随机过程习题和答案Word下载.docx
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设每人体检所需的时间服从均值为2分钟的指数分布并且与其他人所需时间相互独立，则1小时内平均有多少学生接受过体检在这1小时内最多有40名学生接受过体检的概率是多少（设学生非常多，医生不会空闲）
解:
令N（t）表示（0,t）时间内的体检人数，则N（t）为参数为30的
poisson过程。
以小时为单位。
则E（N
（1））30。
在某公共汽车起点站有两路公共汽车。
乘客乘坐1,2路公共汽车的强度分别为1，2，当1路公共汽车有Nl人乘坐后出发；
2路公共汽车在有n2人乘坐后出发。
设在0时刻两路公共汽车同时开始等候乘客到来，求
（1）1路公共汽车比2路公共汽车早出发的概率表达式；
（2）当2=2，1=2时，计算上述概率。
法一：
（1）乘坐1、2路汽车所到来的人数分别为参数为
九1®
（N11）!
1
刻，Tn2表示N2（t）=N2的发生时刻。
N1
1丄n1
1exp（缶）
（2）当N1=N2、1=2时，P（Tn1Tn2）P（Tn1Tn2）-
法二：
（1）乘车到来的人数可以看作参数为1+2的泊松过程
令乙、Z2分别表示乘坐公共汽车1、2的相邻两乘客间到来的时
间间隔。
则乙、Z2分别服从参数为1、2的指数分布，现在来求
当一个乘客乘坐1路汽车后，下一位乘客还是乘坐1路汽车的概率。
Z2
pP（ZiZ2）0dz201exp（1Z1）2exp（2Z2）dzi
o
12
故当一个乘客乘坐1路汽车后，下一位乘客乘坐2路汽车的概
率为1-p
率乘坐公共汽车2。
将乘客乘坐公共汽车
1代表试验成功，那么有:
）kN1
P（1路汽车比2路汽车先出发）
N1N21N111N12
Ck1（）（
kN11212
2N1
N1/〈1Ck1（）
2
1=2时
2N111
P（1路汽车比2路汽车先出发）二CkN11（!
）k1
kN22kN
i（i1,2,L,n）。
记T为全部n个过程中，第一个事件发生的时刻。
（1）求T的分布;
0}的概率。
（2）证明｛N（t）in1Ni（t）,t0｝是Poisson过程，参数为
（3）求当n个过程中，只有一个事件发生时，它是属于{N1（t）,t
（1）记第i个过程中第一次事件发生的时刻为
则Tmin｛tmi1,2,...,n｝。
由tM服从指数分布，有
（2）方法一：
由｛Ni（t）,i1,2,...,n｝为相互独立的poisson过程，对
于s,t0。
nm
这里利用了公式（1...n）n丄n!
nini1rii!
方法二：
①当h
0时，
P{N（th）
N（t）1}
n
P{[Ni（ts）Ni（t）]1}
i1
{（ih
o（h））（1
j1
jho（h））}
nn
[iho（h）]iho（h）
i1i1
②当h0时,
P{N（th）N（t）2}P{[Ni（ts）Ni（t）]2}
得证。
（3）P{N1（t）
1|N（t）
1}
P{N1（t）
1,Ni（t）0,i
2,…，n}/P{N（t）
1te
1tit
e/e
i2
itn
it
1・・・n
证明poisson过程分解定理：
对于参数为
的poisson
过程
r
P
{N（t）,t0}0Pi1i1H
i1,2丄
可分解为
r个相
i1,2,L,r。
r个人对此以概率
互独立的Poisson过程，参数分别为Pi
对过程｛N（t）,t0｝，设每次事件发生时，有
P1,P2,…,Pr进行记录，且Pi
1，同时事件的发生与被记录之
间相互独立，r个人的行为也相互独立，以Ni（t）表示为到t
时刻第i个人所记录的数目。
现在来证明｛Ni（t）,t0｝是参数为
P{Ni（t）m}
Pi的poisson过程。
P{Ni（t）m|N（t）mn}P{N（t）mn}n0
）mn
mmnt
CmnPi（1Pi）e
n0（mn）!
Pit（Pit）me
m!
独立性证明：
考虑两种情况的情形，即只存在两个人记录,
•个以概率p，一个以概率1p记录，则｛N!
