高二数学教案21《圆周角定理》新人教A版选修41Word下载.docx

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　在半径为5cm的圆内有长为5cm的弦，求此弦所对的圆周角．

【思路探究】　过圆心作弦的垂线构造直角三角形．先求弦所对的圆心角度数，再分两种情况求弦所对的圆周角的度数．

【自主解答】　如图所示，过点O作OD⊥AB于点D.

∵OD⊥AB，OD经过圆心O，

∴AD＝BD＝cm.

在Rt△AOD中，

OD＝＝cm，

∴∠OAD＝30°

，∴∠AOD＝60°

.

∴∠AOB＝2∠AOD＝120°

∴∠ACB＝∠AOB＝60°

∵∠AOB＝120°

，∴劣弧的度数为120°

，优弧的度数为240°

∴∠AEB＝×

240°

＝120°

，

∴此弦所对的圆周角为60°

或120°

1．解答本题时应注意弦所对的圆周角有两个，它们互为补角．

2．和圆周角定理有关的线段、角的计算，不仅可以通过计算弧、圆心角、圆周角的度数来求相关的角、线段，有时，还可以通过比例线段，相似比来计算．

图2－1－1

　已知如图2－1－1，△ABC内接于⊙O，＝，点D是上任意一点，AD＝6cm，BD＝5cm，CD＝3cm，求DE的长．

【解】　∵＝，

∴∠ADB＝∠CDE.

又∵＝，

∴∠BAD＝∠ECD.

∴△ABD∽△CED.

∴＝.即＝.

∴ED＝2.5cm.

与圆周角定理相关的证明

　如图2－1－2，△ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E.

图2－1－2

（1）证明：

△ABE∽△ADC；

（2）若△ABC的面积S＝AD·

AE，求∠BAC的大小．

【思路探究】　

（1）通过证明角相等来证明三角形相似．

（2）利用

（1）的结论及面积相等求sin∠BAC的大小，从而求∠BAC的大小．

【自主解答】　

（1）由已知条件，可得∠BAE＝∠CAD.

因为∠AEB与∠ACB是同弧上的圆周角，所以∠AEB＝∠ACD.

故△ABE∽△ADC.

（2）因为△ABE∽△ADC，所以＝，即AB·

AC＝AD·

AE.

又S＝AB·

ACsin∠BAC且S＝AD·

AE，

故AB·

ACsin∠BAC＝AD·

则sin∠BAC＝1，又∠BAC为三角形内角，所以∠BAC＝90°

1．解答本题

（2）时关键是利用AB·

AE以及面积S＝AB·

ACsin∠BAC确定sin∠BAC的值．

2．利用圆中角的关系证明时应注意的问题

（1）分析已知和所求，找好所在的三角形，并根据三角形所在圆上的特殊性，寻求相关的圆周角作为桥梁；

（2）当圆中出现直径时，要注意寻找直径所对的圆周角，然后在直角三角形中处理相关问题．

如图2－1－3，△ABC内接于⊙O，高AD、BE相交于H，AD的延长线交⊙O于F，求证：

BF＝BH.

图2－1－3

【证明】　∵BE⊥AC，AD⊥BC，

∴∠AHE＝∠C.

∵∠AHE＝∠BHF，∠F＝∠C，

∴∠BHF＝∠F.

∴BF＝BH.

直径所对的圆周角问题

图2－1－4

如图2－1－4所示，AB是半圆的直径，AC为弦，且AC∶BC＝4∶3，AB＝10cm，OD⊥AC于D.

求四边形OBCD的面积．

【思路探究】　由AB是半圆的直径知∠C＝90°

，再由条件求出OD、CD、BC的长可得四边形OBCD的面积．

【自主解答】　∵AB是半圆的直径，∴∠C＝90°

∵AC∶BC＝4∶3，AB＝10cm，

∴AC＝8cm，BC＝6cm.

又∵OD⊥AC，∴OD∥BC.

∴OD是△ABC的中位线，

∴CD＝AC＝4cm，OD＝BC＝3cm.

∴S四边形OBCD＝（OD＋BC）·

DC

＝（3＋6）×

4＝18cm2.

在圆中，直径是一条特殊的弦，其所对的圆周角是直角，所对的弧是半圆，利用此性质既可以计算角大小、线段长度又可以证明线线垂直、平行等位置关系，还可以证明比例式相等．

图2－1－5

　如图2－1－5，已知等腰三角形ABC中，以腰AC为直径作半圆交AB于点E，交BC于点F，若∠BAC＝50°

，则的度数为（　　）

A．25°

　　　　　　B．50°

C．100°

D．120°

【解析】　如图，连接AF.

∵AC为⊙O的直径，

∴∠AFC＝90°

∴AF⊥BC，

∵AB＝AC，

∴∠BAF＝∠BAC＝25°

∴的度数为50°

【答案】　B

（教材第26页习题2.1第3题）

图2－1－6

如图2－1－6，BC为⊙O的直径，AD⊥BC，垂足为D，＝，BF和AD相交于E，求证：

AE＝BE.

（2013·

陕西高考）如图2－1－7，弦AB与CD相交于⊙O内一点E，过E作BC的平行线与AD的延长线交于点P，已知PD＝2DA＝2，则PE＝________.

图2－1－7

【命题意图】　本题主要考查圆周角定理、三角形相似等知识，证明三角形相似考查了逻辑推理能力，求线段的长度考查了知识的应用能力及转化意识．

【解析】　∵BC∥PE，∴∠C＝∠PED.

∵∠C＝∠A，∴∠A＝∠PED.

在△PED和△PAE中，

∠PED＝∠A，∠P＝∠P，

∴△PED∽△PAE，∴＝.

