高考数学一轮复习第10章计数原理概率随机变量及其分布108n次独立重复试验与二项分布学案理Word文档下载推荐.docx
《高考数学一轮复习第10章计数原理概率随机变量及其分布108n次独立重复试验与二项分布学案理Word文档下载推荐.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高考数学一轮复习第10章计数原理概率随机变量及其分布108n次独立重复试验与二项分布学案理Word文档下载推荐.docx(22页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
(2)二项分布
在n次独立重复试验中,用X表示事件A发生的次数,设每次试验中事件A发生的概率是p,此时称随机变量X服从二项分布,记作X~B(n,p),并称p为成功概率.在n次独立重复试验中,事件A恰好发生k次的概率为P(X=k)=Cpk(1-p)n-k(k=0,1,2,…,n).
[诊断自测]
1.概念思辨
(1)相互独立事件就是互斥事件.( )
(2)P(B|A)表示在事件A发生的条件下,事件B发生的概率;
P(BA)表示事件A,B同时发生的概率,一定有P(AB)=P(A)·
P(B).( )
(3)二项分布是一个概率分布,其公式相当于(a+b)n二项展开式的通项公式,其中a=p,b=(1-p).( )
(4)二项分布是一个概率分布列,是一个用公式P(X=k)=Cpk(1-p)n-k,k=0,1,2,…,n表示的概率分布列,它表示了n次独立重复试验中事件A发生的次数的概率分布.( )
答案
(1)×
(2)×
(3)×
(4)√
2.教材衍化
(1)(选修A2-3P55T2
(1))袋中有5个小球(3白2黑),现从袋中每次取一个球,不放回地抽取两次,则在第一次取到白球的条件下,第二次取到白球的概率是( )
A.B.C.D.
答案 C
解析 记事件A为“第一次取到白球”,事件B为“第二次取到白球”,则事件AB为“两次都取到白球”,依题意知P(A)=,P(AB)=×
=,所以P(B|A)===.故选C.
(2)(选修A2-3P58T2)将一枚硬币连掷5次,如果出现k次正面的概率等于出现k+1次正面的概率,则k=________.
答案 2
解析 依题意有C×
k×
5-k=C×
k+1×
5-(k+1),所以C=C,所以k=2.
3.小题热身
(1)两个实习生每人加工一个零件,加工为一等品的概率分别为和,两个零件是否加工为一等品相互独立,则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( )
答案 B
解析 设事件A:
甲实习生加工的零件为一等品;
事件B:
乙实习生加工的零件为一等品,且A,B相互独立,则P(A)=,P(B)=,所以这两个零件中恰有一个一等品的概率为P(A)+P(B)=P(A)P()+P()P(B)=×
+×
=.故选B.
(2)(xx·
全国卷Ⅰ)投篮测试中,每人投3次,至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为( )
A.0.648B.0.432C.0.36D.0.312
答案 A
解析 3次投篮投中2次的概率为P(k=2)=C×
0.62×
(1-0.6)=3×
0.4,投中3次的概率为P(k=3)=0.63,所求事件的概率P=P(k=2)+P(k=3)=0.648.故选A.
题型1 条件概率
从1,2,3,4,5中任取2个不同的数,事件A:
“取到的2个数之和为偶数”,事件B:
“取到的2个数均为偶数”,则P(B|A)=( )
解析 解法一:
事件A包括的基本事件:
(1,3),(1,5),(3,5),(2,4)共4个.
事件AB发生的结果只有(2,4)一种情形,即n(AB)=1.
故由古典概型概率P(B|A)==.故选B.
解法二:
P(A)==,P(AB)==.由条件概率计算公式,得P(B|A)===.故选B.
[条件探究1] 若将本典例中的事件B改为“取到的2个数均为奇数”,则结果如何?
解 P(A)==,P(B)==.
又B⊆A,则P(AB)=P(B)=,
所以P(B|A)===.
[条件探究2] 本典例条件改为:
从1,2,3,4,5中不放回地依次取2个数,事件A为“第一次取到的是奇数”,事件B为“第二次取到的是奇数”,求P(B|A)的值.
解 从1,2,3,4,5中不放回地依次取2个数,有A种方法;
其中第一次取到的是奇数,有AA种方法;
第一次取到的是奇数且第二次取到的是奇数,有AA种方法.
则P(A)==,P(AB)==,∴P(B|A)===.
方法技巧
条件概率的两种求解方法
1.利用定义,分别求P(A)和P(AB),得P(B|A)=,这是求条件概率的通法.
2.借助古典概型概率公式,先求事件A包含的基本事件数n(A),再求事件A与事件B的交事件中包含的基本事件数n(AB),得P(B|A)=.
冲关针对训练
(xx·
唐山二模)已知甲在上班途中要经过两个路口,在第一个路口遇到红灯的概率为0.5,两个路口连续遇到红灯的概率为0.4,则甲在第一个路口遇到红灯的条件下,第二个路口遇到红灯的概率为( )
A.0.6B.0.7C.0.8D.0.9
解析 设“第一个路口遇到红灯”为事件A,“第二个路口遇到红灯”为事件B,则P(A)=0.5,P(AB)=0.4,则P(B|A)==0.8.故选C.