（t）,t0｝是参数为
p的poisson过程，｛N2（t）,t0｝是参数为（1p）的poisson
过程。
P{Ndt）K,N2（t）k2}P{Ndt）K,N（t）k!
kJ
3e36e618e9
设｛N（t）,t0｝是参数为3的poisson过程，试求
（1）P{N
（1）3}；
（2）P{N
（1）1,N（3）2}；
（3）P{N
（1）2|N
（1）1}
33k
（1）P{N
（1）3}e3—13e3
k0k!
（2）P{N
（1）1,N（3）2}P{N
（1）
1,N（3）N
（1）1}
P{N
（1）1}P{N（3）
N
（1）1
（3）P{N
（1）2|N
（1）1}
P{N
（1）
2}14e3
P{N
（1）1}1e
对于poisson过程{N（t）,t0},
证明st时，
P{N（s）k|N（t）n}
P{N（s）k,N（t）n}
P{N（t）
P{N（s）k,N（t）N（s）nk}
n}
设{Ngt
X（t）Ni（t）
不是
P{N（t）n}
P{N（t）N（s）nk}P{N（s）k}
e（ts）（（ts））nkes（s）k
ee
k!
（nk）!
t（t）n
n!
（ts）nkskn!
（n
k）!
tn
nk
（ts）
sk
tnktk
（1S）nk（S）k
0｝和｛N2（t）,t0｝分别是参数为
N2（t），问{X（t）}是否为Poisson过程,
，2的Poisson
为什么
X（t）Ni（t）N2（t），X（t）的一维特征函数为:
iuX（t）iu（N1（t）N2（t））
fx（t）（u）E（e）E（e
（1t/1tiuk
ee
k0
/iuk
（e1t）
e
2teiu2t
iu.
e2t
iuk
k0
过程，另
e1t
k
1teiu1t
e1e1e
exp{eiu1t
iu
11e1
参数为
2t
iuN1（t）iuN2（t）、
）E（ee）（2t）k2t
（e2t）
的Poisson
2）t}
过程的特征函数的形式为exp｛eiut
1｝，所以
X（t）不是poisson过程。
计算Ti，T2，T3的联合分布
fxi，X2，X3（Xi,X2,X3）fx,Xi）fx2（X2）fx3（Xa）'
e（xx2%）
110
J（tl,t2,t'
）|0111
001
fT1,T2,T3（t1>
t2>
t3）fX1,X2,X3（t1,t2t1,t3t2）J（t1>
t3）
3et30t1t2t3
0其他
对s0，计算E[N（t）gN（ts）]。
E[N（t）N（ts）]E[N（t）（N（ts）N（t））]E[N2（t）]
E[N（t）]E[（N（ts）N（t））]E[N2（t）]
tst（t）22t22stt
设某医院专家门诊，从早上8:
00开始就已经有无数患者等候，而每
个专家只能为一名患者服务，服务的平均时间为20分钟，且每
名患者的服务时间是相互独立的指数分布。
则8:
00到12:
00门
诊结束时接受过治疗的患者平均在医院停留了多长时间。
从门诊部出来的患者可以看作服从参数为3的泊松过程（以小时为单位）。
则在[0,t]小时内接受治疗的患者平均停留时间为：
N（t）
Ti
E[|]
nt
E[-]n
当t=4时，平均等待停留时间为2h。
3.11{N（t）,t0}是强度函数为（t）的非齐次Poisson过程，X1,X2,L是
事件发生之间的间隔时间，问:
（1）诸Xi是否独立
分布不同。
设每天过某路口的车辆数为：
早上7:
00:
8:
00,11:
12:
00为平均每分钟2辆，其他时间平均每分钟1辆。
则早上7:
30:
11:
20平均有多少辆车经过此路口，这段时间经过路口的车辆数超过500辆的概率是多少
（1）记时刻7:
00为时刻0,以小时为单位。
经过路口的车辆数
为一个非齐次poisson过程，其强度函数如下:
1200s1,4s5
（s）
601s4
则在7：
30~11：
20时间内，即t[0.5,13]时，n閒N（0.5）
代表这段时间内通过的车辆数，它服从均值为如下的
poisson分布。
兰14旦
m（t）3（s）ds120ds60ds3120ds6018040280
0.50.514
辆数为280。
13
（2）P[N（亍）N（0.5）500]
輕e280。
n501n!
［0,t］时间内某系统受到冲击的次数
N（t），形成参数为的poisson
每次冲击造成的损害Y,i
设损害会积累，当损害超过一定极限A时,间（寿命），试求系统的平均寿命ET。
1,2丄,n独立同指数分布，均值为。
系统将终止运行。
以T记系统运行的时
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