求一元函数极限的若干种方法Word文档格式.docx

求一元函数极限的若干种方法Word文档格式.docx

《求一元函数极限的若干种方法Word文档格式.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《求一元函数极限的若干种方法Word文档格式.docx（20页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

迫敛性定理中值定理洛必达法则

Anumberofwaystoseekafunctionlimit（includingthenumberofcolumns）

Abstract：

Thelimitisaveryimportantconceptinmathematicalanalysis,itisanimportanttheoreticalbasisforresearchandanalyticalmethods.Weknowthatmanyimportantconceptssuchascontinuity,derivative,definiteintegral,infiniteseriesandgeneralizedintegraltodefinethelimit.Thereforeitisveryimportanttomasterwelllimit.

Thelimitsofthefunctionoftwovariablesisonthebasisofthefunctionofonevariables,thetwohaveconnectionandhavedistinction.Thisarticlethroughthepartofexampleanalysis,tointroducethelimitofthefunctionofonevariables.Summarizesthetenways:

Usingthedefinitionofthelimitsofproof;

equivalentInfinitesimalSubstitutionandtheprimarydeformation;

twoimportantlimitstoseekthelimitsoffunctions;

variablesubstitution;

thesqueezetheorem;

L'

HospitalRule;

theTaylorformula;

themeanvaluetheoremandtheintegralmeanvaluetheoremtothelimit;

usingtheintegraldefinition;

othercommonlyusedmethods.Andcitedanumberofexamplestoillustrate.

Keywords：

ThesqueezetheoremMeanValueTheoremL'

HospitalRule

目录

1综述1

1.1引言1

1.2极限的定义1

1.3极限问题的类型和方法概述1

2常见的极限求解方法2

2.1运用极限的定义证明（估计法）2

2.2利用等价无穷小量代换和初等变形来求极限3

2.3用两个重要的极限来求函数的极限6

2.4利用变量替换求极限7

2.5利用迫敛性来求极限8

2.6利用洛比达法则求函数的极限8

2.7利用泰勒公式求极限13

2.8利用微分中值定理和积分中值定理求极限14

2.9利用积分定义求极限14

2.10求极限其他常用方法17

3结论17

参考文献18

1综述

1.1引言

极限的思想方法作为人类发现数学问题并解决数学问题的一种重要手段，随着科学技术的不断发展，社会生产力的不断提高，在数学的发展史上将发挥越来越重要的作用。

因此，探讨如何求极限、怎样使求极限变得容易，是一个非常具有现实意义的重要问题。

求极限不仅要准确理解极限的概念、性质和极限存在的条件，而且还要清楚认识各种极限的类型，并熟练应用多种求极限的基本方法。

众所周之，求极限的方法繁多且变化灵活，不易掌握。

本文在总结各种常用的求极限方法的同时，更重要的是，也会提出一些创新的极限求解方法，希望能够开拓读者的思路，起到抛砖引玉的作用。

1.2极限定义

数列极限定义：

设为实数列，为定数．若对任给的正数，总存在正整数，使得当时有则称数列收敛于，定数称为数列的极限，并记作或。

一元函数极限定义：

设是一个一元实值函数，如果对于任意给定的ε>

0，存在正数，使得对于适合不等式的一切，所对应的函数值都满足不等式.,则称数为函数当时的极限，记作f（x）→A（x→+∞）.

1.3极限问题的类型和方法概述

首先我们将微积分中的极限问题粗略的归结为四种形式：

1、简单的确定式极限

2、常见的未定式极限，主要包括以下几种类型：

型，型，型，型，型，型，型等七种形式。

3、n项和数列的极限，是指通项本身就是项的和，而其项数又随着无限增加。

4、其他形式的极限

每一种形式的极限问题都有它相对常规性的求解方法。

如简单的确定式极限，可应用极限四则运算法则以及函数的连续性理论来求解；

而常见的未定式极限则可采用等价无穷小代换、洛必达法则、泰勒公式法等手段求解；

对于n项和数列的极限，一般会采用夹逼定理、级数理论等方法。

当然，在求解极限时，方法的选择并不完全拘泥于极限的形式，可以灵活处理，多种方法交叉使用。

2常见的极限求解方法

极限是贯穿数学分析的一条主线。

学好极限是从以下两方面着手。

1：

考察所给函数是否存在极限。

2：

若函数存在极限，则考虑如何计算此极限。

本文主要是对第二个问题即在极限存在的条件下，如何去求极限进行综述。

2.1运用极限的定义证明（估计法）

2.1.1方法：

要点：

要证,按定义：

，当时，有，就是要根据找，一般有三种方法：

1、（等价代换法求最小的），将绝对值不等式做等价代替，解出，然后令,则时，有

2、（放大法）又是很难解出n,只好将表达式简化、放大，使之成为n的一个新函数（记为）：

。

于是，要，只要即可。

解不等式，求得，于是令,则时，有。

3、（分步法）有时特别复杂，无法进行放大简化。

只有假定已足够大，例如已大过某个数,我们发现时，可简化放大成，即，于是解不等式，求得，则令,则时，有。

对函数极限有类似的方法

例1:

用方法求证

解：

（放大法），要（此时解出有困难），记

（设法寻找不等式将放大），此式可改写为：

得

。

至此要，只要，即。

故令，则时有。

例2：

设,试证

解：

（分步法）当为有限数时，因,故.

