小学奥数组合.docx

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小学奥数组合

知识框架图

7计数综合

7-5组合

7-5-1组合及其应用

7-5-2排除法

7-5-3插板法

1.使学生正确理解组合的意义；正确区分排列、组合问题；

2.了解组合数的意义，能根据具体的问题，写出符合要求的组合；

3.掌握组合的计算公式以及组合数与排列数之间的关系；

4.会分析与数字有关的计数问题，以及与其他专题的综合运用，培养学生的抽象能力和逻辑思维能力；

通过本讲的学习，对组合的一些计数问题进行归纳总结，重点掌握组合的联系和区别，并掌握一些组合技巧，如排除法、插板法等．

一、组合问题

日常生活中有很多“分组”问题．如在体育比赛中，把参赛队分为几个组，从全班同学中选出几人参加某项活动等等．这种“分组”问题，就是我们将要讨论的组合问题，这里，我们将着重研究有多少种分组方法的问题．

一般地，从个不同元素中取出个（）元素组成一组不计较组内各元素的次序，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合．

从排列和组合的定义可以知道，排列与元素的顺序有关，而组合与顺序无关．如果两个组合中的元素完全相同，那么不管元素的顺序如何，都是相同的组合，只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合．

从个不同元素中取出个元素（）的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个不同元素的组合数．记作．

一般地，求从个不同元素中取出的个元素的排列数可分成以下两步：

第一步：

从个不同元素中取出个元素组成一组，共有种方法；

　　第二步：

将每一个组合中的个元素进行全排列，共有种排法．

根据乘法原理，得到．

因此，组合数．

这个公式就是组合数公式．

二、组合数的重要性质

一般地，组合数有下面的重要性质：

（）

这个公式的直观意义是：

表示从个元素中取出个元素组成一组的所有分组方法．表示从个元素中取出（）个元素组成一组的所有分组方法．显然，从个元素中选出个元素的分组方法恰是从个元素中选个元素剩下的（）个元素的分组方法．

