三角函数倍角公式.docx
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三角函数倍角公式
三角函数倍角公式
三角函数倍角公式
复习重点:
二倍角公式
二倍角的正弦公式：
sin2A＝2sinAcosA
二倍角的余弦公式：
cos2A＝cos2A－sin2A＝2cos2A－1＝1－2sin2A
二倍角的正切公式：
tan2A=2tanA/（1-tan2A）ctg2A=（ctg2A-1）/2ctga
对公式的再认识：
（1）适用范围：
二倍角的正切公式有限制条件：
A≠kπ＋
且A≠
＋
（k∈Z）；
（2）公式特征：
二倍角公式是两角和的正弦、余弦和正切公式之特例；二倍角关系是相对的。
（3）公式的灵活运用：
正用、逆用、变形用。
复习难点:
倍角公式的应用
复习内容:
小结：
倍角公式：
sin2A＝2sinAcosA
cos2A＝cos2A－sin2A＝2cos2A－1＝1－2sin2A
tan2A＝
化“1”公式（升幂公式）
1＋sin2A＝（sinA＋cosA）2，
1－sin2A＝（sinA－cosA）2
1＋cos2A＝2cos2A
1－cos2A＝2sin2A
降幂公式
cos2A＝
sin2A＝
二倍角公式是两角和公式的特殊情况，即:
由此可继续导出三倍角公式.观察角之间的联系应该是解决三角变换的一个关键.二倍角公式中余弦公式有三种形式，采用哪种形式应根据题目具体而定.
倍角和半角相对而言，两倍角余弦公式的变形可引出半角公式.推导过程中可得到一组降次公式，即
，
进一步得到半角公式:
降次公式在三角变换中应用得十分广泛，“降次”可以作为三角变换中的一个原则.半角公式在运用时一定要注意正、负号的选取，而是正是负取决于
所在的象限.而半角的正切可用α的正弦、余弦表示，即:
.这个公式可由二倍角公式得出，这个公式不存在符号问题，因此经常采用.反之用tan
也可表示sinα,cosα,tanα，即:
，
，
这组公式叫做“万能”公式.
教材中只要求记忆两倍角公式，其它公式并没有给出，需要时可根据二倍角公式及同角三角函数公式推出.
例1．推导三倍角的正弦、余弦公式
解:
sin3α=sin（2α+α）
cos3α=cos（2α+α）
例2．利用三倍角公式推导sin18°的值.
解:
∵sin36°=cos54°,∴2sin18°cos18°=4cos318°-3cos18°
∵cos18°≠0 ∴2sin18°=4cos218°-3 ∴2sin18°=4-4sin218°-3
∴4sin218°+2sin18°-1=0
∴
.本题还可根据二倍角公式推出cos36°.
即
.
例3．化简求值:
（1）csc10°-
sec10°
（2）tan20°+cot20°-2sec50°
解:
（1）csc10°-
sec10°
（2）tan20°+cot20°-2sec50°
例4．求:
sin220°+cos250°+sin30°sin70°
解:
sin220°+cos250°+sin30°sin70°
例5．已知:
.求:
cos4θ+sin4θ的值.
解:
∵
∴
即
，
即
，∴cos4θ+sin4θ
例6．求cos36°·cos72°的值.
解:
cos36°·cos72°
例7．求:
的值.
解:
上述两题求解方法一致，都是连续应用二倍角的正弦公式.而能采用这种方法求值的题目要求也是严格的，要满足
（1）余弦相乘，
（2）后一个角是前一个角的两倍，（3）最大角的两倍与最小值的和（或差）是π.满足这三个条件即可采用这种方法.
例8．已知:
2cosθ=1+sinθ，求
.
方法一:
∵2cosθ=1+sinθ，∴
∴
或
，∴
∴
∴
或
=2.
方法二:
∵2cosθ=1+sinθ，∴
∴
∴
或
∴
或
=2.
例9．已知:
，求:
tanα的值.
解:
∵
，∴
，
∵0≤α≤π, ∴
∴
（1）当
时,
，
则有
∴
，∴
，∴
，
∴
.
（2）当
，则有
，
∴
， ∴
，∴
.
注意:
1与sinα在一起时，1往往被看作
，而1与cosα在一起时，往往应用二倍角余弦公式把1去掉.
例10．已知:
sinθ,sinα,cosθ为等差数列;sinθ,sinβ,cosθ为等比数列.求证:
2cos2α=cos2β.
证明:
∵
，∴
∴4sin2α=1+2sin2β ∴2-4sin2α=2-1-2sin2β ∴2cos2α=cos2β.
课后练习:
1．若
，则（）.
A、P
Q B、P
Q C、P=Q D、P∩Q=
2．若A为ΔABC的内角，
，则cos2A=（）.
A、
B、
C、
D、
3．若
，则sin2θ=（）.
A、
B、
C、
D、
4．若
，则sinθ=（）.
A、
B、
C、
D、-
5．若
，则
=（）.
A、
B、
C、1 D、-1
6．若
，则cosα=________.
7.若θ为第二象限角，且
，则
=．已知sinA+cosA=2sinB.求证:
cos2B=cos2
.
参考答案
6.
7.6
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