1、3. 当t =( )时,向量组 线性相关。 5 10 15 204已知向量组1,2,3线性无关,则向量组( )线性无关。 1+22+3, 21+42+3, 31+62 1, 1+2, 1+2+3 1+2, 2+3, 1+22+3 1-2, 2-3, 3-15. 已知, B为三阶非零矩阵且AB = 0, 则( ). 当t = 4时,B的秩必为1 当t = 4时,B的秩必为2 当t 4时,B的秩必为1 当t 4时,B的秩必为26设非齐次线性方程组A X = b中未知量个数为n ,方程个数为m ,系数矩阵A的秩为r ,则 r = m时,方程组A X = b有解 r = n时,方程组A X = b有唯
2、一解 m = n时,方程组A X = b有唯一解 r n时,方程组A X = b有无穷多解7 设矩阵A和B等价,A有一个k阶子式不等于零,则B的秩( )k. = 8. 一个向量组的极大线性无关组( ). 个数唯一 个数不唯一 所含向量个数唯一 所含向量个数不唯一9. 下列关于同阶不可逆矩阵及可逆矩阵的命题正确的是( ).1 两个不可逆矩阵之和仍是不可逆矩阵2 两个可逆矩阵之和仍是可逆矩阵3 两个不可逆矩阵之积仍是不可逆矩阵4 一个不可逆矩阵与一个可逆矩阵之积必是可逆矩阵10已知任一n维向量均可由线性表示,则( )。 线性相关 秩等于n 秩小于n 秩不能确定 三计算题(16题每小题9分,第7题1
3、2分,共56分)1设矩阵A = ,矩阵B满足等式 B = ,求B 2. 设求此向量组的秩和一个极大无关组, 并将其余向量用该极大无关组线性表示.3 向量是三元非齐次线性方程组的解向量,()且,求的通解4设5已知矩阵 与 相似。 (1)求y的值 ;(2)求一个满足P1AP的可逆矩阵P.6化二次型为标准形,并求所用的非奇异线性变换矩阵.7设有三维向量组问a为何值时:(1) 可由线性表示,且表法唯一;(2) 不能由线性表示;(3) 可由线性表示,且表法不唯一;求出全体表达式。四证明题(4分)二. 填空题1 (-1)nc 2 3 A3E 484 51且-3二、单项选择题1 2. 3. 4 5. 6 7
4、 8. 9. 10 三计算题1 由 B = 得 A B A = E ,即 B ( E A ) = E ,故 E A = 2 E A可逆且与B互为逆阵,从而B = = = 2. 构造矩阵,对A作行初等变换将其化为行简化阶梯形矩阵,即显然,是的极大无关组并且3由题设可知,三元非齐次方程有解,由()知的基础解系含有一个非零解向量所以记易知,向量为齐次线性方程组的基础解系,向量为三元非齐次线性方程组的特解,故三元非齐次线性方程组的通解为:(为任意常数)4 5由1+4+5=2+2+y,得y=6;2对应的特征向量为(-1,1,0)T,(1,0,1)T;6对应的特征向量为(1,-2,3)T或(1/3,-2/
5、3,1)T;P略6 由于f中含变量x1的平方项,故先集中含x1的项配方,就得到 令 即 把f化为平方和所用的非奇异线性变换矩阵为 ()7解:设 (*)令A=(),则A的行列式(1)当时,方程组(*)有唯一解,此时向量可由线性表示,表法唯一;(2)当对方程组(*)的增广矩阵施行行初等变换:此时可得,所以方程组(*)无解,即向量不能由线性表示;(3)a=1时,对方程组(*)的增广矩阵施行行初等变换:此时可得,所以方程组(*)有无穷多解,即向量可由线性表示,且表法不唯一(*)的通解:k1(-1,1,0)T+k2(-1,0,1)T+(1,0,0)=(1-k1-k2,k1,k2)T四模拟试题二一、填空题
6、 (每小题2分,共20分)1设f(x)= ,则f(x)的展开式中 的系数为 ,2行列式的值为 3设矩阵A满足 = 0 ,其中E为单位阵,则 = 4设行列式D = = a ,则行列式D1 = = 5设 = , = ,且A = ,则 = 6设A为三阶方阵,A*为A的伴随矩阵,则 = 。7设3阶方阵A 、B满足 = E ,其中E为3阶单位阵,若A = ,则 = 8t 满足 时, , , 线性无关9中的向量 在基 下的坐标为 ) 10设A为3阶方阵,其特征值为3,-1,2,则2A2-3A+E的特征值为 10, 6, 3 二、单项选择题 (每小题2分,共10分) 1. 设A,B为方阵, 分块对角阵, 则