从而

注意这里已为定数，因而,当时

于是,则时，

注：

对于例2，时结论仍成立。

当时结论不成立

例2表明收敛，则前n项的算术平均值必也收敛，且极限值不变。

此题用Stolz公式（详见P12补充）证明会变得十分简洁。

因，所以

2.2利用等价无穷小量代换和初等变形来求极限

2.2.1等价无穷小量代换

所谓等价无穷小量即和是无穷小量且。

称与是时的等价无穷小量，记作。

定理1：

设函数在内有定义，且有

1若则

2若则

证明：

①

可类似证明，在此就不在详细证明了！

由该定理就可利用等价无穷小量代换来求某些函数的极限。

这种方法如果使用恰当，会给求极限过程带来很大的方便。

但是这要求我们能够熟练掌握常用的等价无穷小：

当时，

（1）

（2）（3）

（4）（5）

例3：

求

原式===

例4：

求的极限

由

而；

（）；

（）。

故有=

在利用等价无穷小代换求极限时，只有对所求极限中相乘或相除的因式才能用等价无穷小量来代换，而对极限式中的相加或相减的部分则不能随意代换。

例如上式中：

若因有而推出=则得到的结果是错误的。

2.2.2利用初等变形求极限

用初等数学的方法将变形，然后求极限。

下例主要将写成紧缩形式。

例5：

求，设

1）

2）

3）

解1）乘以

于是

2）乘以，再对分子反复应用公式

3）

2.3用两个重要的极限来求函数的极限

2.3.1利用来求极限

的扩展形为：

令，当或时，则有或。

例6：

令.则,且当时

故

例7：

原式=

例8：

这个问题很多同学在拿到题目的时候就会想到重要极限公式，不假思索的就写出它的极限为1。

但是我们仔细的分析一下，在问题中我们首先把其转化为，令=，极限变为，可以看到这个问题中的自变量的变化趋势与=1是不同的，所以不能利用重要极限来求。

2.3.2利用来求极限

的另一种形式为。

事实上，令，所以

例9：

例10：

===

利用这两个重要极限来求函数的极限时要仔细观察所给的函数形式只有形式符合或经过变化符合这两个重要极限的形式时才能够运用此方法来求极限。

一般常用的方法是换元法和配指数法。

2.4利用变量替换求极限

为了将未知的极限化简，或转化为已知的极限，可根据极限式的特点，适当引入新变量，以替换原有的变量，这时原来的极限过程转化为新的极限过程

例11：

若，试证：

解令，则时，于是

易知第二、三项趋于零，现证第四项极限亦为零。

事实上，因，故有界，即,使得,故

，

本例的变换具有一般性，常常用这种变换，可将一般情况归结为特殊的情况。

如本例原来是已知，求证。

变换后，归结为已知，求证

2.5利用迫敛性来求极限

定理3：

设，且在某内有，则

例12：

.且由迫敛性知

例13：

已知，试计算

记，则

当时，左右两端有相同的极限，故原极限存在等于

在连加或连乘的极限里，可通过各项（或各因子）的放大缩小，来获得所需的不等式。

做此类型题目的关键在于找出大于已知函数的函数和小于已知函数的函数，并且所找出的两个函数必须要收敛于同一个极限。

若放大或缩小来获得极限值不相等，但二者只相差一个任意小量，则两边夹法则任然有效。

2.6利用洛比达法则求函数的极限

在前面的叙述中，我们已经提到了利用等价无穷小量来求函数的极限，在此笔者叙述一种牵涉到无穷小（大）量的比较的求极限的方法。

我们把两个无穷小量或两个无穷大量的比的极限统称为不定式极限，分别记作型或型的不定式极限。

现在我们将以导数为工具研究不定式极限，这个方法通常称为洛比达法则。

下面就给出不定式极限的求法。

2.6.1对于型不定式极限，可根据以下定理来求出函数的极限

定理2：

若函数和函数满足：

①。

②在点的某空心邻域内两者都可导，且

③=A。

（A可为实数，也可为或）

则。

此定理的证明可利用柯西中值定理，在此，笔者就不一一赘述了。

例14：

容易检验与在的邻域里满足定理的条件①和②，又

故由洛比达法则求得，

在此类题目中，如果仍是型的不定式极限，只要有可能，我们可再次利用洛比达法则，即考察极限是否存在。

当然，这是和在的某邻域内必须满足上述定理的条件。

例15：