二次函数的最值问题Word下载.docx

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_，与题意不符.当x=1时，由y=-（x-m）2+m2+1_解得m=2_，此时y=-（x-2）2+5_，它在－2≤x≤l的最大值是4，与题意相符.当x=m时，由_4=-（x-m）2+m2+1解得_m=，当m=此时y=-（x+）2+4_.它在－2≤x≤l的最大值是4，与题意相符；

当m=_，y=-（x-）2+4它在－2≤x≤l在x=1处取得，最大值小于4，与题意不符.综上所述，实数m的值为_.故选C．

3．已知0≤x≤，那么函数y=-2x2+8x-6的最大值是（）

A-10.5B.2C.-2.5D.-6

解：

∵y=-2x2+8x-6=-2（x-2）2+2．∴该抛物线的对称轴是x=2，且在x＜2上y随x的增大而增大．又∵0≤x≤ 

，∴当x= 

时，y取最大值，y最大=-2（ 

-2）2+2=-2.5．故选：

C．

4、已知关于x的函数.

下列结论：

①存在函数，其图像经过（1,0）点；

②函数图像与坐标轴总有三个不同的交点；

③当时，不是y随x的增大而增大就是y随x的增大而减小；

④若函数有最大值，则最大值必为正数，若函数有最小值，则最小值必为负数。

真确的个数是（）

A,1个B、2个C3个D、4个

B

分析：

①将（1，0）点代入函数，解出k的值即可作出判断；

②首先考虑，函数为一次函数的情况，从而可判断为假；

③根据二次函数的增减性，即可作出判断；

④当k=0时，函数为一次函数，无最大之和最小值，当k≠0时，函数为抛物线，求出顶点的纵坐标表达式，即可作出判断.

①真，将（1，0）代入可得：

2k-（4k+1）-k+1=0，解得：

k=0．运用方程思想；

②假，反例：

k=0时，只有两个交点．运用举反例的方法；

③假，如k=1， 

，当x＞1时，先减后增；

运用举反例的方法；

④真，当k=0时，函数无最大、最小值；

k≠0时，y最=，∴当k＞0时，有最小值，最小值为负；

当k＜0时，有最大值，最大值为正．运用分类讨论思想．

二、填空题：

1、如图，已知；

边长为4的正方形截去一角成为五边形ABCDE，其中AF=2，BF=l，在AB上的一点P，使矩形PNDM有最大面积，则矩形PNDM的面积最大值是

12

2、已知直角三角形两直角边的和等于8，两直角边各为时，这个直角三角形的面积最大，最大面积是

4、4，8

设直角三角形得一直角边为x，则，另一边长为8-x；

设其面积为S.∴S=x·

（8-x）（0<

x<

8）.

配方得 

S=-（x2-8x）

=-（x-4）2+8

∴当x=4时，S最大=8.

及两直角边长都为4时，此直角三角形的面积最大，最大面积为8.

3、函数的最大值与最小值分别是

2,0

最小值为0，当4x-x2取最大值时最大，即x=2时，最大为4，所以，当x=0时，y最大值为2，当x=2时，y取最小值为0

4、已知二次函数y=x2+2x+a（0≤x≤1）的最大值是3，那么a的值为

二次函数y=x2+2x+a对称轴为x=-1，当0≤x≤1时y随x的增大而增大，当x=1时最大值为3，代入y=x2+2x+a得a=0.