7、C* = ( ). 2. 设A是mn矩阵,若非齐次线性方程组AX = B 的解不唯一,则结论( )成立. A的秩小于m m n A是零矩阵 AX = 0 的解不唯一3设1 ,2是矩阵A的两个不相同的特征值,是A的分别属于1 ,2的特征向量,则( )。 对任意k1 0 ,k2 0 ,k1 + k2都是A的特征向量 存在常数k1 0 ,k2 0 ,使k1 + k2是A的特征向量 当k1 0 ,k2 0时 ,k1 + k2不可能是A的特征向量 存在唯一的一组常数k1 0 ,k2 0 ,使k1 + k2是A的特征向量4向量组线性无关的充分条件是 。 均为非零向量。 中任意两个向量的分量不成比例。 中任
8、意一个向量不能被其余向量线性表示。 中有一个部分组线性无关。5. 下列结论正确的是( ). X1, X2是方程组()X=O的一个基础解系, 则k1X1+k2X2是A的属于的全部特征向量,其中k1, k2 是全不为零的常数 A, B有相同的特征值, 则A与B相似 如果=0, 则A至少有一个特征值为零 若同是方阵A与B的特征值, 则也是A+B的特征值三、计算题 ( 14题每题8分,56题每题14分,共60分)1 若互不相同,求解方程:2已知向量组线性无关,若线性相关,求a.3. 设求此向量组的秩和一个极大无关组, 并将其余向量用该极大无关组线性表示.4设X1, X2, X3 是线性方程组AX =
9、B的三个解, 其中 A是34矩阵,A的秩为2, X1 = ( -1,2,1,1 )T , X2 = ( 2,3,1,1 )T , X3 = ( 2,1,1,3 )T求AX = B的通解。5,为何值时,线性方程组有唯一解?无解或有无穷多解?在有无穷多解时,求其通解6.用正交变换法化二次型 f( x1 ,x2 ,x3 ,x4 )= 为标准形,并求出所用的正交变换 四证明题 (10分)设向量可由向量 线性表示,但不能由线性表示。证明:向量组 和向量组 等价。模拟试题二参考答案一、填空题1 -6 、 2、 3(1/4)A 4 24a 5 6 -1/16 7 1/2 8 t 1 9(12,-5,4,3)
10、 10 10, 6, 3 二、单项选择题 1. 2. 3 4 5. 三、计算题 1 因f(ai)=0(因有两行相同) 所以 xi= ai (I=1,2,n-1)是方程的根。2因线性无关,只有系数全为0 所以对应的齐次线性方程组有非零解,由其系数行列式=0 解得a=-3/2 3. A=() 秩为2, 为一个极大无关组 4因A的秩为2,故基解系含有2个解。基解系为 X1-X2,X1-X3 通解为 X1+c1(X1-X2)+c2(X1-X3 ) 5解:因为方程组的系数行列式,所以:且时,时方程组有唯一解;:,方程组无解;且时:() 时,方程组无解;() 时,方程组无穷多解,其同解方程组为:所以其基础
11、解系,特解,通解分别为:(为任意常数) 6. 证:因是的部分向量,所以可由线性表示, 且已知向量可由向量 线性表示,所以可由向量 线性表示;因向量可由向量 线性表示,设 因kr0 (否则与向量不能由线性表示矛盾) 于是可解出,即可由线性表示。 所以向量组 和向量组 等价。模拟试题三一 填空题 (每小题2分,共20分)1 实对称矩阵A的秩等于r, 它的正惯性指数为m, 则它的符号差为 .2当 满足条件 时线性方程组 只有零解3设行列式D = = a ,则行列式D1 = = 4设 = , = ,且A = ,则 = 5设A为三阶方阵,A*为A的伴随矩阵,则 = 。6. 设A, B都是可逆矩阵, 则的
12、逆矩阵为 .7当k 时,是的一组基8. A是三阶非零矩阵,A*是其伴随阵,A的所有二阶子式都等于零,则r(A*) = .9若3阶方阵A与B相似,A的特征值为,则行列式= . 10. k 时,二次型必是正定二次型.二、单项选择题 (每小题2分,共20分) 1设非奇异矩阵A的一个特征值=2,则矩阵(的一个特征值为( ). 2. 设A,B为方阵, 分块对角阵, 则C* = ( ).3已知A 、B均为n阶非零矩阵,且A B = O ,则( ) A 、B中必有一个可逆 A 、B都不可逆 A 、B都可逆 以上都不正确4设n阶矩阵A与B等价,则必有( ) = a (a 0)时,= a = a (a 0)时,= a 当 0 时,= 0 当 = 0 时
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