例如，从人中选人开会的方法和从人中选出人不去开会的方法是一样多的，即．

规定，．

模块一、组合及其应用

【例1】计算：

⑴，；⑵，．（2级）

【小结】注意到上面的结果中，有，．

【例2】计算：

⑴；⑵；⑶．（2级）

【巩固】计算：

⑴；⑵；⑶．（2级）

【例3】6个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次？

（2级）

【巩固】某班毕业生中有名同学相见了，他们互相都握了一次手，问这次聚会大家一共握了多少次手？

（2级）

【例4】（难度等级※※）学校开设门任意选修课，要求每个学生从中选学门，共有多少种不同的选法？

（4级）

【例5】某校举行排球单循环赛，有个队参加．问：

共需要进行多少场比赛？

（2级）

【巩固】芳草地小学举行足球单循环赛，有个队参加．问：

共需要进行多少场比赛？

（2级）

【例6】一批象棋棋手进行循环赛，每人都与其他所有的人赛一场，根据积分决出冠军，循环赛共要进行78场，那么共有多少人参加循环赛？

（4级）

【例7】某校举行男生乒乓球比赛，比赛分成3个阶段进行，第一阶段：

将参加比赛的48名选手分成8个小组，每组6人，分别进行单循环赛；第二阶段：

将8个小组产生的前2名共16人再分成个小组，每组人，分别进行单循环赛；第三阶段：

由4个小组产生的个第名进行场半决赛和场决赛，确定至名的名次．问：

整个赛程一共需要进行多少场比赛？

（4级）

【例8】从分别写有、、、、的五张卡片中任取两张，做成一道两个一位数的乘法题，问：

⑴有多少个不同的乘积？

⑵有多少个不同的乘法算式？

（6级）

【巩固】9、8、7、6、5、4、3、2、1、0这10个数字中划去7个数字，一共有多少种方法？

（4级）

【巩固】从分别写有、、、、、、、的八张卡片中任取两张，做成一道两个一位数的加法题，有多少种不同的和？

（4级）

【例9】在中任意取出两个不同的数相加，其和是偶数的共有多少种不同的取法？

（6级）

【巩固】从、、……、、这个数中，选取两个不同的数，使其和为偶数的选法总数是多少？

（6级）

【例10】一个盒子装有个编号依次为，，，，的球，从中摸出个球，使它们的编号之和为奇数，则不同的摸法种数是多少？

（6级）

【例11】用2个1，2个2，2个3可以组成多少个互不相同的六位数？

用个，个，个可以组成多少个互不相同的六位数？

（6级）

【例12】从，，，，中任取三个数字，从，，，中任取两个数字，组成没有重复数字的五位数，一共可以组成多少个数？

（6级）

【例13】从、、、、、、这七个数字中，任取3个组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？

（这里每个数字只允许用次，比如100、210就是可以组成的，而211就是不可以组成的）．（2008年“陈省身杯”国际青少年数学邀请赛五年级）（4级）

【例14】用2个1，2个2，2个3可以组成多少个互不相同的六位数？

用2个0，2个1，2个2可以组成多少个互不相同的六位数？

（6级）

【巩固】用两个3，一个2，一个1，可以组成多少个不重复的4位数？

（6级）

【例15】工厂某日生产的10件产品中有2件次品，从这10件产品中任意抽出3件进行检查，问：

（1）一共有多少种不同的抽法？

（2）抽出的3件中恰好有一件是次品的抽法有多少种？

（3）抽出的3件中至少有一件是次品的抽法有多少种？

（6级）

【例16】200件产品中有5件是次品，现从中任意抽取4件，按下列条件，各有多少种不同的抽法（只要求列式）？

⑴都不是次品；⑵至少有1件次品；⑶不都是次品．（6级）

【例17】在一个圆周上有个点，以这些点为端点或顶点，可以画出多少不同的：

⑴直线段；⑵三角形；⑶四边形．（6级）

【巩固】平面内有10个点，以其中每2个点为端点的线段共有多少条？

（4级）

【巩固】在正七边形中，以七边形的三个顶点为顶点的三角形共有多少个？

（4级）

【例18】平面内有个点，其中点共线，此外再无三点共线．

⑴可确定多少个三角形？

⑵可确定多少条射线？

（6级）

【巩固】如图，问：

⑴图中，共有多少条线段？

⑵图中，共有多少个角？

（4级）

　　　　　　　　　　　　　图　　　　　　　　　　　　　　图

【例19】某班要在名同学中选出名同学去参加夏令营，问共有多少种选法？

如果在人中选人站成一排，有多少种站法？

（6级）

【巩固】学校新修建的一条道路上有盏路灯，为了节省用电而又不影响正常的照明，可以熄灭其中盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的盏灯，那么熄灯的方法共有多少种？

（6级）

【例20】将三盘同样的红花和四盘同样的黄花摆放成一排，要求三盘红花互不相邻，共有__________种不同的方法．（2007年“希望杯”第一试）（4级）

【例21】在一次合唱比赛中，有身高互不相同的8个人要站成两排，每排4个人，且前后对齐．而且第二排的每个人都要比他身前的那个人高，这样才不会被挡住．一共有多少种不同的排队方法？

（4级）

【例22】在一次考试的选做题部分，要求在第一题的个小题中选做个小题，在第二题的个小题中选做个小题，在第三题的个小题中选做个小题，有多少种不同的选法？

（6级）

【例23】某年级个班的数学课，分配给甲、乙、丙三名数学老师任教，每人教两个班，分派的方法有多少种？

（6级）

【例24】（2007年“迎春杯”高年级初赛）将19枚棋子放入的方格网内，每个方格至多只放一枚棋子，且每行每列的棋子个数均为奇数个，那么共有________种不同的放法．（4级）

【例25】甲射击员在练习射击，前方有三种不同类型的气球，共3串，有一串是红气球3个，有一串是黄气球2个，有一串是绿气球4个，而且每次射击必须射最下面的气球，问有多少种不同的射法？

