届高三数学一轮复习 第5章 第4节 数列求和Word文档格式.docx

1、如果一个数列an的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解6并项求和法一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和形如an（1）nf（n）类型，可采用两项合并求解例如，Sn10029929829722212（10099）（9897）（21）5 050.1（思考辨析）判断下列结论的正误（正确的打“”，错误的打“”）（1）如果数列an为等比数列，且公比不等于1，则其前n项和Sn.（）（2）当n2时，.（）（3）求Sna2a23a3nan之和时只要把上式等号两边同时乘以a即可根据错位相减法求得（）（4）如果数列an是周期为k（

2、k为大于1的正整数）的周期数列，那么SkmmSk.（）答案（1）（2）（3）（4）2（教材改编）数列an的前n项和为Sn，若an，则S5等于（）A1 B. C. D. Ban，S5a1a2a51.3（2016广东中山华侨中学3月模拟）已知等比数列an中，a2a84a5，等差数列bn中，b4b6a5，则数列bn的前9项和S9等于（）A9 B.18C36 D.72Ba2a84a5，即a4a5，a54，a5b4b62b54，b52，S99b518，故选B.4若数列an的通项公式为an2n2n1，则数列an的前n项和Sn_. 【导学号：01772188】2n12n2Sn2n12n2.532142252

3、3（n2）2n_.4设S345（n2），则S3.两式相减得S3.S334.分组转化求和（2016北京高考）已知an是等差数列，bn是等比数列，且b23，b39，a1b1，a14b4.（1）求an的通项公式；（2）设cnanbn，求数列cn的前n项和解（1）设等比数列bn的公比为q，则q3，所以b11，b4b3q27，所以bn3n1（n1,2,3，）.2分设等差数列an的公差为d.因为a1b11，a14b427，所以113d27，即d2.所以an2n1（n1,2,3，）.5分（2）由（1）知an2n1，bn3n1.因此cnanbn2n13n1.7分从而数列cn的前n项和Sn13（2n1）133n

4、1n2.12分规律方法分组转化法求和的常见类型（1）若an bncn，且bn，cn为等差或等比数列，则可采用分组求和法求an的前n项和（2）通项公式为an的数列，其中数列bn，cn是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和易错警示：注意在含有字母的数列中对字母的分类讨论变式训练1（2016浙江高考）设数列an的前n项和为Sn，已知S24，an12Sn1，nN*.（1）求通项公式an；（2）求数列|ann2|的前n项和解（1）由题意得则2分又当n2时，由an1an（2Sn1）（2Sn11）2an，得an13an，所以数列an的通项公式为an3n1，nN*.5分（2）设bn|3n1n2|，nN*，

5、则b12，b21.当n3时，由于3n1n2，故bn3n1n2，n3.8分设数列bn的前n项和为Tn，则T12，T23，当n3时，Tn3，所以Tn12分裂项相消法求和（2015全国卷）Sn为数列an的前n项和已知an0，a2an4Sn3.（2）设bn，求数列bn的前n项和解（1）由a2an4Sn3，可知a2an14Sn13.，得aa2（an1an）4an1，即2（an1an）aa（an1an）（an1an）.3分由an0，得an1an2.又a2a14a13，解得a11（舍去）或a13.所以an是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为an2n1.5分（2）由an2n1可知bn.8分设数列bn的前

6、n项和为Tn，则Tnb1b2bn.12分规律方法1.裂项相消法求和就是将数列中的每一项裂成两项或多项，使这些裂开的项出现有规律的相互抵捎，要注意消去了哪些项，保留了哪些项，从而达到求和的目的2消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项变式训练2（2017石家庄一模）已知等差数列an中，2a2a3a520，且前10项和S10100.（1）求数列an的通项公式；（2）若bn，求数列bn的前n项和解（1）由已知得解得3分所以数列an的通项公式为an12（n1）2n1.5分（2）bn，8分所以Tn.12分错位相减法求和山东高考）已知数列an的前n项和Sn3n28n，bn

7、是等差数列，且anbnbn1.（1）求数列bn的通项公式；（2）令cn，求数列cn的前n项和Tn.解（1）由题意知当n2时，anSnSn16n5.当n1时，a1S111，符合上式所以an6n5.2分设数列bn的公差为d.由即解得所以bn3n1.5分（2）由（1）知cn3（n1）2n1.7分又Tnc1c2cn，得Tn3222323（n1）2n1，2Tn323324（n1）2n2，9分两式作差，得Tn32223242n1（n1）2n233n2n2，所以Tn3n2n2.12分规律方法1.如果数列an是等差数列，bn是等比数列，求数列anbn的前n项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比

8、数列bn的公比，若bn的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况讨论2在书写“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，即公比q的同次幂项相减，转化为等比数列求和变式训练3（2016广东肇庆第三次模拟）已知等差数列an的前n项和Sn满足S36，S515.（2）设bn，求数列bn的前n项和Tn.解（1）设等差数列an的公差为d，首项为a1.S36，S515，即an的通项公式为an a1（n1）d1（n1）1n.5分（2）由（1）得bn，6分Tn，式两边同乘， 得Tn，得Tn1，10分Tn2.12分思想与方法解决非等差、等比数列的求和，主要有两种思路：（1）转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相减来完成（2）不能转化为等差或等比数列的数列，往往通过裂项相消法、倒序相加法等来求和易错与防范1直接应用公式求和时，要注意公式的应用范围，如当等比数列公比为参数（字母）时，应对其公比是否为1进行讨论2利用裂项相消法求和的注意事项：（1）抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项（2）将通项裂项后，有时需要调整前面的系数，使裂开的两项之差与系数之积与原通项相等如：若an是等差数列，则，.