5、如图，在△ABC中，BC=5，AC=12，AB=13，在边AB、AC上分别取点D、E，使线段DE将△ABC分成面积相等的两部分，则这样线段的最小长度．

三、解答题：

1某产品第一季度每件成本为元，第二、第三季度每件产品平均降低成本的百分率为

⑴请用含的代数式表示第二季度每件产品的成本；

⑵如果第三季度该产品每件成本比第一季度少元，试求的值

该产品第二季度每件的销售价为元，第三季度每件的销售价比第二季度有所下降，若下降的百分率与第二、第三季度每件产品平均降低成本的百分率相同，且第三季度每件产品的销售价不低于元，设第三季度每件产品获得的利润为元，试求与的函数关系式，并利用函数图象与性质求的最大值（注：

利润销售价成本）

（1）⑵解得

（3）解得而，∴

而

＝

＝

∵当时，利用二次函数的增减性，随的增大而增大，而，

∴当时，最大值＝18（元）

说明：

当自变量取值范围为体体实数时，二次函数在抛物线顶点取得最值，而当自变量取值范围为某一区间时，二次函数的最值应注意下列两种情形：

若抛物线顶点在该区间内，顶点的纵坐标就是函数的最值。

若抛物线的顶点不在该区间内，则区间两端点所对应的二次函数的值为该函数的最值。

2、如图，二次函数的图象经过点D（0，），且顶点C的横坐标为4，该图象在x轴上截得的线段AB的长为6.

⑴求二次函数的解析式；

⑵在该抛物线的对称轴上找一点P，使PA+PD最小，求出点P的坐标；

⑶在抛物线上是否存在点Q，使△QAB与△ABC相似？

如果存在，求出点Q的坐标；

如果不存在，请说明理由．

（1）设二次函数的解析式为：

y=a（x﹣h）2+k∵顶点C的横坐标为4，且过点（0，）∴y=a（x﹣4）2+k，=16a+k①又∵对称轴为直线x=4，图象在x轴上截得的线段长为6∴A（1，0），B（7，0）∴0=9a+k②由①②解得a=，k=﹣∴二次函数的解析式为：

y=（x﹣4）2﹣

（2）∵点A、B关于直线x=4对称∴PA=PB∴PA+PD=PB+PD≥DB∴当点P在线段DB上时PA+PD取得最小值∴DB与对称轴的交点即为所求点P设直线x=4与x轴交于点M∵PM∥OD，∴∠BPM=∠BDO，又∠PBM=∠DBO∴△BPM∽△BDO∴∴∴点P的坐标为（4，）（3）由

（1）知点C（4，），又∵AM=3，∴在Rt△AMC中，cot∠ACM=，∴∠ACM=60°

，∵AC=BC，∴∠ACB=120°

①当点Q在x轴上方时，过Q作QN⊥x轴于N如果AB=BQ，由△ABC∽△ABQ有BQ=6，∠ABQ=120°

，则∠QBN=60°

∴QN=3，BN=3，ON=10，此时点Q（10，），如果AB=AQ，由对称性知Q（﹣2，）②当点Q在x轴下方时，△QAB就是△ACB，此时点Q的坐标是（4，），经检验，点（10，）与（﹣2，）都在抛物线上综上所述，存在这样的点Q，使△QAB∽△ABC点Q的坐标为（10，）或（﹣2，）或（4，）．

3、如图，抛物线经过三点．

（1）求出抛物线的解析式；

（2）P是抛物线上一动点，过P作轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与相似？

若存在，请求出符合条件的点P的坐标；

若不存在，请说明理由；

（3）在直线AC上方的抛物线上有一点D，使得的面积最大，求出点D的坐标．

（1）∵该抛物线过点C（0，-2），∴可设该抛物线的解析式为y=ax2+bx-2，将A（4，0），B（1，0）代入，得，解得，∴此抛物线的解析式为；

（2）存在，如图，设P点的横坐标为m，则P点的纵坐标为，当1＜m＜4时，AM=4-m，，

∵∠COA=∠PMA=90°

，∴①当时，△APM∽△ACO，即4-m=2，解得m1=2，m2=4（舍去），∴P（2，1）；

②当时，△APM∽△CAO，即，解得m1=4，m2=5（均不合题意，舍去），∴当1＜m＜4时，P（2，1），类似地可求出当m>

4时，P（5，-2），当m<

1时，P（-3，-14），综上所述，符合条件的点P为（2，1）或（5，-2）或（-3，-14）；

（3）如图，设D点的横坐标为t（0＜t＜4），则D点的纵坐标为，过D作y轴的平行线交AC于E，由题意可求得直线AC的解析式为，∴E点的坐标为，∴∴∴当t=2时，△DAC的面积最大，∴D（2，1）。

