届高三数学一轮复习 第5章 第4节 数列求和Word文档格式.docx

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如果一个数列{an}的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解．

6．并项求和法

一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝（－1）nf（n）类型，可采用两项合并求解．

例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12

＝（100＋99）＋（98＋97）＋…＋（2＋1）＝5050.

1．（思考辨析）判断下列结论的正误．（正确的打“√”，错误的打“×

”）

（1）如果数列{an}为等比数列，且公比不等于1，则其前n项和Sn＝.（　　）

（2）当n≥2时，＝.（　　）

（3）求Sn＝a＋2a2＋3a3＋…＋nan之和时只要把上式等号两边同时乘以a即可根据错位相减法求得．（　　）

（4）如果数列{an}是周期为k（k为大于1的正整数）的周期数列，那么Skm＝mSk.（　　）．

[答案]　

（1）√　

（2）√　（3）×

　（4）√

2．（教材改编）数列{an}的前n项和为Sn，若an＝，则S5等于（　　）

A．1　　　　　　　　　B.

C.D.

B　[∵an＝＝－，

∴S5＝a1＋a2＋…＋a5＝1－＋－＋…－＝.]

3．（2016·

广东中山华侨中学3月模拟）已知等比数列{an}中，a2·

a8＝4a5，等差数列{bn}中，b4＋b6＝a5，则数列{bn}的前9项和S9等于（　　）

A．9B.18

C．36D.72

B　[∵a2·

a8＝4a5，即a＝4a5，∴a5＝4，

∴a5＝b4＋b6＝2b5＝4，∴b5＝2，

∴S9＝9b5＝18，故选B.]

4．若数列{an}的通项公式为an＝2n＋2n－1，则数列{an}的前n项和Sn＝__________.

【导学号：

01772188】

2n＋1－2＋n2　[Sn＝＋＝2n＋1－2＋n2.]

5．3·

2－1＋4·

2－2＋5·

2－3＋…＋（n＋2）·

2－n＝__________.

4－　[设S＝3×

＋4×

＋5×

＋…＋（n＋2）×

，

则S＝3×

.

两式相减得S＝3×

＋－.

∴S＝3＋－

＝3＋－＝4－.]

分组转化求和

　（2016·

北京高考）已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且b2＝3，b3＝9，a1＝b1，a14＝b4.

（1）求{an}的通项公式；

（2）设cn＝an＋bn，求数列{cn}的前n项和．

[解]　

（1）设等比数列{bn}的公比为q，则q＝＝＝3，

所以b1＝＝1，b4＝b3q＝27，所以bn＝3n－1（n＝1,2,3，…）.2分

设等差数列{an}的公差为d.

因为a1＝b1＝1，a14＝b4＝27，所以1＋13d＝27，即d＝2.

所以an＝2n－1（n＝1,2,3，…）.5分

（2）由

（1）知an＝2n－1，bn＝3n－1.

因此cn＝an＋bn＝2n－1＋3n－1.7分

从而数列{cn}的前n项和

Sn＝1＋3＋…＋（2n－1）＋1＋3＋…＋3n－1

＝＋＝n2＋.12分

[规律方法]　分组转化法求和的常见类型

（1）若an＝bn±

cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，则可采用分组求和法求{an}的前n项和．

（2）通项公式为an＝的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和．

易错警示：

注意在含有字母的数列中对字母的分类讨论．

[变式训练1]　（2016·

浙江高考）设数列{an}的前n项和为Sn，已知S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*.

（1）求通项公式an；

（2）求数列{|an－n－2|}的前n项和．

[解]　

（1）由题意得则2分

又当n≥2时，由an＋1－an＝（2Sn＋1）－（2Sn－1＋1）＝2an，得an＋1＝3an，

所以数列{an}的通项公式为an＝3n－1，n∈N*.5分

（2）设bn＝|3n－1－n－2|，n∈N*，则b1＝2，b2＝1.

