平面向量与复数Word文件下载.docx

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所以∠＝°

.

全国甲卷）已知向量＝（，），＝（，－），且（＋）⊥，则＝（　　）

．－．－

选　法一：

因为＝（，），＝（，－），所以＋＝（，－）．

因为（＋）⊥，所以（＋）·

＝，所以－（－）＝，解得＝.

法二：

＝，即·

＋＝－＋＋（－）＝－＝，解得＝.

河北五个一名校联考）在复平面内与复数＝所对应的点关于实轴对称的点为，则对应的复数为（　　）

．＋．－

．－－．－＋

选　因为＝＝＝（－）＝＋，所以点坐标为（，－），其对应的复数为－，故选．

开封模拟）在△中，为边上任意一点，为的中点，＝λ＋μ，则λ＋μ的值为（　　）

．．

选　依题意＝＝λ＋μ，因为，，三点共线，所以λ＋μ＝.

天津高考）已知△是边长为的等边三角形，点，分别是边，的中点，连接并延长到点，使得＝，则·

的值为（　　）

．－．

选　如图所示，

＝＋.

又，分别为，的中点，

且＝，所以＝，

＝＋＝，

所以＝＋.

又＝－，

则·

＝·

（－）

－＋－·

＝－－·

又＝＝，∠＝°

故·

＝－－×

＝.故选．

怀化二模）已知为坐标原点，向量＝（α，α），＝（α，α－α），α∈，且⊥，则α的值为（　　）

选　由题意知α＋α·

（α－α）＝，即α＋αα－α＝，上述等式两边同时除以α，得α＋α－＝，由于α∈，则α＜，解得α＝－，故选．

东北三校联考）若函数（）＝（－＜＜）的图象与轴交于点，过点的直线与函数的图象交于，两点，则（＋）·

＝（　　）

选　由（）＝＝可得＋＝π，∈，∴＝－，∈.∵－＜＜，∴＝，即（）．设（，），（，），∵过点的直线与函数的图象交于，两点，∴，两点关于对称，即＋＝，＋＝，则（＋）·

＝（＋，＋）·

（）＝（＋）＝.故选．

.（·

嘉兴期末）如图，已知△中，∠＝°

，∠＝°

，点在线段上运动，且满足＝λ，当·

取到最小值时，λ的值为（　　）

选　如图所示，建立平面直角坐标系．不妨设＝，（）（≤≤），则（，），（），∴·

＝（－，）·

（－）＝（－）（－）＝－＋＝－.

当＝时，·

取得最小值－.

∵＝λ，∴＝λ（－），

∴－λ＝－，解得λ＝.故选．

唐山调研）点，是定义域为[，]的函数＝（）图象上的两个端点，（，）是（）图象上任意一点，其中＝λ＋（－λ）（λ∈），向量＝λ＋（－λ），其中为坐标原点，若不等式，≤恒成立，则称函数（）在[，]上“阶线性近似”．若函数＝＋在[]上“阶线性近似”，则实数的取值范围为（　　）

．[，＋∞）．[，＋∞）

选　由题意知＝，＝，∴（），，∴直线的方程为＝（＋）．

∵＝λ＋（－λ）＝－λ，

＝λ（）＋（－λ）＝，

∴，两点的横坐标相同，且点在直线上，

∴＝＝＝

∵＋≥＝，＋≤，

∴＝－≤－.

∴要使≤恒成立，则≥－，

∴实数的取值范围为.故选．

二、填空题

开封一中模拟）在△中，点在线段的延长线上，且＝，当＝＋时，则－＝.

∵＝＋＝＋＝＋（－）＝－＋，∴－＝－.

答案：

－

山东高考）已知向量＝（，－），＝（，－）．若⊥（＋），则实数的值为．

∵＝（，－），＝（，－），

∴＋＝（＋，－－）．

又⊥（＋），则·

（＋）＝，

即＋＋＋＝，

解得＝－.

