

①个数唯一②个数不唯一

③所含向量个数唯一④所含向量个数不唯一

9.下列关于同阶不可逆矩阵及可逆矩阵的命题正确的是（）.

1两个不可逆矩阵之和仍是不可逆矩阵

2两个可逆矩阵之和仍是可逆矩阵

3两个不可逆矩阵之积仍是不可逆矩阵

4一个不可逆矩阵与一个可逆矩阵之积必是可逆矩阵

10．已知任一n维向量均可由线性表示，则

（）。

①线性相关②秩等于n

③秩小于n④秩不能确定

三．计算题（1—6题每小题9分，第7题12分，共56分）

1．设矩阵A=，矩阵B满足等式＋B=，求B．

2.设求此向量组的秩和一个极大无关组,并将其余向量用该极大无关组线性表示.

3．向量是三元非齐次线性方程组ＡＸ＝的解向量，Ｒ（Ａ）＝２且　，，求ＡＸ＝的通解．

4．设

5．已知矩阵与相似。

（1）求y的值；

（2）求一个满足P―1AP＝Ｂ的可逆矩阵P.

6．化二次型

为标准形，并求所用的非奇异线性变换矩阵.

7．设有三维向量组

问a为何值时：

（1）β可由线性表示,且表法唯一；

（2）β不能由线性表示；

（3）β可由线性表示,且表法不唯一；

求出全体表达式。

四．证明题（4分）

二.填空题

1．（-1）nc2．3．A—3E4．845．λ≠1且λ≠-3

二、单项选择题

1．①2.④3.③4．②5.③6．①7．③8.③9.③10．②

三．计算题

1．由＋B=得A＋BA=E，即B（E＋A）=E，故E＋A=2E＋A可逆且与B互为逆阵，从而

B===

2.构造矩阵，对A作行初等变换将其化为行简化阶梯形矩阵，即

显然，是的极大无关组并且

3．由题设可知，三元非齐次方程ＡＸ＝有解，由Ｒ（Ａ）＝２知ＡＸ＝Ｏ的基础解系含有一个非零解向量．所以

记

易知，向量γ为齐次线性方程组ＡＸ＝Ｏ的基础解系，向量η为三元非齐次线性方程组ＡＸ＝的特解，故三元非齐次线性方程组ＡＸ＝的通解为：

（ｋ为任意常数）．

4．

5．由1+4+5=2+2+y，得y=6；

2对应的特征向量为（-1，1，0）T，（1，0，1）T；

6对应的特征向量为（1，-2，3）T或（1/3，-2/3，1）T；

P略

6．由于f中含变量x1的平方项，故先集中含x1的项配方，就得到

令即

把f化为平方和

所用的非奇异线性变换矩阵为

（｜Ｃ｜＝１≠０）

7．解：

设

（*）

令A=（），则A的行列式

（1）当时，，方程组（*）有唯一解，此时向量β可由线性表示,表法唯一；

（2）当对方程组（*）的增广矩阵施行行初等变换：

此时可得，所以方程组（*）无解，即向量β不能由线性表示；

（3）a=1时，对方程组（*）的增广矩阵施行行初等变换：

此时可得，所以方程组（*）有无穷多解，即向量β可由线性表示,且表法不唯一．

（*）的通解：

k1（-1，1，0）T+k2（（-1，0，1）T+（1，0，0）=（1-k1-k2，k1，k2）T

四．

模拟试题二

一、填空题（每小题2分，共20分）

1．设f（x）=，则f（x）的展开式中的系数为，

2．行列式的值为

3．设矩阵A满足=0，其中E为单位阵，则=

4．设行列式D==a，则行列式D1==．

5．设α=，β=，且A=，则=．

6．设A为三阶方阵，A*为A的伴随矩阵，则=。

7．设3阶方阵A、B满足=E，其中E为3阶单位阵，若A=，则=．

8．t满足时,,,线性无关

9．中的向量在基下的坐标为）．

10．设A为3阶方阵，其特征值为3，-1，2，则2A2-3A+E的特征值为10,6,3

二、单项选择题（每小题2分，共10分）

1.设A,B为方阵,分块对角阵,则C*=（）.

①②

③④

2.设A是m×

n矩阵,若非齐次线性方程组AX=B的解不唯一,则结论（）成立.

