高二数学教案21《圆周角定理》新人教A版选修41Word下载.docx

1、在半径为5 cm的圆内有长为5 cm的弦，求此弦所对的圆周角【思路探究】过圆心作弦的垂线构造直角三角形先求弦所对的圆心角度数，再分两种情况求弦所对的圆周角的度数【自主解答】如图所示，过点O作ODAB于点D.ODAB，OD经过圆心O，ADBDcm.在RtAOD中，ODcm，OAD30，AOD60.AOB2AOD120ACBAOB60AOB120，劣弧的度数为120，优弧的度数为240AEB240120，此弦所对的圆周角为60或1201解答本题时应注意弦所对的圆周角有两个，它们互为补角2和圆周角定理有关的线段、角的计算，不仅可以通过计算弧、圆心角、圆周角的度数来求相关的角、线段，有时，还可以通过比

2、例线段，相似比来计算图211已知如图211，ABC内接于O，点D是上任意一点，AD6 cm，BD5 cm，CD3 cm，求DE的长【解】，ADBCDE.又，BADECD.ABDCED.即.ED2.5 cm.与圆周角定理相关的证明如图212，ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E.图212（1）证明：ABEADC；（2）若ABC的面积SADAE，求BAC的大小【思路探究】（1）通过证明角相等来证明三角形相似（2）利用（1）的结论及面积相等求sinBAC的大小，从而求BAC的大小【自主解答】（1）由已知条件，可得BAECAD.因为AEB与ACB是同弧上的圆周角，所以AEBACD.故ABEA

3、DC.（2）因为ABEADC，所以，即ABACADAE.又SABACsinBAC且SADAE，故ABACsinBACAD则sinBAC1，又BAC为三角形内角，所以BAC901解答本题（2）时关键是利用ABAE以及面积SABACsinBAC确定sinBAC的值2利用圆中角的关系证明时应注意的问题（1）分析已知和所求，找好所在的三角形，并根据三角形所在圆上的特殊性，寻求相关的圆周角作为桥梁；（2）当圆中出现直径时，要注意寻找直径所对的圆周角，然后在直角三角形中处理相关问题如图213，ABC内接于O，高AD、BE相交于H，AD的延长线交O于F，求证：BFBH.图213【证明】BEAC，ADBC，A

4、HEC.AHEBHF，FC，BHFF.BFBH.直径所对的圆周角问题图214如图214所示，AB是半圆的直径，AC为弦，且ACBC43，AB10 cm，ODAC于D.求四边形OBCD的面积【思路探究】由AB是半圆的直径知C90，再由条件求出OD、CD、BC的长可得四边形OBCD的面积【自主解答】AB是半圆的直径，C90ACBC43，AB10 cm，AC8 cm，BC6 cm.又ODAC，ODBC.OD是ABC的中位线，CDAC4 cm，ODBC3 cm.S四边形OBCD（ODBC）DC（36）418 cm2.在圆中，直径是一条特殊的弦，其所对的圆周角是直角，所对的弧是半圆，利用此性质既可以计算

5、角大小、线段长度又可以证明线线垂直、平行等位置关系，还可以证明比例式相等图215如图215，已知等腰三角形ABC中，以腰AC为直径作半圆交AB于点E，交BC于点F，若BAC50，则的度数为（）A25B50C100 D120【解析】如图，连接AF.AC为O的直径，AFC90AFBC，ABAC，BAFBAC25的度数为50【答案】B（教材第26页习题2.1第3题）图216如图216，BC为O的直径，ADBC，垂足为D，BF和AD相交于E，求证：AEBE.（2013陕西高考）如图217，弦AB与CD相交于O内一点E，过E作BC的平行线与AD的延长线交于点P，已知PD2DA2，则PE_.图217【命题

6、意图】本题主要考查圆周角定理、三角形相似等知识，证明三角形相似考查了逻辑推理能力，求线段的长度考查了知识的应用能力及转化意识【解析】BCPE，CPED.CA，APED.在PED和PAE中，PEDA，PP，PEDPAE，.PAPDDA3，PD2，PE2PAPD326，PE.【答案】1如图218，在O中，BAC60，则BDC（）图218A30B45C60 D75【解析】O中，BAC与BDC都是所对的圆周角，故BDCBAC60【答案】C2在ABC中，ABAC，ABAC，O是ABC的外接圆，则所对的圆心角为（）A22.5 B45C90 D不确定【解析】ACB45，所对的圆心角为2ACB903（2013

7、焦作模拟）如图219，A、B、C是O的圆周上三点，若BOC3BOA，则CAB是ACB的_倍图219【解析】BOC3BOA，3，CAB3ACB.【答案】34如图2110所示，两个同心圆中，的度数是30，且大圆半径R4，小圆半径r2，则的度数是_图2110【解析】的度数等于AOB，又的度数等于AOB，则的度数是30【答案】30一、选择题图21111如图2111所示，若圆内接四边形的对角线相交于E，则图中相似三角形有（）A1对B2对C3对 D4对【解析】由推论知：ADBACB，ABDACD，BACBDC，CADCBD，AEBDEC，AEDBEC.2在半径为R的圆中有一条长度为R的弦，则该弦所对的圆周

8、角的度数是（） B30或150 D60【解析】弦所对的圆心角为60，又弦所对的圆周角有两个且互补，故选B.3如图2112所示，等腰ABC内接于O，ABAC，A40，D是的中点，E是的中点，分别连接BD、DE、BE，则BDE的三内角的度数分别是（）图2112A50，30，100 B55，20，105，10，110 D40，120【解析】如图所示，连接AD.ABAC，D是的中点，AD过圆心O.A40BEDBAD20 CBDCAD20E是的中点，CBECBA35EBDCBECBD55BDE1802055105故选B.4如图2113，点A、B、C是圆O上的点，且AB4，ACB30，则圆O的面积等于（）

9、图2113A4 B8C12 D16【解析】连接OA，OB.ACB30AOB60又OAOB，AOB为等边三角形又AB4，OAOB4.SO4216.【答案】D二、填空题图21145（2013平顶山模拟）如图2114，已知RtABC的两条直角边AC，BC的长分别为3 cm，4 cm，以AC为直径的圆与AB交于点D，则_.【解析】连接CD，AC是O的直径，CDA90.由射影定理得BC2BDBA，AC2ADAB，即.6如图2115，AB为O的直径，弦AC，BD交于点P，若AB3，CD1，则sinAPD_.图2115【解析】由于AB为O的直径，则ADP90所以APD是直角三角形则sinAPD，cosAPD

10、，由题意知，DCPABP，CDPBAP，所以PCDPBA.所以，又AB3，CD1，则.cosAPD.又sin2APDcos2APD1，sinAPD.三、解答题7如图2116，已知A、B、C、D是O上的四个点，ABBC，BD交AC于点E，连接CD、AD.（1）求证：DB平分ADC；（2）若BE3，ED6，求AB的长图2116【解】（1）证明：ABBC，BDCADB，DB平分ADC.（2）由（1）可知.BACADB.ABEABD.ABEDBA.BE3，ED6，BD9.AB2BEBD3927.AB3.8如图2117, ABC是圆O的内接等边三角形，ADAB，与BC的延长线相交于点D，与圆O相交于点E，若圆O的半径r1，求DE的长度图2117【解】连接BE，ADAB，BE为O的直径，且BE2r2.又AEBACB60ABE30，EBD30又ABD60DEBD30DE