北京市海淀区学年高二上学期期中考试数学理试题Word格式.docx
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A.B.C.D.
2.已知向量,,则与().
A.垂直B.不垂直也不平行C.平行且同向D.平行且反向
3.圆的圆心坐标及半径分别是().
A.,B.,C.,D.,
4.直角三角形的斜边在平面内,顶点在平面外,则的两条直角边在平面内的射影与斜边组成的图形是().
A.一条线段B.一个锐角三角形
C.一个钝角三角形D.一条线段或一个钝角三角形
5.某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥的四个侧面的面积中最大的是().
6.若直线与直线分别交于点,且线段的中点坐标为,则直线的斜率为()
7.如图所示,正方体的棱长为1,,是线段上的动点,过点做平面的垂线交平面于点,则点到点距离的最小值为()
A.B.C.D.1
8.在空间直角坐标系中,正四面体的顶点、分别在轴,轴上移动.若该正四面体的棱长是,则的取值范围是().
第II卷(非选择题)
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二、填空题
9.若直线经过点且与直线平行,则直线的方程为__________.
10.已知正方形边长为,是线段的中点,则__________.
11.已知圆截直线所得的弦的长度为为,则.
12.已知直线与直线平行,则的值为__________.
13.已知是正方体的棱上的动点,设异面直线与所成的角为,则的最小值为__________.
14.若点集,,则
()点集所表示的区域的面积为__________.
三、解答题
15.已知函数.
()求的值.
()求函数的最小正周期和单调递增区间.
16.已知半径为的圆的圆心在轴上,圆心的横坐标是整数,且与直线相切.
(Ⅰ)求圆的方程;
(Ⅱ)设直线与圆相交于两点,求实数的取值范围;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,是否存在实数,使得弦的垂直平分线过点,若存在,求出实数的值;
若不存在,请说明理由
17.如图,在四棱锥中,底面为矩形,平面平面,,,,为中点.
()求证:
平面.
()求二面角的余弦值.
()在棱上是否存在点,使得?
若求的值;
若不存在,说明理由.
18.对于数集,其中,,定义向量集,若对任意,存在,使得,则称具有性质.
()设,请写出向量集并判断是否具有性质.
()若,且具有性质,求的值.
()若具有性质,求证:
.
参考答案
1.B
【解析】∵直线与两坐标轴的交点为,,
∴直线被两坐标轴截得的线段长是:
故选.
2.D
【解析】∵,,
∴,
∴与平行且反向.故选D.
3.A
【解析】由圆得:
,
∴圆的圆心坐标为,
半径为.
4.D
【解析】当平面平面时,射影为一条线段,
当平面不垂直于平面时,射影为钝角三角形.
5.C
【解析】由三视图得几何体是如图所示四棱锥,
其中,分别是,中点,平面,
底面是矩形,,,是等腰三角形,,
∴,,
∴四棱锥的四个侧面中面积最大的是.
点睛:
思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系,遵循“长对正,高平齐,宽相等”的基本原则,其内涵为正视图的高是几何体的高,长是几何体的长;
俯视图的长是几何体的长,宽是几何体的宽;
侧视图的高是几何体的高,宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法:
1、首先看俯视图,根据俯视图画出几何体地面的直观图;
2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度;
3、画出整体,然后再根据三视图进行调整.
6.B
【解析】∵直线l与直线y=1,x=7分别交于点P,Q,
∴P,Q点的坐标分别为:
P(a,1),Q(7,b),
∵线段PQ的中点坐标为(1,-1),
∴由中点坐标公式得:
∴a=-5,b=-3;
∴直线l的斜率k=
故选B
7.
【解析】连接,
由是正方体,得面
因为面,所以,所以与共面
因为都在平面,所以点在线段上,
则点到点距离的最小值为由向作垂线,即为的一条高
是以边长为的等边三角形,所以高为
故选
【考点】四点共面;
棱柱的结构特征.
8.A
【解析】如图所示,
若固定正四面体的位置,
则原点在以为直径的球面上运动,
设的中点为,
则,
所以原点到点的最近距离等于减去球的半径,最大距离是加上球的半径,
所以,
即的取值范围是.
9.
【解析】设直线的方程为,
将代入直线方程得,
解得:
故直线的方程为:
10.
【解析】由题意可得:
,,
故.
