河北省中考数学总复习第一编教材知识《52解直角三角形的应用中考命题规律》精讲与精炼试题含答案文档格式.docx

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解直角三角形的应用

以三个垃圾存放点为背景，通过解直角三角形求垃圾运送费用

2013

8

以航行、方向角为背景，利用解直角三角形求距离

命题规律

纵观河北近五年中考，锐角三角函数及解直角三角形，在中考中题型多为选择和解答题，分值3～10分，难度中等，解直角三角形的应用考查了4次，2015、2017年考查了对方位角的认识，其中，2016年没独立考查.

河北五年中考真题及模拟

　解直角三角形的应用

1．（2017保定中考模拟）如图，已知△ABC的三个顶点均在格点上，则cosA的值为（　D　）

A.　　　B.　　　C.　　　D.

（第1题图）

　　　　（第2题图）

2．（2017河北中考模拟）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°

，AD⊥BC于D，若BD∶CD＝3∶2，则tanB＝（　D　）

A.B.C.D.

3．（2016河北中考模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°

，如果cosB＝，那么sinA的值是（　B　）

A．1B.C.D.

4．（2016定州中考模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°

，AB＝13，BC＝12.则下列三角函数表示正确的是（　A　）

A．sinA＝　　B．cosA＝

C．tanA＝　　D．tanB＝

5．（2015河北中考）已知：

岛P位于岛Q的正西方，由岛P，Q分别测得船R位于南偏东30°

和南偏西45°

方向上，符合条件的示意图是（　D　）

A）,B）

C）,D）

6．（2013河北中考）如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°

方向的M处，它以每小时40海里的速度向正北方向航行，2小时后到达位于灯塔P的北偏东40°

的N处，则N处与灯塔P的距离为（　D　）

A．40海里B．60海里

C．70海里D．80海里

（第6题图）

　　（第7题图）

7．（2016保定十三中二模）如图，港口A在观测站O的正东方向，OA＝4.某船从港口A出发，沿北偏东15°

方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°

的方向，则该船航行的距离（即AB的长）为__2__．

8．（2016张家口九中二模）芜湖长江大桥是中国跨度最大的公路和铁路两用桥梁，大桥采用低塔斜拉桥桥型（如图①），图②是从图①引伸出的平面图，假设你站在桥上测得拉索AB与水平桥面的夹角是30°

，拉索CD与水平桥面的夹角是60°

，两拉索顶端的距离BC为2m，两拉索底端距离AD为20m，请求出立柱BH的长．（结果精确到0.1m，≈1.732）

解：

设DH＝xm.

∵∠CDH＝60°

，∠H＝90°

，

∴CH＝DH·

tan60°

＝x，

∴BH＝BC＋CH＝2＋x.

∵∠A＝30°

∴AH＝BH＝2＋3x.

∵AH＝AD＋DH＝20＋x，

∴2＋3x＝20＋x，

解得x＝10－，

∴BH＝2＋（10－）＝10－1≈16.3（m）．

答：

立柱BH的长约为16.3m.

9．（2016邯郸二十五中模拟）保护视力要求人写字时眼睛和笔端的距离应超过30cm.图①是一位同学的坐姿，把他的眼睛B，肘关节C和笔端A的位置关系抽象成图②的△ABC.已知BC＝30cm，AC＝22cm，∠ACB＝53°

，他的这种坐姿符合保护视力的要求吗？

请说明理由.（参考数据：

sin53°

≈0.8，cos53°

≈0.6，tan53°

≈1.3）

他的这种坐姿不符合保护视力的要求．

理由：

过点B作BD⊥AC于点D.

∵BC＝30cm，∠ACB＝53°

∴sin53°

＝＝≈0.8，

解得：

BD＝24，

cos53°

＝≈0.6，

解得DC＝18,

∴AD＝AC－DC＝22－18＝4（cm），

∴AB＝＝＝<

∴他的这种坐姿不符合保护视力的要求．

中考考点清单）

　锐角三角函数的概念

在Rt△ABC中，∠C＝90°

，AB＝c，BC＝a，AC＝b，则∠A的

正弦

sinA＝＝①____

余弦

cosA＝＝②____

正切

tanA＝＝③____

　特殊角的三角函数值

30°

45°

60°

sinα

④____

cosα

⑤____

tanα

⑥____

1

　解直角三角形

解直角三角形常用的关系：

，则

三边关系

⑦__a2＋b2＝c2__

两锐角关系

⑧__∠A＋∠B＝90°

__

边角关系

sinA＝cosB＝

cosA＝sinB＝

tanA＝

仰角、俯角

在视线与水平线所成的锐角中，视线在水平线上方的角叫⑨__仰角__，视线在水平线下方的角叫⑩__俯角__．如图①

坡度（坡比）、坡角

坡面的铅直高度h和⑪__水平宽度__l的比叫坡度（坡比），用字母i表示；

坡面与水平线的夹角α叫坡角．i＝tanα＝⑫____.如图②

方位角

指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°

的水平角，叫做⑬__方位角__，如图③，A点位于O点的北偏东30°

方向，B点位于O点的南偏东60°

方向，C点位于O点的北偏西45°

方向（或西北方向）

【规律总结】解直角三角形的方法：

（1）解直角三角形，当所求元素不在直角三角形中时，应作辅助线构造直角三角形，或寻找已知直角三角形中的边角替代所要求的元素；

（2）解实际问题的关键是构造几何模型，大多数问题都需要添加适当的辅助线，将问题转化为直角三角形中的边角计算问题．

中考重难点突破）

　锐角三角函数及特殊角三角函数值

【例1】

（攀枝花中考）在△ABC中，如果∠A，∠B满足|tanA－1|＋＝0，那么∠C＝________.

