高中数学培优辅导数学学习中的学法指导.docx

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高中数学培优辅导数学学习中的学法指导

高中数学培优辅导-数学学习中的学法指导

【内容综述】

　　本讲就数学学法中常用的几个策略作了介绍，第一就是要不断掌握有用的先进武器——数学公式、定理；第二，要加强对数学概念的学习理解，在一些利用概念分析，可能减少计算一的试题中，应尽量减少计长算量，提高解题效率；第三，提供了一个面对较难试题的思维策略：

反客为主，欲擒故纵……第四，其它

【要点讲解】

　　§1.武器精,巧解题

　　若能不断掌握一些有用的课外公式,无论是解高考试题,还是解数竞试题都是有用的，尤其是高考现今强调创新，出活题考能力；而高中数竞一试又往高考靠，并且数竞从来就是在出活题考能力（当然它要求的知识面更广，基础更坚深），二者关系极为密切，这一节，我们介绍两个课外的有用公式实理，供大家参考。

　　1．等差数列中，

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①

　　　　证明

　　例1.设等差数列满足且Sn为其前n项之和，求Sn中最大者。

（1995高中全国数竞赛题）

分析：

若等差数列中，满足

　　则Sn最大。

或当Sn=Sm时，取最大值

　　解：

　　由题设：

得

　　故由等差数列前n项和是二次函数，可见是最大和

　　说明本题若用常规解法，就需由题设，求得再去解

　　求得n=20.计算量较大。

　　例2.等差数列，的前n项和分别为Sn与Tn，若

　　（1995年全国高考试题）

　　分析本题若按解答题做，推理、论证计算相当繁杂，但若利用公式①就非常简单

　　解

　　　∴

　　例3.设等差数列的前n项和为Sn,已知,求公差d的取值范围.

　　解:

　　即

　　又∵

　　故

　　2．三面角余弦公式

　在如图三面角O—ABC中。

设面角∠AOB=Q,

　　∠AOC=Q1，∠BOC=Q2,二面角A—OC—B

　　大小为，则有公式

　　，②

称为三面角余弦公式或三射线定理。

当时，就是主几课本中复习题的公式。

它的证明可在如图的基础上，作CA、CB分别垂直OC、于C、连AB，分别在△AOB、△AOC、△BOC得用三角函数可分别将AB、BC、AC用Q、Q1、Q2及OC的关系表出，最后再在△ABC中利用余弦定理求得公式②

　　本公式无论在高考试题还是竞赛试题,多有应用。

　　例4.已知二面角M—AB—N是直二面角，P是棱上一点，PX、PY分别在平面M、N内，且。

求大小?

（1964,北京赛题）

　　解:

利用三面角余弦公式

　　得

　　∴

　　例5.已知四面体S—ABC中，，，设以SC为棱的二面角为，求与、β关系。

　　解：

由三面角余弦公式及题设，得

　　　，

　　，故有

　　解之，得

　例6.已知正四棱锥P—ABCD的侧面与底面夹角为L，相邻两侧面的夹角为β,求证：

　　　（1981上海竞赛题）

　　证：

设PO是棱锥的高，O是底面ABCD的对角线交点

　　　　作OE⊥AD，

　　　　则PE⊥AD，

　　　　从而∠PEO是侧面与底面所成角；

　　　　作BF⊥PC，连DF，易证∠DFB即两侧面间所成二面角的平面角β.

　　　　设侧棱长为a，底面边长为b。

则侧高为，则由三面角余弦公式有

　　　　　　　　=

　　　　　　　　=

　　　　　　　　=

　　　　又由三面角P—BCD知

　　　　∴

　例7.如图正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面成面角，则异面直线AD与BF所成角的余弦是_____________。

（1996年全国高考试题）

　　解∵AD，BF所成角，即BC与BF所成角，由三面角余弦公式，有

　　说明：

由上面几道在高中竞赛或全国高考试题解答中，显然课外的公式，担供了极其简捷的解法，若不用这二公式，尽管问题也能解决，但要繁杂得多

　　这里我们才给了两个课外的有用公式，在本教程的其它章节，更介绍了许多有用的方法和公式定理，也希望同学们在今后的解题实践中，不断总结，发现更多更好的解题方法，策略和武器，为不好数学，争取得更大成绩而努力，

§2大概念小计算

　　要学好数学，一定要重视概念的学习

　　例8.已知集合

　　的值。

（1987．全国赛题改编）

　　分析：

根据集合元素的互异性，由N知X，Y皆不为0，又由M=N，故知可见，从而xy=1，进而x、y可求

　　解：

由题设知x、y≠且xy=1，∵且M=N，∴解方程组

　　得x=y=-1，舍去x=y=1（∵与元素互异矛盾）

　　代入原式=-2+2-2+…-2=-2.