点晴:
平面向量的数量积计算问题,往往有两种形式,一是利用数量积的定义式,二是利用数量积的坐标运算公式,涉及几何图形的问题,先建立适当的平面直角坐标系,可起到化繁为简的妙用.利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件,可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决.列出方程组求解未知数.
11.2或6
【解析】
试题分析:
由题知:
圆心(a,0),半径为2.
圆心到直线的距离为
又因为圆截直线所得的弦的长度为为,
所以或
考点:
直线与圆的位置关系圆的标准方程与一般方程
12.或
【解析】若直线与直线平行,
且,
或.
13.
【解析】试题分析:
以D为坐标原点,DA、DC、DD1分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为1,则A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),P(x,0,1),其中,所以,,所以
,可知当,即与重合时,取得最小值且为.故应填.
异面直线及其所成的角.
14.
(1)
∵,
而,
则
表示的区域是以(1,1)为圆心,半径为1的圆,面积为π.
(2)
A所表示的区域是以(0,0)为圆心,半径=1的圆,
B所表示的区域是以(1,1)(1,-1)(-1,-1)(-1,1)为顶点的正方形,
把x1,y1代入
可得,
M所表示的区域是A的圆心在正方形B的边上移动,圆所覆盖的区域.M的面积为12+π
二元一次不等式组与平面区域的关系.
15.()1;
(),,.
(1)根据函数的解析式,计算的值即可;
(2)化函数为正弦型函数,即可求出它的最小正周期与单调递增区间.
试题解析:
()∵函数,
∴.
()由()知,
∴函数的最小正周期,
令,,
得,,
∴函数的单调递增区间是,.
三角函数式的化简要遵循“三看”原则:
(1)一看“角”,这是最重要的一环,通过看角之间的区别和联系,把角进行合理的拆分,从而正确使用公式;
(2)而看“函数名称”看函数名称之间的差异,从而确定使用公式,常见的有“切化弦”;
(3)三看“结构特征”,分析结构特征,可以帮助我们找到变形的方向,如“遇到分式通分”等.
16.(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)存在实数
(Ⅰ)设出圆心坐标,利用点到直线的距离等于半径可得,则圆的方程为.
(Ⅱ)由题意得到关于实数a的不等式,求解不等式可得实数a的取值范围是;
(Ⅲ)由题意讨论可得存在实数满足题意.
(Ⅰ)设圆心为().由于圆与直线相切,且半径为,所以,即.因为为整数,故.
故所求圆的方程为.
(Ⅱ),则或,又故
(Ⅲ)设符合条件的实数存在,由于,则直线的斜率为
的方程为,即
由于垂直平分弦AB,故圆心必在上,
所以,解得。
由于,故存在实数
使得过点的直线垂直平分弦AB
17.
(1)见解析;
(2);
(3)
(1)利用题意证得,然后由线面平行的判断定理可得平面.
(2)建立空间直角坐标系,利用平面向量的法向量可得二面角的余弦值为.
(3)探索性问题,利用空间向量的结论可得在棱上存在点,使得,
此时.
(Ⅰ)证明:
设与的交点为,连接.
因为为矩形,所以为的中点,
在中,由已知为中点,
又平面,平面,
所以平面.
(Ⅱ)解:
取中点,连接.
因为是等腰三角形,为的中点,
又因为平面平面,
因为平面,,
所以平面.
取中点,连接,
由题设知四边形为矩形,
所以.
如图建立空间直角坐标系,则,,,,,,.,.
设平面的法向量为,则即
令,则,,所以.
平面的法向量为,
设,的夹角为,所以.
由图可知二面角为锐角,
所以二面角的余弦值为.
(Ⅲ)设是棱上一点,则存在使得.
因此点,,.
由,即.
因为,所以在棱上存在点,使得,
18.见解析.
(1)根据新定义直接判断即可.
(2)在Y中取,根据数量积的坐标公式,可得Y中与垂直的元素必有形式,所以,结合,可得x的值.
(3)取,根据,化简可得,所以s、t异号.而-1是数集X中唯一的负数,所以s、t中的负数必为-1,另一个数是1,从而得出.
(),
具有性质.
()选取,中与垂直的元素必有形式,
∴,从而.
()证明:
取,设满足,
由得,
从而,异号,
∵是中唯一的负数,
∴,中一个为,另一个为,