安徽省定远重点中学学年高二月考数学理试题 Word版 含答案Word文件下载.docx

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①若直线平行于平面内的无数条直线，则直线；

②若直线在平面外，则；

③若直线，，则；

④若直线，，则平行于平面内的无数条直线.

A．1个B．2个

C.3个D．4个

4.已知，为异面直线，下列结论不正确的是（）

A．必存在平面使得

B．必存在平面使得，与所成角相等

C．必存在平面使得，

D．必存在平面使得，与的距离相等

5.如图，为正方体，下面结论：

①平面；

②；

③平面；

④直线与所成的角为45°

．其中正确结论的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

6.如图所示是一个三棱锥的三视图，则此三棱锥的外接球的体积为（）

7.已知圆：

和点，若圆上存在两点，使得，则实数的取值范围为（）

8.已知某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为（）

A.3B.C.D.

9.直线截圆得的劣弧所对的圆心角是（）．

10.直线的斜率和在轴上的截距分别是（）

11.过抛物线的焦点的直线与抛物线交于，两点，与抛物线准线交于点，若是的中点，则（）

12.已知空间两点P（－1,2，－3），Q（3，－2，－1），则P、Q两点间的距离是（　　）

A.6B.2

C.36D.2

第II卷（非选择题90分）

二、填空题（共4小题,每小题5分,共20分）

13.双曲线离心率___________

14.一个圆经过椭圆的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为.

15.表面积为的球的半径为_________.

16.在长方体中，，则点D到平面的距离是____．

三、解答题（共5小题,每小题14分，共70分）

17.已知抛物线，过其焦点作两条相互垂直且不平行于坐标轴的直线，它们分别交抛物线于点、和点、，线段、的中点分别为、.

（Ⅰ）求线段的中点的轨迹方程；

（Ⅱ）求面积的最小值；

（Ⅲ）过、的直线是否过定点?

若是，求出定点坐标，若不是，请说明理由.

18.如图，四棱锥中，，，，，侧面为等边三角形.

（1）证明：

；

（2）求二面角的正弦值.

19.如图，在直三棱柱中，点分别为线段的中点.

（1）求证：

平面；

（2）若在边上，，求证：

.

20.已知圆．

（1）直线的方程为，直线交圆于、两点，求弦长的值；

（2）从圆外一点引圆的切线，求此切线方程．

21.已知抛物线y2＝2px（p>

0）的焦点为F，A（x1，y1），B（x2，y2）是过F的直线与抛物线的两个交点，求证：

（1）y1y2＝－p2，；

（2）为定值；

（3）以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.

参考答案

1.D2.B3.A4.C5.D6.C7.C8.B9.C10.A11.B12.A

13.

14.

15.1

16.

17.

（Ⅰ）由题设条件得焦点坐标为，

设直线的方程为,.

联立，得.

设，，则，

，∴.

∴线段的中点的轨迹方程为：

（Ⅱ）由（Ⅰ）知：

同理，设，则.

∴,

，

因此.

当且仅当，即时，取到最小值4.

（Ⅲ）当时，由（Ⅱ）知直线的斜率为：

所以直线的方程为:

即，（*）

当，时方程（*）对任意的均成立，即直线过点.

当时，直线的方程为：

，也过点.

所以直线恒过定点.

18.

（1）根据矩形的性质与正三角形的性质可证，，得平面，进而；

（2）分别以的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，而知是平面的法向量，根据空间向量夹角余弦公式可得二面角的余弦，进而求得正弦值.

试题解析：

（1）取的中点，连接，则四边形为矩形，

∴，

∵为等边三角形，

∴.

∵，

∴平面.

平面，.

（2）由

（1）知，，过作平面，则两两垂直，分别以的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，

则，

∴，∴平面，

∴，，

设平面的法向量为.

∵，，

∴，取，则，

设二面角为，则，

∴二面角的正弦值.

19.

（1）由题意，利用三角形中位线定理可证MN∥BC，即可判定MN∥平面；

（2）利用线面垂直的性质可证CC1⊥AD，结合已知可证AD⊥平面，从而证明AD⊥BC，结合

（1）知，MN∥BC，即可证明MN⊥AD

（1）如图，连结A1C．]

在直三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面AA1C1C为平行四边形．

又因为N为线段AC1的中点，

所以A1C与AC1相交于点N，

即A1C经过点N，且N为线段A1C的中点．………………2分

因为M为线段A1B的中点，

所以MN∥BC．………………4分

又MNË

平面BB1C1C，BCÌ

平面BB1C1C，

所以MN∥平面BB1C1C．…………………6分

（2）在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CC1⊥平面ABC．

又ADÌ

平面ABC，所以CC1⊥AD．……………………8分

因为AD⊥DC1，DC1Ì

平面BB1C1C，CC1Ì

平面BB1C1C，CC1∩DC1＝C1，

所以AD⊥平面BB1C1C．……………………10分

又BCÌ

平面BB1C1C，所以AD⊥BC．……………………12分

又由

（1）知，MN∥BC，所以MN⊥AD．……………………14分

考点：

直线与平面垂直的性质；

直线与平面平行的判定

20.

（1）由圆方程可得圆心，，先求出圆心到直线距离，根据勾股定理可得；

（2）当直线为时，与圆相切，符合题意．

当斜率存在时，设斜率为，可设直线，利用圆心到切线的距离等于半径列方程，即可解得的值，从而可得结果.

（1）∵圆，

∴圆心，，

圆心到直线距离，

∴．

（2）①当直线为时，与圆相切，符合题意．

②当斜率存在时，设斜率为，

∴直线，

即，

∵直线与圆相切，

∴即，

∴直线：

∴综上可知，切线方程为或．

21.

（1）由已知得抛物线焦点坐标为（，0）.由题意可设直线方程为x＝my＋，

代入y2＝2px，得y2＝2p（my＋），即y2－2pmy－p2＝0.（*）

则y1，y2是方程（*）的两个实数根，所以y1y2＝－p2.

因为y＝2px1，y＝2px2，所以yy＝4p2x1x2，

所以x1x2＝＝＝.

（2）＋＝＋＝.

因为x1x2＝，x1＋x2＝|AB|－p，代入上式，

得＋＝＝（定值）.

（3）设AB的中点为M（x0，y0），分别过A，B作准线的垂线，垂足为C，D，过M作准线的垂线，垂足为N，则|MN|＝（|AC|＋|BD|）＝（|AF|＋|BF|）＝|AB|.所以以AB为直径的圆与抛物线的准线相切