－.

贵州模拟）已知向量＝（λ＋），＝（λ＋），若（＋）∥（－），则λ＝.

因为＋＝（λ＋），－＝（－，－），又（＋）∥（－），所以（λ＋）×

（－）＝×

（－），解得λ＝.

天津模拟）如图，平行四边形中，＝＝，∠＝°

，为的中点，那么与―→所成角的余弦值为．

＝＋，＝＝，＝－＝－，＝＝.故·

＝（＋）·

＝，〈，〉＝＝.

晋城二模）已知向量＝（），＝（，）．且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是（　　）

．

．∪

．（－，＋∞）

选　当，共线时，－＝，＝，此时，方向相同，夹角为，所以要使与的夹角为锐角，则有·

>

且，不共线．由·

＝＋>

得>

－，又≠，即实数的取值范围是∪，选．

大庆质检）设，分别是椭圆＋＝的左、右焦点，若椭圆上存在一点，使（＋）·

＝（为坐标原点），则△的面积是（　　）

．　　　　　　　　　．

选　∵（＋）·

＝，∴⊥，∴∠＝°

.设＝，＝，则＋＝，＋＝，∴＝，∴△＝＝，故选．

．在△中，＝，＝，，分别在线段，上，且＝，＝，·

＝，则∠的大小为（　　）

选　依题意，＝＋＝＋＝＋（－）＝＋，＝－＝－，所以·

＝－＋－·

＝－×

＋×

（）－·

＝，所以·

＝－，所以∠＝＝＝－，因为＜∠＜π，所以∠＝.

．在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，若向量＝（，），则满足不等式＋·

≤的点（，）的集合为（　　）

．{（，）（＋）＋≤}

．{（，）＋≤}

．{（，）（－）＋≤}

选　由条件得（－，），所以＝（，），＝（－，），所以＝（－），所以＋·

＝＋－≤，即（－）＋≤，故选．

．已知向量＝（，），＝（，＋），则当∈[－，]时，的取值范围是．

由题意知＝（），根据向量的差的几何意义，表示同起点的向量的终点到的终点的距离，当＝时，该距离取得最小值，当＝－时，该距离取得最大值，即的取值范围是[，]．

[，]

浙江高考）已知向量，，＝，＝.若对任意单位向量，均有·

＋·

≤，则·

的最大值是．

由于是任意单位向量，可设＝，

＝＋

≥

＝＝＋.

∵·

≤，∴＋≤，

∴（＋）≤，∴＋＋·

≤.

∵＝，＝，∴＋＋·

≤，

∴·

≤，∴·

的最大值为.

小题命题区间（九）数　列

年　份

卷　别

考题位置

考查内容

命题规律分析

年

全国乙卷

选择题第题

等差数列的基本运算

等差数列、等比数列的判定及其通项公式在考查基本运算、基本概念的同时，也注重对函数与方程、等价转化、分类讨论等数学思想的考查；

对等差数列、等比数列的性质考查主要是求解数列的等差中项、等比中项、通项公式和前项和的最大、最小值等问题，主要是中低档题；

等差数列、等比数列的前项和是高考考查的重点．

填空题第题

等比数列的运算及二次函数最值问题

全国卷Ⅱ

等比数列的性质

数列的递推关系式、等差数列的定义与通项

全国卷Ⅰ

等差数列的通项公式与前项和公式

三角形的性质与面积公式、数列的单调性

数列前项和与第项的关系、等比数列的定义与通项

等比数列的通项公式与前项和公式

等差数列的前项和公式与通项、函数的单调性与应用

全国卷

等比数列的通项公式、性质及其应用

数列的递推关系式、数列的基本性质、数列求和

数列的递推公式

[三年高考]

全国卷）数列{}满足＋＋（－）＝－，则{}的前项和为（　　）

．　　　　　　　　　．

．．

选　不妨令＝，根据题意，得＝，＝＝＝…＝，＝，＝，…，所以当为奇数时，＝，当为偶数时构成以＝为首项，以为公差的等差数列．所以前项和为

＝＋×

＝.

