十一讲二元函数的微分与极值.docx
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十一讲二元函数的微分与极值
泰山学院信息科学技术学院教案
数值分析教研室
课程名称
高等数学研究
授课对象
2006级本科
授课题目
第十一讲 二元函数地微分与极值
课时数
4
教案
目地
通过教案使学生掌握二元函数地微分法、无条件极值、条件地极值求法,掌握最值地求法,会利用这些理论解决生产实际地应用问题.
重
点
难
点
1．重点无条件极值、条件地极值求法,最值地求法；
2．难点应用无条件极值、条件地极值、最值理论解应用题.
教
学
提
纲
第十一讲二元函数地微分与极值
一、多元函数地微分
1.多元函数地极限
2、偏导数
3、全微分
二、极值与最值
1．二元函数地无条件极值
2．二元函数地条件极值拉格朗日数乘法
3．二元函数地最值
三、应用
1.曲面地切平面与法线方程
2.场论初步
教案过程与内容
教案
后记
第十一讲二元函数地微分与极值
二元函数地导数、极值、最值是历年考试地重点,二元函数地微分、二元函数地微分在几何中地应用、场论初步也应引起重视.
一、多元函数地微分
1.多元函数地极限
也记作
或f（P>→A（P→P0>.
【说明】
（1>二重极限存在,是指P以任何方式趋于时,函数都无限接近于A.
（2>如果当P以两种不同方式趋于时,函数趋于不同地值,则函数地极限不存在.
例1：
设,求证.
【证明】因为
因此.
例2：
讨论：
函数在点（0,0>有无极限？
【解】:
当点P（x,y>沿x轴趋于点（0,0>时,
;
当点P（x,y>沿直线y=kx有
.
因此,函数f（x,y>在（0,0>处无极限.
2、偏导数
【说明】关于求导时,暂时把看成常数.
例３：
验证函数满足方程.
【证明】因为,所以
,.
因此.
3、全微分
如果函数z=f（x,y>在点（x,y>地全增量∆z=f（x+∆x,y+∆y>-f（x,y>可表示为
即
其中A、B不依赖于∆x、∆y而仅与x、y有关,则称函数z=f（x,y>在点（x,y>可微分,而称A∆x+B∆y为函数z=f（x,y>在点（x,y>地全微分,记作dz,即
dz=A∆x+B∆y.
【说明】
<１）如果函数z=f（x,y>在点（x,y>可微,则函数在该点地偏导数、必定存在,但反过来不对；
<２）如果函数z=f（x,y>在点（x,y>可微,则函数在该点连续；
<３）、在（x,y>存在,函数z=f（x,y>在（x,y>不一定连续
例4：
讨论函数在点（0,0>处连续性、偏导数地存在性、及可微性.
【解】
函数在点（0,0>处连续；由偏导数地定义知fx（0,0>=0及fy（0,0>=0；
但函数在（0,0>不可微分,这是因为当（∆x,∆y>沿直线y=x趋于（0,0>时,
.不趋向0.
4、偏导数地求法
<1）复合函数求导法
例5：
<1）,求
<2）,求
【解】（1>
（2>
<2）隐函数求导法
若函数由方程确定,方程两边关于求导,
所以,,同理,
例6：
<1）若函数由方程确定,求.<2）若函数由方程组确定,求.
【解】（1>C
（2>方程两边关于求导
解得
例7：
设是由方程所确定地函数,其中具有2阶导数且时,
求（1>；<2）记,求.
【解】（1>,
（2>
<3）高阶导数
,
例7：
设函数在内具有二阶导数,且满足等式.验证.
【说明】利用复合函数偏导数计算方法求出代入即可得
【解】设,则
.
.
将代入得
.
例8：
设f（u,v>具有二阶连续偏导数,且满足,又,求
【分析】本题是典型地复合函数求偏导问题：
,直接利用复合函数求偏导公式即可,注意利用
【解】,
故,
所以
=
二、极值与最值
1．二元函数地无条件极值
（1>二元函数地极值一定在驻点和不可导点取得.对于不可导点,难以判断是否是极值点；对于驻点可用极值地充分条件判定.
（2>二元函数取得极值地必要条件：
设在点处可微分且在点处有极值,则,,即是驻点.
（3>二元函数取得极值地充分条件：
设在地某个领域内有连续上二阶偏导数,且,令,,,则
当且A<0时,f为极大值；
当且A>0,f为极小值；
时,不是极值点.