当n≥3时，由于3n－1>

n＋2，故bn＝3n－1－n－2，n≥3.8分

设数列{bn}的前n项和为Tn，则T1＝2，T2＝3，

当n≥3时，Tn＝3＋－＝，

所以Tn＝12分

裂项相消法求和

　（2015·

全国卷Ⅰ）Sn为数列{an}的前n项和．已知an＞0，a＋2an＝4Sn＋3.

（2）设bn＝，求数列{bn}的前n项和．

[解]　

（1）由a＋2an＝4Sn＋3，①

可知a＋2an＋1＝4Sn＋1＋3.②

②－①，得a－a＋2（an＋1－an）＝4an＋1，

即2（an＋1＋an）＝a－a＝（an＋1＋an）（an＋1－an）.3分

由an>

0，得an＋1－an＝2.

又a＋2a1＝4a1＋3，解得a1＝－1（舍去）或a1＝3.

所以{an}是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为an＝2n＋1.5分

（2）由an＝2n＋1可知

bn＝＝＝.8分

设数列{bn}的前n项和为Tn，则

Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝

＝.12分

[规律方法]　1.裂项相消法求和就是将数列中的每一项裂成两项或多项，使这些裂开的项出现有规律的相互抵捎，要注意消去了哪些项，保留了哪些项，从而达到求和的目的．

2．消项规律：

消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项．

[变式训练2]　（2017·

石家庄一模）已知等差数列{an}中，2a2＋a3＋a5＝20，且前10项和S10＝100.

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）若bn＝，求数列{bn}的前n项和．

[解]　

（1）由已知得

解得3分

所以数列{an}的通项公式为an＝1＋2（n－1）＝2n－1.5分

（2）bn＝＝，8分

所以Tn＝

＝＝.12分

错位相减法求和

山东高考）已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2＋8n，{bn}是等差数列，且an＝bn＋bn＋1.

（1）求数列{bn}的通项公式；

（2）令cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn.

[解]　

（1）由题意知当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝6n＋5.

当n＝1时，a1＝S1＝11，符合上式．

所以an＝6n＋5.2分

设数列{bn}的公差为d.

由即

解得所以bn＝3n＋1.5分

（2）由

（1）知cn＝＝3（n＋1）·

2n＋1.7分

又Tn＝c1＋c2＋…＋cn，

得Tn＝3×

[2×

22＋3×

23＋…＋（n＋1）×

2n＋1]，

2Tn＝3×

23＋3×

24＋…＋（n＋1）×

2n＋2]，9分

两式作差，得－Tn＝3×

22＋23＋24＋…＋2n＋1－（n＋1）×

2n＋2]

＝3×

＝－3n·

2n＋2，

所以Tn＝3n·

2n＋2.12分

[规律方法]　1.如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·

bn}的前n项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列{bn}的公比，若{bn}的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况讨论．

2．在书写“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，即公比q的同次幂项相减，转化为等比数列求和．

[变式训练3]　（2016·

广东肇庆第三次模拟）已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S3＝6，S5＝15.

（2）设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.

[解]　

（1）设等差数列{an}的公差为d，首项为a1.

∵S3＝6，S5＝15，

∴即

∴{an}的通项公式为an＝a1＋（n－1）d＝1＋（n－1）×

1＝n.5分

（2）由

（1）得bn＝＝，6分

∴Tn＝＋＋＋…＋＋，①

①式两边同乘，得

Tn＝＋＋＋…＋＋，②

①－②得Tn＝＋＋＋…＋－

＝－＝1－－，10分

∴Tn＝2－－.12分

[思想与方法]

解决非等差、等比数列的求和，主要有两种思路：

（1）转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相减来完成．

（2）不能转化为等差或等比数列的数列，往往通过裂项相消法、倒序相加法等来求和．

[易错与防范]

1．直接应用公式求和时，要注意公式的应用范围，如当等比数列公比为参数（字母）时，应对其公比是否为1进行讨论．

2．利用裂项相消法求和的注意事项：

（1）抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项．

（2）将通项裂项后，有时需要调整前面的系数，使裂开的两项之差与系数之积与原通项相等．如：

若{an}是等差数列，

则＝，＝.