（6级）

【例26】有8个队参加比赛，采用如下图所示的淘汰制方式．问在比赛前抽签时，可以得到多少种实质不同的比赛安排表？

（6级）

【例27】某池塘中有三只游船，船可乘坐人，船可乘坐人，船可乘坐人，今有个成人和个儿童要分乘这些游船，为安全起见，有儿童乘坐的游船上必须至少有个成人陪同，那么他们人乘坐这三支游船的所有安全乘船方法共有多少种？

（6级）

【例28】有蓝色旗面，黄色旗面，红色旗面．这些旗的模样、大小都相同．现在把这些旗挂在一个旗杆上做成各种信号，如果按挂旗的面数及从上到下颜色的顺序区分信号，那么利用这些旗能表示多少种不同信号?

（4级）

【例29】从名男生，名女生中选出人参加游泳比赛．在下列条件下，分别有多少种选法？

⑴恰有名女生入选；⑵至少有两名女生入选；⑶某两名女生，某两名男生必须入选；

⑷某两名女生，某两名男生不能同时入选；⑸某两名女生，某两名男生最多入选两人．（6级）

【例30】从名男生，名女生中选出名代表．

⑴不同的选法共有多少种？

⑵“至少有一名女生”的不同选法共有多少种？

⑶“代表中男、女生都要有”的不同选法共有多少种？

（6级）

【巩固】在6名内科医生和4名外科医生中，内科主任和外科主任各一名，现要组成5人医疗小组送医下乡，按照下列条件各有多少种选派方法？

⑴有3名内科医生和2名外科医生；

⑵既有内科医生，又有外科医生；

⑶至少有一名主任参加；

⑷既有主任，又有外科医生．（8级）

【例31】在10名学生中，有5人会装电脑，有3人会安装音响设备，其余2人既会安装电脑，又会安装音响设备，今选派由人组成的安装小组，组内安装电脑要人，安装音响设备要人，共有多少种不同的选人方案？

（8级）

【例32】有11名外语翻译人员，其中名是英语翻译员，名是日语翻译员，另外两名英语、日语都精通．从中找出人，使他们组成两个翻译小组，其中人翻译英文，另人翻译日文，这两个小组能同时工作．问这样的分配名单共可以开出多少张？

（8级）

【巩固】某旅社有导游人，其中人只会英语，人只会日语，其余个既会英语又会日语．现要从中选人，其中人做英语导游，另外人做日语导游．则不同的选择方法有多少种？

（8级）

板块二、排除法

对于某些有特殊要求的计数，当限制条件较多时，可以先计算所有可能的情况，再从中排除掉那些不符合要求的情况．

【例33】如图所示，在半圆弧及其直径上共有9个点，以这些点为顶点可画出多少个三角形？

（6级）

【例34】如图，正方形的边界上共有7个点、、、、、、、其中、、分别在边、、上．以这7个点中的4个点为顶点组成的不同的四边形的个数是_____个．（小学数学奥林匹克决赛）（6级）

【巩固】图中正方形的四边共有8个点，其中任意4点不在一条直线上，那么可组成多少个四边形？

（4级）

【例35】如图，有个点，取不同的三个点就可以组合一个三角形，问总共可以组成＿＿＿＿个三角形．（4级）

【例36】在的所有自然数中，百位数与个位数不相同的自然数有多少个？

（4级）

【例37】1到1999的自然数中，有多少个与5678相加时，至少发生一次进位？

（6级）

【巩固】所有三位数中，与456相加产生进位的数有多少个？

（6级）

【巩固】从1到2004这2004个正整数中，共有几个数与四位数8866相加时，至少发生一次进位？

（6级）

【例38】在三位数中，至少出现一个6的偶数有多少个？

（6级）

【例39】由0，1，2，3，4，5组成的没有重复数字的六位数中，百位不是2的奇数有个．（6级）

【例40】从三个