4如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，线段EF在对角线AC上，EG⊥AD，FH⊥BC，垂足分别是G，H，且EG+FH=EF．

（1）求线段EF的长；

（2）设EG=x，△AGE与△CFH的面积和为S，写出S关于x的函数关系式及自变量x的取值范围，并求出S的最小值．

5．如图，点C是线段AB上的任意一点（C点不与A、B点重合），分别以AC、BC为边在直线AB的同侧作等边三角形ACD和等边三角形BCE，AE与CD相交于点M，BD与CE相交于点N．

（1）求证：

MN∥AB；

（2）若AB的长为l0cm，当点C在线段AB上移动时，是否存在这样的一点C，使线段MN的长度最长?

若存在，请确定C点的位置并求出MN的长；

若不存在，请说明理由．

（1）由题中条件可得△ACE≌△DCB，进而得出△ACM≌△DCN，即CM=CN，△MCN是等边三角形，即可得出结论；

（2）可先假设其存在，设AC=x，MN=y，进而由平行线分线段成比例即可得出结论．

解答

（1）证明：

∵△ACD与△BCE是等边三角形，∴AC=CD，CE=BC，∴∠ACE=∠BCD，在△ACE与△DCB中，∵AC=CD

∠ACE=∠BCD

CE=BC

∴△ACE≌△DCB（SAS），

∴∠CAE=∠BDC，在△ACM与△DCN中，∵∠CAE=∠BDC

AC=CD

∠ACM=∠DCN

∴△ACM≌△DCN，∴CM=CN，又∵∠MCN=180°

-60°

=60°

，∴△MCN是等边三角形，∴∠MNC=∠NCB=60°

即MN∥AB；

（2）解：

假设符合条件的点C存在，设AC=x，MN=y，

6、如图，在中，∠°

，,的面积为，点为边上的任意一点（不与、重合），过点作∥，交于点．设以为折线将△翻折，所得的与梯形重叠部分的面积记为y.

（1）．用x表示∆ADE的面积;

（2）．求出﹤≤时y与x的函数关系式；

（3）．求出﹤﹤时y与x的函数关系式；

（4）．当取何值时，的值最大？

最大值是多少？

解:

（1）∵DE∥BC∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C

∴△ADE∽△ABC∴

即

（2）∵BC=10∴BC边所对的三角形的中位线长为5

∴当0﹤时

（3）﹤10时，点A'

落在三角形的外部,其重叠部分为梯形

∵S△A'

DE=S△ADE=

∴DE边上的高AH=AH'

=

由已知求得AF=5

∴A'

F=AA'

-AF=x-5

由△A'

MN∽△A'

DE知

∴

（4）在函数中

∵0﹤x≤5∴当x=5时y最大为：

在函数中

当时y最大为：

∵﹤

∴当时，y最大为：

7、如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与Y轴交于C点，

且A（－1，0）。

（1）求抛物线的解析式及顶点Ｄ的坐标

（2）判断△ＡＢＣ的形状，证明你的结论。

（3）点Ｍ（m，0）是Ｘ轴上的一个动点，

当ＭＣ+ＭＤ的值最小时，求m的值

（1）将A（－1，0）代入

得，所以抛物线的解析式

配方得：

，所以顶点D

（2）求出AC=，BC=，而AB=5

∴，故△ＡＢＣ为RT△

（3）作点C关于X轴的对称点E（，0），

连接DE交X轴于点M，通过两点式可求得直线DE的

解析式：

，当=0时，解得=

∴Ｍ（，0）即m=

8．如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6（a≠0）相交于A（，）和B（4，m），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于