浙江高考）设数列{}的前项和为.若＝，＋＝＋，∈*，则＝，＝.

∵＋＝＋，∴＋－＝＋，

∴＋＝＋，∴＋＋＝，

∴数列是公比为的等比数列，∴＝.

又＝，∴＝，∴＝，

∴＋＝×

＝×

＝，

∴＝.

全国卷Ⅱ）设是数列{}的前项和，且＝－，＋＝＋，则＝.

∵＋＝＋－，＋＝＋，

∴＋－＝＋.

∵≠，∴－＝，即－＝－.

∴是首项为－，公差为－的等差数列．

∴＝－＋（－）×

（－）＝－，∴＝－.

[两年模拟]

山西四校联考）已知数列满足＋＝若＝，则＝（　　）

．．．．

选　因为＝，根据题意得＝，＝，＝，＝，所以数列以为周期，又＝×

＋，所以＝＝，故选．

潮州月考）数列的前项和记为，＝，＋＝＋（≥，∈*），则数列的通项公式是．

法一：

由＋＝＋可得＝－＋（≥），两式相减得＋－＝，即＋＝（≥）．

又＝＋＝，

∴＝，故是首项为，公比为的等比数列，

∴＝－.

由于＋＝＋－，＋＝＋，

所以＋－＝＋，＋＝＋，

所以＋＋＝，

所以数列为首项是＋＝，公比为的等比数列，故＋＝×

－＝×

即＝×

所以，当≥时，＝－－＝－，

由＝时＝也适合这个公式，知所求的数列的通项公式是＝－.

＝－

[备考指导]

一、必备知识

数列的前项和与通项之间的关系：

＝

二、必会方法

由递推公式求数列通项的常用方法

（）形如＋＝＋（），常用累加法，即利用恒等式＝＋（－）＋（－）＋…＋（－－）求通项公式．

（）形如＋＝（），常可采用累乘法，即利用恒等式＝·

·

…·

求通项公式．

（）形如＋＝＋（其中，为常数，≠）的数列，常用构造法．其基本思路是：

构造＋＋＝（＋），则是公比为的等比数列，利用它即可求出.

（）形如＋＝（，，是常数）的数列，将其变形为＝·

＋.

若＝，则是等差数列，且公差为，可用公式求通项；

若≠，则再采用（）的办法求解．

[典例]　（）如果数列满足＝，＋＝＋，则数列的通项公式＝.

（）若数列满足＝，＋＝，则数列的通项公式＝.

[解析]（）∵＋＝＋，

∴－＝×

；

……

－－＝×

（－）（≥）．

以上各式相加，得：

－＝[＋＋＋…＋（－）]＝－.

∴＝－＋＝－＋（≥），

又＝也适合上式．

∴＝－＋.

（）∵＋＝·

∴＝，＝，…，＝－（≥）．

以上各式相乘得＝·

－＝＋＋＋…＋（－）＝（≥）．

∴＝（≥）．

[答案]（）－＋（）

三、必明易错

已知求时应注意的问题

（）应重视分类讨论思想的应用，分＝和≥两种情况讨论，特别注意＝－－中需≥.

（）由－－＝推得，当＝时，也适合，则需统一“合写”．

（）由－－＝推得，当＝时，不适合，则数列的通项公式应分段表示（“分写”），即

等差、等比数列的通项及前项和

全国乙卷）已知等差数列{}前项的和为，＝，则＝（　　）

∵{}是等差数列，设其公差为，

∴＝（＋）＝＝，∴＝.

又∵＝，∴∴

∴＝＋＝－＋×

∵{}是等差数列，

在等差数列{}中，，，，…，成等差数列，且公差′＝－＝－＝.

故＝＋（－）×