数学物理方程与特殊函数第二三章作业Word下载.docx

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习题2.3

4.由静电场Gauss定理，求证：

，并由此导出静电势u所满足的Poisson方程。

证明：

由题意可知由静电场高斯定理：

∴

习题2.4

2.

（1）

△=12－1×

（-3）=4﹥0=>

双曲型

=>

或-1

令

则

=>

（5）

△=82－16×

3=16﹥0=>

或

习题2.5

2.试证明：

若是定解问题

的解，则是定解问题

的解。

其次，因是齐次定解问题的解，因此，

∴是定解问题

习题2.6

1.（3）证明公式：

且

习题3.1

3.（4）

可分为两种情况来讨论（令）

a）当时，方程的通解为X（x）=Ax+B.（A、B为任意常数）

代入边界条件得X（0）=B=0[X´

（L）+hX（L）]=A+h（AL+B）=0

（1+hL）A=0

b）当时，方程的通解为.（A、B为任意常数）

代入边界条件得

X（0）=A=0

∴边值问题的固有值为的正根。

相应的固有函数为

7.一根长为L的杆，一端固定，另一端受力F0而被拉长。

求杆在去掉F0时的振动。

设杆的截面积为S，杨氏模量为Y。

当时，边值问题只有零解。

当时，X（x）=Ax+B.当A=0，B≠0时，方程满足条件。

当时，.（A、B为任意常数）

代入边值条件得：

X（0）=A=0，=>

（n=0,1,2·

·

）则固有值为，相应固有函数为（Bn为任意非零常数）

∴（n=0,1,2·

）

代入初始条件为：

习题3.2

2.一根长为L的细杆侧面和两端绝热，初始时刻细杆上的温度为。

求细杆上的温度变化的规律。

其定解问题为：

由题意可知定解问题的固有值问题为：

当时，X（x）=Ax+B.当A=0，B=0时，边值问题只有零解。

，=>

∴固有值为，相应固有函数为（An为任意非零常数）

又

∴，

习题3.3

4.求解圆域内Laplace方程Neumann问题：

由题意可知Laplace方程一般解为：

其中为任意常数

，（n=1,2，·

习题3.4

2.一个长、宽各为a的方形膜，边界固定，膜的振动方程为

求方形膜振动的固有频率。

由题意可知将定解问题进行时空分离和空间变量分离：

相应空间固有值问题的固有值为

求解关于T（t）的常微分方程，可得通解为：

∴相应的方形膜振动的固有频率

习题3.5

2.求解定解问题：

其中，T0是常数。

由题意可知定解问题的边值问题为：

解得：

令，代入原定解问题，得：

得：

其中

6.求解定解问题：

由题意可知分离变量发可得固有值及固有函数分别为：

固有值为，

相应固有函数为（An为任意非零常数，n=1,2·

代入波动方程，并将A按xn展开，得：

则

比较可得：

∴原定解问题解为：

习题3.6

1.求解定解问题：

其中，b和u0是常数。

由于边值问题诗非齐次的，首先应该把边界条件齐次化。

令代入波动方程得：

为使方程与边界条件同时齐次化，需满足：

∴

定解问题为：

所以

5.求解定解问题：

其中，g和E是常数。

另代入波动方程得

为使方程与边界同时齐次化，X（x）需满足：

的定解问题为：

由分离变量法解得：