人教版高中数学选修4414《坐标系》章末回顾Word下载.docx

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（1）把⊙O1和⊙O2的极坐标方程化为直角坐标方程；

（2）求经过⊙O1，⊙O2交点的直线的直角坐标方程.

【知识点】极坐标与直角坐标互化

【数学思想】转化与化归的思想

【解题过程】以极点为原点，极轴为x轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位.

（1）x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，由ρ＝4cosθ，

得ρ2＝4ρcosθ，

所以x2＋y2＝4x.

即x2＋y2－4x＝0为⊙O1的直角坐标方程，

同理x2＋y2＋4y＝0为⊙O2的直角坐标方程.

（2）由解得或

即⊙O1，⊙O2交于点（0,0）和（2，－2），

故过交点的直线的直角坐标方程为y＝－x.

【思路点拨】极坐标方程化为直角坐标方程时通常通过构造ρcosθ,ρsinθ,的形式进行整体代换,其中方程两边同乘以ρ或同时平方是常用的变形方法,要注意变形的等价性.

【答案】

（1）⊙O1x2＋y2－4x＝0，⊙O2x2＋y2＋4y＝0；

（2）y＝－x.　

例3　已知定点A（a,0），动点P对极点O和点A的张角∠OPA＝.在OP的延长线上取点Q，使|PQ|＝|PA|.当P在极轴上方运动时，求点Q的轨迹的极坐标方程．

【知识点】曲线的极坐标方程

【数学思想】坐标法思想

【解题过程】　设Q，P的坐标分别是（ρ，θ），（ρ1，θ1），则θ＝θ1.

在△POA中，ρ1＝·

sin（－θ），

|PA|＝，又|OQ|＝|OP|＋|PA|，

∴ρ＝2acos（－θ）．

【思路点拨】求曲线的极坐标的方法和步骤，和求直角坐标方程类似，就是把曲线看作适合某种条件的点的集合或轨迹，将已知条件用曲线上的极坐标（ρ，θ）的关系式f（ρ，θ）＝0表示出来，就得到曲线的极坐标方程．

用极坐标系解决问题时要注意题目中的几何关系，如果几何关系不容易通过极坐标表示时，可以先化为直角坐标方程，将不熟悉的问题转化为熟悉的问题．

【答案】ρ＝2acos（－θ）

三、检测题

（一）、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．以直角坐标系的O为极点,轴正半轴为极轴,且在两坐标系中取相同的单位长度,平面内的点的极坐标为（3,4）,则在（　　）

A.第一象限　　B.第二象限

C.第三象限　　D.第四象限

【解题过程】选C.平面内的点P的极坐标为（3,4）,由于,所以P在第三象限.

【思维点拨】由极坐标与直角坐标互化处理，转化到平面直角坐标系中

【答案】C

2．将曲线y＝sin2x按照伸缩变换后得到的曲线方程为（　　）

A．y＝3sinx　　　　　　B．y＝3sin2x

C．y＝3sinxD．y＝sin2x

【解题过程】　由伸缩变换，得x＝，y＝.

代入y＝sin2x，有＝sinx′，即y′＝3sinx′.

∴变换后的曲线方程为y＝3sinx.

【思维点拨】由伸缩变换公式求解

【答案】A

3．有相距m的A、B两个观察站，在A站听到爆炸声的时间比在B站听到时间晚4s．已知当时声音速度为340m/s，则爆炸点所在的曲线为（　　）

A．双曲线B．直线C．椭圆D．抛物线

【知识点】曲线与方程

【解题过程】　设爆炸点为P，则|PA|－|PB|＝4×

340<

1500m，∴P点在以A、B为焦点的双曲线上．

【思维点拨】利用双曲线的定义求解

【答案】　A

4．点P的直角坐标为（1，－），则点P的极坐标为（　　）

A.（2，）B.（2，）

C.（2，－）D.（2，－）

【解题过程】　因为点P（1，－）在第四象限，与原点的距离为2，且OP与x轴所成的角为－.

【思维点拨】根据点的极坐标的定义求解

【答案】　C

5．已知点的极坐标为，那么过点且垂直于极轴的直线的极坐标方程为（）

A．B．C．D．

【知识点】极坐标方程

【数学思想】数形结合

【解题过程】依题意，结合图形可知　

【思维点拨】结合图形分析

【答案】D

6．在极坐标系中，点A（2，）与B（2，－）之间的距离为（　　）

A．1B．2C．3D．4

【知识点】极坐标系

【解题过程】由A（2，）与B（2，－），知∠AOB＝，

∴△AOB为等边三角形．因此|AB|＝2.

【思维点拨】利用在极坐标系下的图形求解

【答案】B

7．极坐标系中，直线2ρsin（θ＋）＝2＋，与圆ρ＝2sinθ的位置关系为（　　）

A．相离B．相切

C．相交D．以上都有可能

【知识点】直线与圆的位置关系

【解题过程】　直线2ρsin（θ＋）＝2＋与圆ρ＝2sinθ的直角坐标方程分别为x＋y＝＋1，x2＋（y－1）2＝1，

圆心C（0,1）到直线x＋y－（＋1）＝0的距离为d＝＝1，又r＝1，所以直线与圆相切．

【思维点拨】转化为直角坐标系下的方程求解

8．椭圆＋＝1的一个焦点的极坐标为（　　）

A.（1,0）B.（0,1）

C.（1，）D.（1，π）

【解题过程】　由a2＝4，b2＝3，∴c2＝1，c＝1，∴椭圆＋＝1的焦点直角坐标为（0,1）或（0，－1）.∴ρ＝＝1，且θ＝.