【注意】当B2－AC=0时,函数z=f（x,y>在点可能有极值,也可能没有极值,需另行讨论
例9：
求函数z=x3+y2－2xy地极值．
【分析】可能极值点是两个一阶偏导数为零地点,先求出一阶偏导,再令其为零确定极值点即可,然后用二阶偏导确定是极大值还是极小值,并求出相应地极值.
【解】先求函数地一、二阶偏导数：
．,,．
再求函数地驻点．令=0,=0,得方程组
求得驻点（0,0>、．
利用定理2对驻点进行讨论：
（1>对驻点（0,0>,由于A=0,B=－2,C=2,B2－AC0,故（0,0>不是函数z=f（x,y>地极值点．
（2>对驻点,由于A=4,B=－2,C=2,B2－AC=－40,且A0,则
为函数地一个极小值．
例10：
设z=z（x,y>是由确定地函数,求地极值点和极值.
【分析】本题把极值问题与隐函数求导方法相结合,计算量是比较大地.这体现了考研地基本要求.
【解】因为,所以
.
令得
故
将上式代入,可得
或
由于,
所以,,,
故,又,从而点（9,3>是z（x,y>地极小值点,极小值为z（9,3>=3.
类似地,由
,,
可知,又,从而点（-9,-3>是z（x,y>地极大值点,极大值为
z（-9,-3>=-3.
【点评】本题讨论由方程所确定地隐函数求极值问题,关键是求可能极值点时应注意x,y,z满足原方程.
2．二元函数地条件极值
拉格朗日数乘法：
设某领域内有连续偏导数,引入辅助函数
解联立方程组
得可能是在条件下地极值点
例11经过点地所有平面中,哪一个平面与坐标面在第一卦限所围地立体地体积最小．并求此最小体积．
【分析】条件极值经常考应用题.这一点大家应引起重视.
【解】设所求平面方程为
．
因为平面过点,有
．
设所求平面与三个坐标平面所围立体地体积为V,则．
作拉格朗日函数
．
求函数L地各个偏导数,并令它们为0,得方程组：
代入解得a=b=c=3．
由于最小体积一定存在．又函数有惟一地驻点．故a=b=c=3为所求．即平面
x+y+z=3．
与坐标面在第一卦限所围物体地体积最小．最小体积为
例12求函数在在约束条件和下地最大和最小值.
【解】设
得方程组即
解得或
得,
3．二元函数地最值
二元函数地最值一定在驻点和不可导点及边界点取得.
例13:
D是直线与坐标轴围成地三角形闭区域,求在上地最大值和最小值.
驻点.
例14:
求函数在区域D上地最大值和最小值,其中：
.
【分析】由于D为闭区域,在开区域内按无条件极值分析,而在边界上按条件极值讨论即可.
【解】因为,,解方程：
得开区域内地可能极值点为.
其对应函数值为
又当y=0时,在上地最大值为4,最小值为0.
当,构造拉格朗日函数
解方程组得可能极值点：
其对应函数值为
比较函数值,知f（x,y>在区域D上地最大值为8,最小值为0.
【评注】当,代入目标函数转换成一元函数求解更简单.
例１5:
已知函数z=f（x,y>地全微分,并且.求f（x,y>在椭圆域上地最大值和最小值.
【解】由题设,知,,
于是,且,从而,
再由,得C=2,故
<下略）
三、应用
1.曲面地切平面与法线方程
曲面在点M0地切平面.这切平面地方程式是
Fx（x0y0z0>（x-x0>+Fy（x0y0z0>（y-y0>+Fz（x0y0z0>（z-z0>=0.
法线方程为
.
例16：
求球面x2+y2+z2=14在点（1,2,3>处地切平面及法线方程式.
【解】F（x,y,z>=x2+y2+z2-14,
Fx=2x,Fy=2y,Fz=2z,
Fx（1,2,3>=2,Fy（1,2,3>=4,Fz（1,2,3>=6.
法向量为n=（2,4,6>,或n=（1,2,3>.
所求切平面方程为2（x-1>+4（y-2>+6（z-3>=0,即x+2y+3z-14=0.
法线方程为
2.场论初步
<1）数量场：
<方向导数）函数u=f（x,y,z>在点P0（x0,y0,z0>可微分,那么函数在该点沿任一方向l地方向导数都存在,且有
其中cosα,cosβ,是方向l地方向余弦.
<2）数量场<梯度）设三元函数可微
gradf（x0,y0,z0>=fx（x0,y0,z0>i+fy（x0,y0,z0>j+fz（x0,y0,z0>k.=
结论:
函数在某点地梯度是这样一个向量,它地方向与取得最大方向导数地方向一致,而它地模为方向导数地最大值.
<３）矢量场：
<散度）已知
<４）矢量场：
<旋度）已知
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