∵PA＝PD＋DA＝3，PD＝2，

∴PE2＝PA·

PD＝3×

2＝6，

∴PE＝.

【答案】　

1．如图2－1－8，在⊙O中，∠BAC＝60°

，则∠BDC＝（　　）

图2－1－8

A．30°

　　　　　　　　B．45°

C．60°

D．75°

【解析】　⊙O中，∠BAC与∠BDC都是所对的圆周角，故∠BDC＝∠BAC＝60°

【答案】　C

2．在△ABC中，AB＝AC，AB⊥AC，⊙O是△ABC的外接圆，则所对的圆心角为（　　）

A．22.5°

B．45°

C．90°

D．不确定

【解析】　∵∠ACB＝45°

，∴所对的圆心角为2∠ACB＝90°

3．（2013·

焦作模拟）如图2－1－9，A、B、C是⊙O的圆周上三点，若∠BOC＝3∠BOA，则∠CAB是∠ACB的________倍．

图2－1－9

【解析】　∵∠BOC＝3∠BOA，

∴＝3，

∴∠CAB＝3∠ACB.

【答案】　3

4．如图2－1－10所示，两个同心圆中，的度数是30°

，且大圆半径R＝4，小圆半径r＝2，则的度数是________．

图2－1－10

【解析】　的度数等于∠AOB，又的度数等于∠AOB，则的度数是30°

【答案】　30°

一、选择题

图2－1－11

1．如图2－1－11所示，若圆内接四边形的对角线相交于E，则图中相似三角形有（　　）

A．1对　　　　　　　　　B．2对

C．3对D．4对

【解析】　由推论知：

∠ADB＝∠ACB，∠ABD＝∠ACD，∠BAC＝∠BDC，∠CAD＝∠CBD，∴△AEB∽△DEC，△AED∽△BEC.

2．在半径为R的圆中有一条长度为R的弦，则该弦所对的圆周角的度数是（　　）

B．30°

或150°

D．60°

【解析】　弦所对的圆心角为60°

，又弦所对的圆周角有两个且互补，故选B.

3．如图2－1－12所示，等腰△ABC内接于⊙O，AB＝AC，∠A＝40°

，D是的中点，E是的中点，分别连接BD、DE、BE，则△BDE的三内角的度数分别是（　　）

图2－1－12

A．50°

，30°

，100°

B．55°

，20°

，105°

，10°

，110°

D．40°

，120°

【解析】　如图所示，连接AD.

∵AB＝AC，D是的中点，

∴AD过圆心O.

∵∠A＝40°

∴∠BED＝∠BAD＝20°

∠CBD＝∠CAD＝20°

∵E是的中点，

∴∠CBE＝∠CBA＝35°

∴∠EBD＝∠CBE＋∠CBD＝55°

∴∠BDE＝180°

－20°

－55°

＝105°

故选B.

4．如图2－1－13，点A、B、C是圆O上的点，且AB＝4，∠ACB＝30°

，则圆O的面积等于（　　）

图2－1－13

A．4πB．8π

C．12πD．16π

【解析】　连接OA，OB.

∵∠ACB＝30°

∴∠AOB＝60°

又∵OA＝OB，

∴△AOB为等边三角形．

又AB＝4，∴OA＝OB＝4.

∴S⊙O＝π·

42＝16π.

【答案】　D

二、填空题

图2－1－14

5．（2013·

平顶山模拟）如图2－1－14，已知Rt△ABC的两条直角边AC，BC的长分别为3cm，4cm，以AC为直径的圆与AB交于点D，则＝________.

【解析】　连接CD，∵AC是⊙O的直径，

∴∠CDA＝90°

.由射影定理得BC2＝BD·

BA，AC2＝AD·

AB，

∴＝，即＝.

6．如图2－1－15，AB为⊙O的直径，弦AC，BD交于点P，若AB＝3，CD＝1，则sin∠APD＝__________.

图2－1－15

【解析】　由于AB为⊙O的直径，则∠ADP＝90°

所以△APD是直角三角形．

则sin∠APD＝，cos∠APD＝，

由题意知，∠DCP＝∠ABP，∠CDP＝BAP，

所以△PCD∽△PBA.

所以＝，又AB＝3，CD＝1，则＝.

∴cos∠APD＝.又∵sin2∠APD＋cos2∠APD＝1，

∴sin∠APD＝.

三、解答题

7．如图2－1－16，已知A、B、C、D是⊙O上的四个点，AB＝BC，BD交AC于点E，连接CD、AD.

（1）求证：

DB平分∠ADC；

（2）若BE＝3，ED＝6，求AB的长．

图2－1－16

【解】　

（1）证明：

∵AB＝BC，∴＝，

∴∠BDC＝∠ADB，

∴DB平分∠ADC.

（2）由

（1）可知＝.

∴∠BAC＝∠ADB.

∵∠ABE＝∠ABD.

∴△ABE∽△DBA.∴＝.

∵BE＝3，ED＝6，∴BD＝9.

∴AB2＝BE·

BD＝3×

9＝27.

∴AB＝3.

8．如图2－1－17,△ABC是圆O的内接等边三角形，AD⊥AB，与BC的延长线相交于点D，与圆O相交于点E，若圆O的半径r＝1，求DE的长度．

图2－1－17

【解】　连接BE，∴AD⊥AB，

∴BE为⊙O的直径，且BE＝2r＝2.

又∵∠AEB＝∠ACB＝60°

∴∠ABE＝30°

，∠EBD＝30°

又∵∠ABD＝60°

∴∠D＝∠EBD＝30°

∴DE＝