①A的秩小于m②m<

n③A是零矩阵④AX=0的解不唯一

3．设λ1，λ2是矩阵A的两个不相同的特征值，ξ，η是A的分别属于λ1，λ2的特征向量，则（）。

①对任意k1≠0，k2≠0，k1ξ+k2η都是A的特征向量

②存在常数k1≠0，k2≠0，使k1ξ+k2η是A的特征向量

③当k1≠0，k2≠0时，k1ξ+k2η不可能是A的特征向量

④存在唯一的一组常数k1≠0，k2≠0，使k1ξ+k2η是A的特征向量

4．向量组线性无关的充分条件是。

①均为非零向量。

②中任意两个向量的分量不成比例。

③中任意一个向量不能被其余向量线性表示。

④中有一个部分组线性无关。

5.下列结论正确的是（）.

①X1,X2是方程组（）X=O的一个基础解系,则k1X1+k2X2是A的属于的全部特征向量,其中k1,k2是全不为零的常数

②A,B有相同的特征值,则A与B相似

③如果=0,则A至少有一个特征值为零

④若同是方阵A与B的特征值,则也是A+B的特征值

三、计算题（1——4题每题8分，5——6题每题14分，共60分）

1．若互不相同,求解方程:

2．已知向量组线性无关，若线性相关，求a.

3.设求此向量组的秩和一个极大无关组,并将其余向量用该极大无关组线性表示.

4．设X1,X2,X3是线性方程组AX=B的三个解,其中A是3×

4矩阵,

A的秩为2,X1=（-1,2,1,1）T,X2=（2,3,1,1）T,X3=（2,1,1,3）T

求AX=B的通解。

5．ａ，ｂ为何值时，线性方程组

　有唯一解？

无解或有无穷多解？

在有无穷多解时，求其通解．

6.用正交变换法化二次型

f（x1，x2，x3，x4）=

为标准形，并求出所用的正交变换．

四．证明题（10分）

设向量可由向量线性表示，但不能由线性表示。

证明：

向量组和向量组等价。

模拟试题二参考答案

一、填空题

1．-6、2．、3．（1/4）A4．24a5．

6．-1/167．1/28．t≠19．（12，-5，4，3）10．10,6,3

二、单项选择题

1.③2.④3．③4．③5.③

三、计算题

1．

因f（ai）=0

（因有两行相同）

所以xi=ai（I=1，2，…，n-1）是方程的根。

2．

因线性无关，只有系数全为0

所以对应的齐次线性方程组有非零解，由其系数行列式=0

解得a=-3/2

3.

A=（）

秩为2，

为一个极大无关组

4．

因A的秩为2，故基解系含有2个解。

基解系为X1-X2，X1-X3

通解为X1+c1（X1-X2）+c2（X1-X3）

5．

解：

因为方程组的系数行列式　，所以：

①ａ≠０且ｂ≠１时，Ｄ≠０时方程组有唯一解；

②：

，方程组无解；

③ｂ＝１且时：

（Ⅰ）时，，方程组无解；

（Ⅱ）时，，方程组无穷多解，其同解方程组为：

　所以其基础解系，特解，通解分别为：

（ｋ为任意常数）．

6.

证：

因是的部分向量，所以可由线性表示，

且已知向量可由向量线性表示，所以可由向量线性表示；

因向量可由向量线性表示，设

因kr≠0（否则与向量不能由线性表示矛盾）

于是可解出，即可由线性表示。

所以向量组和向量组等价。

模拟试题三

一．填空题（每小题2分，共20分）

1．实对称矩阵A的秩等于r,它的正惯性指数为m,则它的符号差为.

2．当λ满足条件时线性方程组

只有零解．

3．设行列式D==a，则行列式D1==．

4．设α=，β=，且A=，则=．

5．设A为三阶方阵，A*为A的伴随矩阵，则=。

6.设A,B都是可逆矩阵,则的逆矩阵为.

7．当k时，是的一组基．

8.A是三阶非零矩阵,A*是其伴随阵,A的所有二阶子式都等于零,则r（A*）=.

9．若3阶方阵A与B相似，A的特征值为，则行列式=.

10.k时,二次型必是正定二次型.

二、单项选择题（每小题2分，共20分）

1．设非奇异矩阵A的一个特征值=2，则矩阵（的一个特征值为（）.

①②③④

2.设A,B为方阵,分块对角阵,则C*=（）.

3．已知A、B均为n阶非零矩阵，且AB=O，则（）．

①A、B中必有一个可逆②A、B都不可逆

③A、B都可逆④以上①②③都不正确

4．设n阶矩阵A与B等价，则必有（）．

①=a（a≠0）时，=a

②=a（a≠0）时，=－a

③当≠0时，=0

④当=0时