9．极坐标方程ρ＝cosθ化为直角坐标方程为（　　）

A.（x＋）2＋y2＝B.x2＋（y＋）2＝

C.x2＋（y－）2＝D.（x－）2＋y2＝

【解题过程】由ρ＝cosθ，得ρ2＝ρcosθ，∴x2＋y2＝x，即（x－）2＋y2＝.

【思维点拨】利用极坐标与直角坐标互化公式求解

10．圆ρ＝4cosθ的圆心到直线tanθ＝1的距离为（　　）

A.B.C．2D．2

【知识点】极坐标方程的应用

【解题过程】　圆ρ＝4cosθ的圆心C（2,0），

如右图，|OC|＝2，在Rt△COD中，

∠ODC＝，∠COD＝，

∴|CD|＝.

即圆ρ＝4cosθ的圆心到直线tanθ＝1的距离为.

11．在极坐标系中，设圆ρ＝3上的点到直线ρ（cosθ＋sinθ）＝2的距离为d，则d的最大值为（　　）．

A．5B．6C．4D．3

【知识点】圆与直线的关系

【解题过程】极坐标方程ρ＝3转化成直角坐标方程为x2＋y2＝9，所以圆心为（0,0），半径为3，ρ（cosθ＋）＝2转化成直角坐标方程为x＋＝2.则圆心到直线x＋＝2的距离d′＝1.

【思维点拨】转化为普通方程，找利用极坐标方程与普通方程的关系求解

12．极坐标方程ρ＝2sin（θ＋）的图形是（　　）

【解题过程】　法一　圆ρ＝2sin（θ＋）是把圆ρ＝2sinθ绕极点按顺时针方向旋转而得，圆心的极坐标为（1，），故选C.

法二　圆ρ＝2sin（θ＋）的直角坐标方程为（x－）2＋（y－）2＝1，圆心为（，），半径为1，故选C.

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上）

13．极坐标系中，ρ≥0，过点（1,0）倾斜角为的射线的极坐标方程为________．

【解题过程】　设（ρ，θ）是射线上任意一点，则ρcosθ＝1，且0≤θ<

.

【思维点拨】寻找的几何关系，得到等量关系式，从而求出极坐标方程

【答案】　ρcosθ＝1,0≤θ<

14．设正弦曲线C按伸缩变换后得到曲线方程为y＝sinx，则正弦曲线C的周期为________.

【知识点】伸缩变换、三角函数

【数学思想】变换的思想

【解题过程】　由伸缩变换知3y＝sinx，∴y＝sinx.∴T＝＝4π.

【答案】　

15．曲线ρ＝2cosθ－2sinθ（0≤θ<

2π）与极轴的交点的极坐标是____________．

【数学思想】转化思想

【解题过程】　将曲线的方程化为直角坐标系下的方程为，令，得.

【思维点拨】转化为普通方程

【答案】　（0，0）（2，0）

16．极坐标方程）和所表示的曲线围成的图形的面积是____________．

【知识点】极坐标方程、扇形面积

【解题过程】如图所示，

射线）与圆ρ=4围成的图形面积是阴影扇形的面积:

【思维点拨】结合极坐标系中图形求解

三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分10分）在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C变为曲线（x′－5）2＋（y′＋6）2＝1，求曲线C的方程，并判断其形状．

【解题过程】　将代入（x′－5）2＋（y′＋6）2＝1，

得（2x－5）2＋（2y＋6）2＝1，

即（x－）2＋（y＋3）2＝，

故曲线C是以（，－3）为圆心，半径为的圆．

【思维点拨】利用伸缩变换公式求解

【答案】曲线C是以（，－3）为圆心，半径为的圆

18．（本小题满分12分在极坐标系中，已知直线l的极坐标方程为，圆C的圆心的极坐标是，圆的半径为1.

（1）求圆C的极坐标方程；

（2）求直线l被圆C所截得的弦长．

【知识点】极坐标方程、直线与圆的位置关系

【解题过程】　

（1）设O为极点，OD为圆C的直径，A（ρ，θ）为圆C上的一个动点，则∠AOD＝－θ或∠AOD＝θ－，

OA＝ODcos或OA＝ODcos，

∴圆C的极坐标方程为ρ＝2cos.

（2）由ρsin＝1，得ρ（sinθ＋cosθ）＝1，

∴直线l的直角坐标方程为x＋y－＝0，

又圆心C的直角坐标为，满足直线l的方程，

∴直线l过圆C的圆心，故直线被圆所截得的弦长为直径2.

【思维点拨】化极坐标方程为普通方程，转化为熟悉的知识求解

（1）ρ＝2cos；

（2）2

19．（本小题满分12分）已知曲线C1的极坐标方程为ρ2cos2θ＝8，曲线C2的极坐标方程为θ＝，曲线C1，C2相交于A，B两点．求A，B两点的极坐标．

【解题过程】由得ρ2cos＝8，

所以ρ2＝16，即ρ＝±

4.

所以A，B两点的极坐标为：

或

【思维点拨】由点极坐标中的几何意义求解

【答案】或

20．（本小题满分12分）在极坐标系中，已知圆C的圆心，半径r＝3.

（1）求圆C