　　说明：

这时重在概念分析，计算量较小。

　　也可发先就x、y是否为1讨论后得出原式=4002

　　或；进而去求x、y的值，舍去4002-解，得出-2的正确结论。

　　例9.过抛物线的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p、q，求的值

　　分析：

本题若按解答题作，需对一般情况进行计算，比较繁杂，而若概念清楚，再结合抛物线道径长，可见令p=q即可迅速求解。

　　解令p=q，则

　　由抛物线，可见，根据通径长为，应选C。

　例10如图,OA是圆锥底面中心O到母线的垂线，OA绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成体积相等的两部分。

求母线与轴的夹角的余弦值

　　分析若能洞察旋转体体积求法真谛，本题从题设可转化为以PO原圆锥体积之半，于是可轻松地得出方程

　　解设原圆锥母线长为1，则底半径经，（为圆锥顶角之半），高，，设AD⊥PO于D，则于是

由　，得

　　解得，

　　应选C

　　说明：

在这一节中，我们主要介绍了解题中减少计算量的一种方法，希望同学们加强概念理解，尽量通过多思，找到巧解妙算解决问题的办法。

在今后的章节中，我们还会介绍更多的不同于课内知识的数学概念和方法，希望大家能够认真学习，掌握各类问题的解法。

§3反客为主，欲擒故纵

数学习题的解决，往往都不是一帆风顺而是充满艰险的。

例11.若

　　试求的值

　　分析欲求有关的下弦，要先去求有关β的函数关系β（）,然后再消去β从而得出的欲求值,这种策略,不妨称之为“反客为主，欲擒故纵，”在很我场合这种策略行之有效。

　　解由①得

　　　由②得

　　　　.

　　于是

　　化简得

　　　∴（已舍绝对值>1的另根）

　　例12.已知

　　求证：

　　分析题设中有的三角函数，并有参数a、b、c。

但题断中不含的三角函数，可见应设法消去，为此应先求出关于a、b、c的关系，再设法消去。

　　证：

由已知易得

　　由①可见

　　代入②，再化简即得

　　说明：

这一节，我们介绍了一种遇到疑难问题时，可能采用的解决问题的思想方法，也即是战争中的正面强改不下时，就考虑迂回进攻的战略战术，在数学竞赛试题的解决中，应时刻准备应予这种情况的出现。

　　例13.当x=-1,x=0,x=1,x=2时，多项式取整数值，求证：

对于所有整数X，这个多项式都取整数值。

（1988俄）

　　证：

注意到（★）

　　由题设知

　　　d=p（0）,a+b+c+d=p

（1）,

　　都是整数，故a+b+c也是整数。

又

　　　p（-1）=2b-（a+b+c）+d

　　是整数，故2b也是整数，而

　　　p

（2）=6a+2b+2（a+b+c）+d

　　是整数，可见6a也是整数。

又易证是整数，从而由（★）可证各P（x）是整数。

　　说明为证P（x）是整数，就需证明a、b、c、d是整数系数，这里借助于构造★式,转证6a、2b，a+b+c，d为整数，从而证出p（x）是整数，这也是迂回证法，竞赛数字中采用的方法很多，希望大家认真,能认真坚持学习。

 【练习】

　　1．①试通过已知锥体,台体公式，概括出一般的拟柱体公式

　　其中分别表示上、下底面积，表示中截面积。

　　　②用上述公式求解

若三棱柱ABC—中，若E、F分别为AB，AC中点，平面EF将三棱柱分成体积为，的两部分,则：

=________.（1990年全国高考题）

★★2.设|m|≤2，试求关于x的不等式

　　恒成立的x取值范围

★★3.关于x的方程

　　有实根,求实数a的取值范围.

 参考答案

【练习】

　　1．①注意利用；

　　　②特殊化原三棱柱为边长为2的正三棱柱，易求得，代入拟柱体公式，得

　　2．构造函数，求系数x范围。

　　　（Ⅰ）当|x|>1时,

　　　（Ⅱ）当|x|<1时,

　　　（Ⅲ）|x|=1时,X=1

　　综上，，原命题成立。

　　3．解关于a的方程，得

　　　（Ⅰ）当

　　　（Ⅱ）时,

　　　　　　当

　　　（Ⅲ）又由

　　可见时故