专题不等式选讲高考数学理二轮专项复习Word下载.docx

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（2）若ai，bi（i∈N*）为实数，则（a）（b）≥（aibi）2，当且仅当bi＝0（i＝1,2，…，n）或存在一个数k，使得ai＝kbi（i＝1,2，…，n）时，等号成立．

（3）柯西不等式的向量形式：

设α，β为平面上的两个向量，则|a|·

|β|≥|α·

β|，当且仅当这两个向量同向或反向时等号成立．

【复习要求】

（1）理解绝对值的几何意义，并能利用绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：

①②

（2）会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：

（3）会用不等式①和②证明一些简单问题。

能够利用平均值不等式求一些特定函数的极值

（4）了解证明不等式的基本方法：

比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法

【例题分析】

例1　

（1）设函数f（x）＝|2x＋1|－|x－4|.

①解不等式f（x）＞2；

②求函数y＝f（x）的最小值．

[解]　①解法一：

令2x＋1＝0，x－4＝0分别得x＝－，x＝4.

原不等式可化为：

或或

所以原不等式的解集为：

.

解法二：

f（x）＝|2x＋1|－|x－4|＝画出f（x）的图象

y＝2与f（x）图象的交点为（－7,2），（，2）．由图象知f（x）＞2的解集为.②由①的解法二中的图象知：

f（x）min＝－.

解绝对值不等式的步骤和方法：

（1）用零点分段法解绝对值不等式的步骤

①求零点．

②划区间、去绝对值号．

③分别解去掉绝对值的不等式．

④取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值．

（2）用图象法求解不等式

用图象法，数形结合可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，既通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法．

例2:

设函数f（x）＝|3x－1|＋ax＋3.

①若a＝1，解不等式f（x）≤4；

②若函数f（x）有最小值，求a的取值范围．

[解]　①当a＝1时，f（x）＝|3x－1|＋x＋3.

当x≥时，f（x）≤4可化为3x－1＋x＋3≤4，

解得≤x≤；

当x＜时，f（x）≤4可化为－3x＋1＋x＋3≤4，

解得0≤x＜.

综上可得，原不等式的解集为.

②f（x）＝|3x－1|＋ax＋3＝，

函数f（x）有最小值的充要条件为，即－3≤a≤3.

例3　

（1）若函数f（x）＝|x＋1|＋2|x－a|的最小值为5，则实数a＝________.

[解析]　当a＝－1时，f（x）＝3|x＋1|≥0，不满足题意；

当a<

－1时，f（x）＝，f（x）min＝f（a）＝－3a－1＋2a＝5，解得a＝－6；

当a>

－1时，f（x）＝f（x）min＝f（a）＝－a＋1＋2a＝5，解得a＝4.[答案]　4或－6

例4　已知函数f（x）＝|x＋1|－2|x－a|，a>

0.

①当a＝1时，求不等式f（x）>

1的解集；

②若f（x）的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．

[解]　①当a＝1时，f（x）>

1化为|x＋1|－2|x－1|－1>

当x≤－1时，不等式化为x－4>

0，无解；

当－1<

x<

1时，不等式化为3x－2>

0，解得<

1；

当x≥1时，不等式化为－x＋2>

0，解得1≤x<

2.

所以f（x）>

1的解集为.

②由题设可得，

f（x）＝所以函数f（x）的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A，B（2a＋1,0），C（a，a＋1），△ABC的面积为（a＋1）2.

由题设得（a＋1）2>

6，故a>

2.所以a的取值范围为（2，＋∞）．

1．解决含参数的绝对值不等式问题，常用以下两种方法

（1）将参数分类讨论，将其转化为分段函数解决；

（2）借助于绝对值的几何意义，先求出f（x）的最值或值域，然后再根据题目要求，求解参数的取值范围．

2．解答此类问题应熟记以下转化：

f（x）>

a恒成立⇔f（x）min>

a；

f（x）<

a恒成立⇔f（x）max<

a有解⇔f（x）max>

a有解⇔f（x）min<

a无解⇔f（x）max≤a；

a无解⇔f（x）min≥a.

例5　

（1）已知函数f（x）＝|x－1|.

①解不等式f（2x）＋f（x＋4）≥8；

②若|a|＜1，|b|＜1，a≠0，求证：

＞f.

[解]　①f（2x）＋f（x＋4）＝|2x－1|＋|x＋3|

＝，当x＜－3时，由－3x－2≥8，解得x≤－；

当－3≤x＜时，－x＋4≥8无解；

当x≥时，由3x＋2≥8，解得x≥2.

所以不等式f（2x）＋f（x＋4）≥8的解集为.

②证明：

＞f等价于f（ab）＞|a|f，即|ab－1|＞|a－b|.

因为|a|＜1，|b|＜1，所以|ab－1|2－|a－b|2＝（a2b2－2ab＋1）－（a2－2ab＋b2）＝（a2－1）（b2－1）＞0，所以|ab－1|＞|a－b|.故所证不等式成立．

例6设a>

0，b>

0，且a＋b＝＋.证明：

①a＋b≥2；

②a2＋a<

2与b2＋b<

2不可能同时成立．

[证明]　由a＋b＝＋＝，a>

0，得ab＝1.

