幂函数高一新教材A版必修第一册Word格式.docx

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时，增函数

x∈（－∞，0]

时，减函数

x∈（0，＋∞）

x∈（－∞，0）

1．下列函数中不是幂函数的是（　　）

A．y＝　　　B．y＝x3

C．y＝3xD．y＝x－1

C　[只有y＝3x不符合幂函数y＝xα的形式，故选C.]

2．已知f（x）＝（m＋1）xm2＋2是幂函数，则m＝（　　）

A．2　　　　B．1C．3　　　　D．0

D　[由题意可知m＋1＝1，即m＝0，∴f（x）＝x2.]

3．已知幂函数f（x）＝xα的图象过点，则f（4）＝________.

　[由f

（2）＝可知2α＝，即α＝－，

∴f（4）＝4＝.]

幂函数的概念

【例1】　已知y＝（m2＋2m－2）xm2－1＋2n－3是幂函数，求m，n的值．

[解]　由题意得

解得所以m＝－3，n＝.

判断一个函数是否为幂函数的方法

判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα（α为常数）的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：

（1）指数为常数；

（2）底数为自变量；

（3）系数为1.

1．

（1）在函数y＝，y＝2x2，y＝x2＋x，y＝1中，幂函数的个数为（　　）

A．0　　B．1

C．2D．3

（2）若函数f（x）是幂函数，且满足f（4）＝3f

（2），则f的值等于________．

（1）B　

（2）　[

（1）∵y＝＝x－2，∴是幂函数；

y＝2x2由于出现系数2，因此不是幂函数；

y＝x2＋x是两项和的形式，不是幂函数；

y＝1＝x0（x≠0），可以看出，常函数y＝1的图象比幂函数y＝x0的图象多了一个点（0,1），所以常函数y＝1不是幂函数．

（2）设f（x）＝xα，∵f（4）＝3f

（2），∴4α＝3×

2α，解得α＝log23，∴f＝log23＝.]

幂函数的图象及应用

【例2】　点（，2）与点分别在幂函数f（x），g（x）的图象上，问当x为何值时，有：

（1）f（x）>

g（x）；

（2）f（x）＝g（x）；

（3）f（x）<

g（x）．

[解]　设f（x）＝xα，g（x）＝xβ.

∵（）α＝2，（－2）β＝－，

∴α＝2，β＝－1，

∴f（x）＝x2，g（x）＝x－1.分别作出它们的图象，如图所示．由图象知，

（1）当x∈（－∞，0）∪（1，＋∞）时，f（x）>

（2）当x＝1时，f（x）＝g（x）；

（3）当x∈（0,1）时，f（x）<

解决幂函数图象问题应把握的两个原则

（1）依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：

在（0，1）上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴（简记为指大图低）；

在（1，＋∞）上，指数越大，幂函数图象越远离x轴（简记为指大图高）.

（2）依据图象确定幂指数α与0，1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象（类似于y＝x－1或y＝x或y＝x3）来判断.

2.

（1）若四个幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在同一坐标系中的图象如图，则a，b，c，d的大小关系是（　　）

A．d>

c>

b>

a

B．a>

d

C．d>

a>

b

D．a>

d>

c

（2）函数y＝x－1的图象关于x轴对称的图象大致是（　　）

A　　B　　C　　D

（1）B　

（2）B　[

（1）令a＝2，b＝，c＝－，d＝－1，正好和题目所给的形式相符合．

在第一象限内，x＝1的右侧部分的图象，图象由下至上，幂指数增大，所以a>

d.故选B.

（2）y＝x的图象位于第一象限且为增函数，所以函数图象是上升的，函数y＝x－1的图象可看作由y＝x的图象向下平移一个单位得到的（如选项A中的图所示），将y＝x－1的图象关于x轴对称后即为选项B.]