题型2 相互独立事件的概率
(xx·
陕西高考)在一块耕地上种植一种作物,每季种植成本为1000元,此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性,且互不影响,其具体情况如下表:
作物产量(kg)
300
500
概率
0.5
作物市场价格(元/kg)
6
10
0.4
0.6
(1)设X表示在这块地上种植1季此作物的利润,求X的分布列;
(2)若在这块地上连续3季种植此作物,求这3季中至少有2季的利润不少于xx元的概率.
解
(1)设A表示事件“作物产量为300kg”,B表示事件“作物市场价格为6元/kg”,由题设知P(A)=0.5,P(B)=0.4,
∵利润=产量×
市场价格-成本,
∴X所有可能的取值为
500×
10-1000=4000,500×
6-1000=xx,
300×
10-1000=xx,300×
6-1000=800.
P(X=4000)=P()P()=(1-0.5)×
(1-0.4)=0.3,
P(X=xx)=P()P(B)+P(A)P()=(1-0.5)×
0.4+0.5×
(1-0.4)=0.5,
P(X=800)=P(A)P(B)=0.5×
0.4=0.2,
所以X的分布列为
X
4000
xx
800
P
0.3
0.2
(2)设Ci表示事件“第i季利润不少于xx元”(i=1,2,3),由题意知C1,C2,C3相互独立,
由
(1)知P(Ci)=P(X=4000)+P(X=xx)=0.3+0.5=0.8(i=1,2,3),
3季的利润均不少于xx元的概率为
P(C1C2C3)=P(C1)P(C2)P(C3)=0.83=0.512;
3季中有2季利润不少于xx元的概率为
P(1C2C3)+P(C12C3)+P(C1C23)=3×
0.82×
0.2=0.384,所以,这3季中至少有2季的利润不少于xx元的概率为0.512+0.384=0.896.
利用相互独立事件求概率的思路
1.求解该类问题在于正确分析所求事件的构成,将其转化为彼此互斥事件的和或相互独立事件的积,然后利用相关公式进行计算.
2.求相互独立事件同时发生的概率的主要方法
(1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解.
(2)正面计算较繁(如求用“至少”表述的事件的概率)或难以入手时,可从其对立事件入手计算.
哈尔滨质检)某企业有甲、乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率分别为和.现安排甲组研发新产品A,乙组研发新产品B.设甲、乙两组的研发相互独立.
(1)求至少有一种新产品研发成功的概率;
(2)若新产品A研发成功,预计企业可获利润120万元;
若新产品B研发成功,预计企业可获利润100万元.求该企业可获利润的分布列.
解 记E={甲组研发新产品成功},F={乙组研发新产品成功},由题设知P(E)=,P()=,P(F)=,P()=,且事件E与F,E与,与F,与都相互独立.
(1)记H={至少有一种新产品研发成功},则=,
于是P()=P()P()=×
=,
故所求的概率为P(H)=1-P()=1-=.
(2)设企业可获利润为X(万元),则X的可能取值为0,100,120,220,因为P(X=0)=P()=×
=,P(X=100)=P(F)=×
==,
P(X=120)=P(E)=×
P(X=220)=P(EF)=×
==.
故所求的分布列为
100
120
220
题型3 独立重复试验与二项分布
太原一模)近几年来,我国许多地区经常出现雾霾天气,某学校为了学生的健康,对课间操活动做了如下规定:
课间操时间若有雾霾则停止组织集体活动,若无雾霾则组织集体活动.预报得知,这一地区在未来一周从周一到周五5天的课间操时间出现雾霾的概率是:
前3天均为50%,后2天均为80%,且每一天出现雾霾与否是相互独立的.
(1)求未来一周5天至少一天停止组织集体活动的概率;
(2)求未来一周5天不需要停止组织集体活动的天数X的分布列;
(3)用η表示该校未来一周5天停止组织集体活动的天数,记“函数f(x)=x2-ηx-1在(3,5)上有且只有一个零点”为事件A,求事件A发生的概率.
解
(1)未来一周5天都组织集体活动的概率是
P=32=,
则至少有一天停止组织集体活动的概率是1-P=.
(2)X的取值是0,1,2,3,4,5,则P(X=0)=,
P(X=1)=3×
C×
×
+C32==,
P(X=2)=C32+C3×
+32=,
P(X=3)=C32+C3×
P(X=4)=C32+3×
P(X=5)=32=,
所以不需要停止组织集体活动的天数X分布列是
1
2
3
4
5
(3)函数f(x)=x2-ηx-1在(3,5)上有且只有一个零点,且0≤η≤5,则f(3)f(5)<
0,<η<,
故η=3或4,
故所求概率为
P(A)=C32+C3×
+32+3×
+C3·
2=+=.
1.独立重复试验的实质及应用
独立重复试验的实质是相互独立事件的特例,应用独立重复试验公式可以简化求概率的过程.
2.判断某概率模型是否服从二项分布Pn(X=k)=Cpk(1-