①由基本不等式及ab＝1，

有a＋b≥2＝2，即a＋b≥2，

当且仅当a＝b＝1时等号成立．

②假设a2＋a<

2同时成立，则由a2＋a<

2及a>

0得0<

a<

同理，0<

b<

1，从而ab<

1，这与ab＝1矛盾．故a2＋a<

①构造基本不等式求出代数式的最值，直接证明不等式成立；

②直接证明较难，假设两个不等式同时成立，利用①的结论，得出矛盾，则假设不成立．

不等式证明的常用方法

不等式证明的常用方法是：

比较法、综合法与分析法．其中运用综合法证明不等式时，主要是运用基本不等式与柯西不等式证明，与绝对值有关的不等式证明常用绝对值三角不等式．证明过程中一方面要注意不等式成立的条件，另一方面要善于对式子进行恰当的转化、变形．

例7　

（1）已知a，b∈（0，＋∞），a＋b＝1，x1，x2∈（0，＋∞）．

①求＋＋的最小值；

②求证：

（ax1＋bx2）（ax2＋bx1）≥x1x2.

[解]　①因为a，b∈（0，＋∞），a＋b＝1，x1，x2∈（0，＋∞），

所以＋＋≥3·

＝3·

≥3·

＝3×

＝6，

当且仅当＝＝，a＝b，即a＝b＝且x1＝x2＝1时，＋＋有最小值6.

②证法一：

由a，b∈（0，＋∞），a＋b＝1，x1，x2∈（0，＋∞），

及柯西不等式可得：

（ax1＋bx2）（ax2＋bx1）＝[（）2＋（）2]·

[（）2＋（）2]≥（·

＋·

）2＝（a＋b）2＝x1x2，

当且仅当＝，即x1＝x2时取得等号．

证法二：

因为a，b∈（0，＋∞），a＋b＝1，x1，x2∈（0，＋∞），

所以（ax1＋bx2）（ax2＋bx1）＝a2x1x2＋abx＋abx＋b2x1x2＝x1x2（a2＋b2）＋ab（x＋x）

≥x1x2（a2＋b2）＋ab（2x1x2）＝x1x2（a2＋b2＋2ab）＝x1x2（a＋b）2＝x1x2，

当且仅当x1＝x2时，取得等号．

例8①已知函数f（x）＝|x－1|＋|x＋3|，求x的取值范围，使f（x）为常函数；

②若x，y，z∈R，x2＋y2＋z2＝1，求m＝x＋y＋z的最大值．

[解]　①f（x）＝|x－1|＋|x＋3|＝，

则当x∈[－3,1]时，f（x）为常函数．

②由柯西不等式得：

（x2＋y2＋z2）[（）2＋（）2＋（）2]≥（x＋y＋z）2.

所以x＋y＋z≤3，因此m的最大值为3.

柯西不等式的求解方法

柯西不等式在解决多变量代数式的最值问题中有着重要的应用，运用柯西不等式求最值时，关键是进行巧妙的拼凑，构造出柯西不等式的形式．

练习13

1．不等式|x－1|－|x－5|<

2的解集是（　　）

A．（－∞，4）B．（－∞，1）

C．（1,4）D．（1,5）

2．解不等式x＋|2x＋3|≥2.

3、已知函数f（x）＝x|x－a|（a∈R）．

（1）若a＝2，解关于x的不等式f（x）<

x；

（2）若对任意的x∈（0,4]都有f（x）<

4，求a的取值范围．

3．已知x，y是两个不相等的正实数，求证：

（x2y＋x＋y2）·

（xy2＋y＋x2）＞9x2y2.

4．设a，b，c，d均为正数，且a＋b＝c＋d，证明：

（1）若ab>

cd，则＋>

＋；

（2）＋>

＋是|a－b|<

|c－d|的充要条件．

5、已知a>

0，c>

0，函数f（x）＝|x＋a|＋|x－b|＋c的最小值为4.

（1）求a＋b＋c的值；

（2）求a2＋b2＋c2的最小值．

6．已知f（x）＝|x|＋2|x－a|（a>

0）．

（1）当a＝1时，解不等式f（x）≤4；

（2）若f（x）≥4恒成立，求实数a的取值范围．

7．已知函数f（x）＝|2x－1|＋|2x＋a|，g（x）＝x＋3.

（1）当a＝－2时，求不等式f（x）<

g（x）的解集；

（2）设a>

－1，且当x∈时，f（x）≤g（x）恒成立，求a的取值范围．

8．已知函数f（x）＝|3x＋2|.

（1）解不等式f（x）<

4－|x－1|；

（2）已知m＋n＝1（m，n>

0），若|x－a|－f（x）≤＋（a>

0）恒成立，求实数a的取值范围．

9．设函数f（x）＝x2－x＋15，且|x－a|<

1，求证：

|f（x）－f（a）|<

2（|a|＋1）．

10．

（1）已知a，b都是正数，且a≠b，求证：

a3＋b3>

a2b＋ab2；

（2）已知a，b，c都是正数，求证：

≥abc.

11．已知不等式|x＋1|＋|x－2|≥m的解集是R.

（1）求实数m的取值范围．

（2）在

（1）的条件下，当实数m取得最大值时，试判断＋>

＋是否成立？

并证明你的结论．

练习13参考答案

1．答案　A

解析　当x<

1时，不等式可化为－（x－1）＋（x－5）<

2，即－4<

2，显然成立，所以此时不等式的解集为（－∞，1）；

当1≤x≤5时，不等式可化为x－1＋（x－5）<

2，即2x－6<

2，解得x<

4，又1≤x≤5，所以此时不等式的解集为[1,4）；

当x>

5时，不等式可化为（x－1）－（x－5）<

2，即4<

2，显然不成立，所以此时不等式无解．

综上，不等式的解集为（－∞，4）．故选A.

2．解　原不等式可化为或

解得x≤－5或x≥－.