幂函数性质的综合应用

[探究问题]

1．幂函数y＝xα在（0，＋∞）上的单调性与α有什么关系？

提示：

当α>

0时，幂函数y＝xα在（0，＋∞）上单调递增；

当α<

0时，幂函数y＝xα在（0，＋∞）上单调递减．

2．2.3－0.2和2.2－0.2可以看作哪一个函数的两个函数值？

二者的大小关系如何？

2.3－0.2和2.2－0.2可以看作幂函数f（x）＝x－0.2的两个函数值，因为函数f（x）＝x－0.2在（0，＋∞）上单调递减，所以2.3－0.2＜2.2－0.2.

【例3】　比较下列各组中幂值的大小：

（1）0.213,0.233；

（2）1.2，0.9，.

[思路点拨]　构造幂函数，借助其单调性求解．

[解]　

（1）∵函数y＝x3是增函数，且0.21＜0.23，

∴0.213<

0.233.

（2）0.9＝，＝1.1.

∵1.2>

>

1.1，且y＝x在[0，＋∞）上单调递增，

∴1.2>

1.1，即1.2>

0.9>

.

把本例的各组数据更换如下，再比较其大小关系：

（1）0.5与0.5；

（2）－1与－1.

[解]　

（1）因为幂函数y＝x0.5在[0，＋∞）上是单调递增的，

又>

，

所以0.5>

0.5.

（2）因为幂函数y＝x－1在（－∞，0）上是单调递减的，

又－<

－，所以－1>

－1.

比较幂的大小时若指数相同，则利用幂函数的单调性比较大小；

若底数、指数均不同，则考虑用中间值法比较大小，这里的中间值可以是“0”或“1”.

1．判断一个函数是否为幂函数，其关键是判断其是否符合y＝xα（α为常数）的形式．

2．幂函数的图象是幂函数性质的直观反映，会用类比的思想分析函数y＝xα（α为常数）同五个函数（y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y＝x）图象与性质的关系．

3．幂函数的单调性是比较幂值大小关系的重要依据，要学会用幂函数的图象及性质处理幂值大小的比较问题.

1．思考辨析

（1）幂函数的图象都过点（0,0），（1,1）．（　　）

（2）幂函数的图象一定不能出现在第四象限．（　　）

（3）当幂指数α取1,3，时，幂函数y＝xα是增函数．（　　）

（4）当幂指数α＝－1时，幂函数y＝xα在定义域上是减函数．（　　）

[答案]　

（1）×

（2）√　（3）√　（4）×

2．幂函数的图象过点（2，），则该幂函数的解析式是（　　）

A．y＝x－1　　　B．y＝x

C．y＝x2D．y＝x3

B　[设f（x）＝xα，则2α＝，

∴α＝，∴f（x）＝x.

选B.]

3．函数y＝x的图象是（　　）

A　　B　　C　　D

C　[∵函数y＝x是非奇非偶函数，故排除A、B选项．又>

1，故选C.]

4．比较下列各组数的大小：

（1）3与3.1；

（2）4.1，3.8，（－1.9）.

[解]　

（1）因为函数y＝x在（0，＋∞）上为减函数，

又3<

3.1，所以3>

3.1.

（2）4.1>

1＝1,0<

3.8<

1＝1，而（－1.9）<

0，所以4.1>

3.8>

（－1.9）.

课后作业　幂函数

（建议用时：

60分钟）

[合格基础练]

一、选择题

1．已知幂函数f（x）＝k·

xα的图象过点，则k＋α等于（　　）

A.　　　　B．1　　　　C.　　　　D．2

A　[∵幂函数f（x）＝kxα（k∈R，α∈R）的图象过点，∴k＝1，f＝α＝，即α＝－，∴k＋α＝.]