【解析】先根据非负性，得tanA＝1，cosB＝，求出∠A及∠B的度数，进而可得出结论．∵在△ABC中，tanA＝1，cosB＝，∴∠A＝45°

，∠B＝60°

，∴∠C＝180°

－∠A－∠B＝75°

.

【答案】75°

1．在△ABC中，若＋＝0，则∠C的度数是（　D　）

A．30°

　　　B．45°

　　　C．60°

　　　D．90°

2．（2017天津中考）cos60°

的值等于（　D　）

A.B．1C.D.

3．（2017日照中考）在Rt△ABC中，∠C＝90°

，AB＝13，AC＝5，则sinA的值为（　B　）

4．（孝感中考）式子2cos30°

－tan45°

－的值是（　B　）

A．2－2B．0C．2D．2

　解直角三角形的实际应用

【例2】

（钦州中考）如图，在电线杆CD上的C处引拉线CE，CF固定电线杆，拉线CE和地面所成的角∠CED＝60°

，在离电线杆6m的B处安置高为1.5m的测角仪AB，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°

，求拉线CE的长．（结果保留小数点后一位，参考数据：

≈1.41，≈1.73）

【解析】由题意可先过点A作AH⊥CD于点H，在Rt△ACH中，可求出CH，进而求出CD＝CH＋HD＝CH＋AB，再在Rt△CED中，求出CE的长．

【答案】解：

过点A作AH⊥CD，垂足为H，

由题意，可知四边形ABDH为矩形，∠CAH＝30°

∴AB＝DH＝1.5，BD＝AH＝6.

在Rt△ACH中，tan∠CAH＝，

∴CH＝AH·

tan∠CAH＝6tan30°

＝6×

＝2（m）．

∵DH＝1.5，∴CD＝2＋1.5.

在Rt△CDE中，∠CED＝60°

，sin∠CED＝，

∴CE＝＝4＋≈5.7（m），

∴拉线CE的长约为5.7m.

5．（2017兰州中考）如图，一个斜坡长130m，坡顶离水平地面的距离为50m，那么这个斜坡与水平地面夹角的正切值等于（　C　）

（第5题图）

（第6题图）

6．（2016石家庄十一中二模）如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为18cm，宽为30cm，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A，斜坡的起始点为C，现设计斜坡BC的坡度i＝1∶5，则AC的长度是__210__cm.

7．（2016保定十七中二模）如图，将45°

的∠AOB按下面的方式放置在一把刻度尺上：

顶点O与尺下沿的端点重合，OA与尺下沿重合，OB与尺上沿的交点B在尺上的读数恰为2cm.若按相同的方式将37°

的∠AOC放置在该刻度尺上，则OC与尺上沿的交点C在尺上的读数约为__2.7__cm.（结果精确到0.1cm，参考数据：

sin37°

≈0.60，cos37°

≈0.80，tan37°

≈0.75）

8．（2016邢台中学二模）如图，在一笔直的海岸线l上有A，B两个观测站，A在B的正东方向，AB＝2km.有一艘小船在点P处，从A处测得小船在北偏西60°

的方向，从B处测得小船在北偏东45°

的方向．

（1）求点P到海岸线l的距离；

（2）小船从点P处沿射线AP的方向航行一段时间后，到达点C处．此时，从B处测得小船在北偏西15°

的方向，求点C与点B之间的距离．（上述2小题的结果都保留根号）

（1）过点P作PD⊥AB于点D.

设PD＝xkm.

在Rt△PBD中，∠BDP＝90°

，∠PBD＝90°

－45°

＝45°

∴BD＝PD＝x.

在Rt△PAD中，∠ADP＝90°

∠PAD＝90°

－60°

＝30°

∴AD＝PD＝x.

∵BD＋AD＝AB，∴x＋x＝2，x＝－1.

∴点P到海岸线l的距离为（－1）km；

（2）过点B作BF⊥AC于点F.

根据题意，得∠ABC＝105°

在Rt△ABF中，∠AFB＝90°

，∠BAF＝30°

∴BF＝AB＝1.

在△ABC中，∠C＝180°

－∠BAC－∠ABC＝45°

.在Rt△BCF中，∠BFC＝90°

，∠C＝45°

∴BC＝BF＝，

∴点C与点B之间的距离为km.

1．（山西中考）如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是（　D　）

A．2B.C.D.

2．（2017湖州中考）如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°

，AB＝5，BC＝3，则cosB的值是（　A　）

3．（2017广安中考）如图，AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，已知cos∠CDB＝，BD＝5，则OH的长度为（　D　）

A.B.C．1D.

（第3题图）

　　　（第4题图）

4．（金华中考）一座楼梯的示意图如图所示，BC是铅垂线，CA是水平线，BA与CA的夹角为θ.现要在楼梯上铺一条地毯，已知CA＝4m，楼梯宽度1m，则地毯的面积至少需要（　D　）

A.m2B.m2

C.m2D．（4＋4tanθ）m2

5．（巴中中考）一个公共房门前的台阶高出地面1.2m，台阶拆除后，换成供轮椅行走的斜坡，数据如图所示，则下列关系或说法正确的是（　B　）

A