2.如图所示，给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是（　　）

A．①y＝x，②y＝x2，③y＝x，④y＝x－1

B．①y＝x3，②y＝x2，③y＝x，④y＝x－1

C．①y＝x2，②y＝x3，③y＝x，④y＝x－1

D．①y＝x3，②y＝x，③y＝x2，④y＝x－1

B　[因为y＝x3的定义域为R且为奇函数，故应为图①；

y＝x2为开口向上的抛物线且顶点为原点，应为图②.同理可得出选项B正确．]

3．幂函数的图象过点（3,），则它的单调递增区间是（　　）

A．[－1，＋∞）　　　B．[0，＋∞）

C．（－∞，＋∞）D．（－∞，0）

B　[设幂函数为f（x）＝xα，因为幂函数的图象过点（3,），所以f（3）＝3α＝＝3，解得α＝，所以f（x）＝x，所以幂函数的单调递增区间为[0，＋∞），故选B.]

4．设α∈，则使函数y＝xα的定义域是R，且为奇函数的所有α的值是（　　）

A．1,3B．－1,1

C．－1,3D．－1,1,3

A　[当α＝－1时，y＝x－1的定义域是{x|x≠0}，且为奇函数；

当α＝1时，函数y＝x的定义域是R，且为奇函数；

当α＝时，函数y＝x的定义域是{x|x≥0}，且为非奇非偶函数；

当α＝3时，函数y＝x3的定义域是R且为奇函数．故选A.]

5．幂函数f（x）＝xα的图象过点（2,4），那么函数f（x）的单调递增区间是（　　）

A．（－2，＋∞）B．[－1，＋∞）

C．[0，＋∞）D．（－∞，－2）

C　[由题意得4＝2α，即22＝2α，所以α＝2.所以f（x）＝x2.

所以二次函数f（x）的单调递增区间是[0，＋∞）．]

二、填空题

6．已知幂函数f（x）＝xm的图象经过点，则f（6）＝________.

　[依题意＝（）m＝3，所以＝－1，m＝－2，

所以f（x）＝x－2，所以f（6）＝6－2＝.]

7．若幂函数f（x）＝（m2－m－1）x2m－3在（0，＋∞）上是减函数，则实数m＝________.

－1　[∵f（x）＝（m2－m－1）x2m－3为幂函数，

∴m2－m－1＝1，∴m＝2或m＝－1.

当m＝2时，f（x）＝x，在（0，＋∞）上为增函数，不合题意，舍去；

当m＝－1时，f（x）＝x－5，符合题意．

综上可知，m＝－1.]

8．若幂函数y＝x（m，n∈N*且m，n互质）的图象如图所示，则下列说法中正确的是________．

①m，n是奇数且<

1；

②m是偶数，n是奇数，且>

③m是偶数，n是奇数，且<

④m，n是偶数，且>

1.

③　[由题图知，函数y＝x为偶函数，m为偶数，n为奇数，又在第一象限向上“凸”，所以<

1，选③.]

三、解答题

9．已知函数f（x）＝（m2＋2m）·

x，m为何值时，函数f（x）是：

（1）正比例函数；

（2）反比例函数；

（3）幂函数．

[解]　

（1）若函数f（x）为正比例函数，则

∴m＝1.

（2）若函数f（x）为反比例函数，则

∴m＝－1.

（3）若函数f（x）为幂函数，则m2＋2m＝1，∴m＝－1±

10．已知幂函数y＝f（x）经过点.

（1）试求函数解析式；

（2）判断函数的奇偶性并写出函数的单调区间．

[解]　

（1）由题意，得f

（2）＝2α＝，即α＝－3，故函数解析式为f（x）＝x－3.

（2）∵f（x）＝x－3＝，∴要使函数有意义，则x≠0，即定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），关于原点对称．

∵f（－x）＝（－x）－3＝－x－3＝－f（x），

∴该幂函数为奇函数．

当x＞0时，根据幂函数的性质可知f（x）＝x－3在（0，＋∞）上为减函数，∵函数f（x）是奇函数，∴在（－∞，0）上也为减函数，故其单调减区间为（－∞，0），（0，＋∞）．

[等级过关练]

1．函数y＝x－2在区间上的最大值是（　　）

A.B．－1

C．4D．－4

C　[