量子力学曾谨言第五版第1章序言知识点Word格式.docx

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单位时间内从辐射体表面的单位面积上发射出的辐射能量的频率分布，用表示。

所以在时间，从面积上发射出频率在范围内的能量表示为：

因此，的量纲为：

。

可以证明：

辐射本领与辐射体的能量密度分布的关系，（的单位为）。

吸收率：

照到物体上的辐射能量分布被吸收的份额，用表示。

G.Kirchhoff（基尔霍夫）证明：

对任何一个物体，辐射本领与吸收率之比是一个普适的函数，即

（与组成物体的物质无关）。

对于黑体的吸收率，故其辐射本领（等于普适函数与物质无关）。

所以只要黑体辐射本领研究清楚了，就把普适函数（对物质而言）弄清楚了。

辐射本领也可以用描述,由于单位时间内从辐射体表面的单位面积上发射出的辐射能量可写为：

由于知代入上式得：

2、黑体的辐射本领

黑体辐射的空间能量密度按波长（或频率）的分布只与温度有关。

实验测得的辐射曲线满足下列定律：

（i）、斯忒藩－玻尔兹曼定律（Stefan-BoltzmannLaw）

黑体辐射能量（单位时间，单位面积发射的能量）是与绝对温度成正比，即

，

其中为黑体辐射能量。

这个定理是斯托藩1879年实验测定的，而1884年玻尔兹曼从热力学理论推导出来。

（ii）、Wien位移定律（WienDisplacementLaw）

维恩发现，对于一个确定的温度，相应地有一波长使达到极大值，而。

即

这说明随着温度升高，热辐射峰值向短波高频方向移动。

温度越高，波长越短的光（即绿光和蓝光）越多；

温度越低，波长越长的光（即红光）越多。

3、经典物理学的缺陷

利用经典物理学理论推导出的理论公式不能完全地符合实验，展现出经典物理学理论的局限性。

（i）、黑体辐射谱的维恩（Wien）经验公式：

维恩（1894）根据热力学第二定律及用一模型可得出辐射本领

其中，而是玻尔兹曼常数。

维恩公式在高频率（短波段）与实验符合，但在中、低频率（长波段）区，特别是低频率区与实验偏离很大。

（ii）、瑞利-金斯（Rayleigh-Jeans）公式：

瑞利（1900）根据经典电动力学及金斯（1905）由经典统计力学的能均分定理严格得到黑体辐射本领公式：

仅当频率足够低（或长波段），温度足够高（即）时，符合（即）实验曲线。

但在频率很高紫外区域（或很小的短波段）时，，即著名“紫外发散灾难”。

这两个公式并不完全符合实验结果，但理论上给出的结论是确切无疑的。

总之，用经典物理学理论解释黑体辐射谱的实验规律完全失败。

二、固体低温比热

根据经典理论，如一个分子有个原子，而每个原子有3个自由度。

对于1摩尔该分子固体有个分子（称为阿伏加德罗常数），故有个自由度。

所以，固体定容比热为：

，其中是气体常数。

称为能均分定理（Dulog–Relit经验规律）。

实验发现，对单原子固体，在室温下符合能均分定理；

但在低温下，，因而这个实验结果与经典理论不符。

如何解决这些问题呢？

在经典物理学框架下，解释黑体辐射定律的多次失败后，物理学家逐渐地认识到必须引入一个新的理论。

三、Planck假说（1900）

1、普朗克公式

1900/10/19普朗克在柏林物理学会会议上公布了他通过实验数据，采用数学插值法得到的公式：

此公式与实验曲线符合得相当好。

1900/12/14普朗克又在柏林物理学会上给他的公式以量子说明，这就是量子论的生日。

2、普朗克的“能量子”假设

频率为的电磁辐射的能量以为单位（是Planck常数）不连续地变化。

称为能量子或光量子。

式中或。

注意：

能量不连续的概念与经典物理学中能量是连续的完全不相容的！

利用普朗克假设求普朗克公式如下：

辐射的平均能量可如此计算得到：

在经典物理学中，在区间内,经典的能量几率分布:

（玻尔兹曼几率分布），则对于连续分布的辐射平均能量为

；

而对于普朗克假设下的能量分布几率，则为，故分立的平均辐射能量为

上式计算中取并用到幂级数展开公式：

因此，用电动力学和统计力学导出的Rayleigh-Jeans公式：

应改为

这就是Planck假设下的辐射本领，它与实验完全符合。

由辐射本领与能量密度的关系

知，普朗克公式：

其中是表示黑体辐射的频率在内的空间能量密度、c—光速、—玻尔兹曼常数、—绝对温度。

Planck公式与实验完全符合。

对普朗克公式进行下列讨论:

1极限情况：

当（高频区）：

即Wien公式;

当（低频区）：

即Rayleigh-Jeans公式。

②斯托藩-玻尔兹曼定律

③维恩位移定律

对于一个固定的温度值,求导：

从而有。

4固体的低温定容比热（详细见固体物理学（黄昆著）P122-130）

由总辐射能量密度（单位：

）

（横波2所受）

可推出固体中原子振动能量密度为

，

其中和分别为固体中的横向声速和纵向声速。

低温下，。

该公式只适用于低温，因固体中原子振动有最高频率的限制（声波在固体中波长不短于晶格距离的2倍，即），而在低温下，高频并不激发，因此，影响可忽略（推导辐射总能时高频是计及的，但低温下高频影响可忽略，所以这样推出的公式只适用于低温）。

1.2Einstein的光子说

一、爱因斯坦“光量子”假说（1905）

1、光电效应现象[1887赫兹（Hertz）]

光电效应的主要现象：

当单色光照射到金属表面上，有这样一些现象（使人迷惑的特点）：

A、发射光电子依赖于频率，而与光强度无关。

要有光电子发射，光频率就必须大于某一值，即有一最低频率。

B、当照射光的频率时，发射出的光电子动能大小与光强度无关。

这从经典物理学角度是非常难以理解的，因为光的能量是正比于强度而与频率无关。

因此认为光波强度增加时，光波中电场振幅增大，应该会加速电子达到较高的速度和较大的动能，从而离开金属，所以光强度越大，飞出的电子动能越大，而能有光电子产生，也并不需要大于一定频率，即与频率无关。

所以，经典理论与实验绝然相反。

2、Einstein（1905）的“光量子”假设:

Einstein（1905）创立了狭义相对论，并在这年将Planck“能量子”假设推广为“光量子”的概念。

（i）、“光量子”的概念：

一束单色光由辐射能量大小为的光量子组成，即假设光与物质粒子交换能量时，是以“微粒”形式出现，这种“微粒”带有能量。

（ii）、光子的动量与波长的关系：

光子的静止质量，根据狭义相对论的光的能量-动量关系：

又由于,所以（是光的波长）。

对解释光电效应实验如下：

电子要飞离金属，必须克服吸引而做功（逸出功），所以飞出光电子电子的动能:

电子在金属中的脱出功

由于电子吸引两个光量子的几率几乎为，故要想飞离金属，则至少；

，即有一最低频率。

而。

我们可以看到，核心的问题是一束单色光可以转移给一个电子的能量除以频率为一个常数，即

而这个常数与光的频率、光的强度、电子以及金属材料都无关。

该常数并不能由经典物理学中常数所

给出。

因此，是一个与经典物理学完全不相容的关系式。

意义：

证明电磁场的能量子可以和单电子相互作用，从而它本身也可视为一种粒子，称为“光子”。

3、密立根（Millikan）实验（1916）

密立根在1910开始研究光电效应，到1916通过实验证实了爱因斯坦的光电方程，并推算出普朗克常量。

这为爱因斯坦的光量子理论提供了第一个直接而全面的实验证据。

1921年爱因斯坦由于光电效应等理论工作获得诺贝尔物理学奖，密立根也于1923年荣获诺贝尔物理学奖。

4、康普顿散射（ComptonScattering）

Compton实验（1923）是光在自由电子上的散射（或称光子-电子的碰撞）。

证实了光具有粒子性。

实验发现，单色射线与电子作用使电子发生散射，散射射线的波长增大：

实验结果和特点经典物理无法解释。

康普顿引入“光子”的概念并利用相对论力学对散射过程成功地进行理论解释如下：

根据爱因斯坦假设：

射线在与电子相互作用时是以“微粒”形式出现，因此它们交换能量和动量。

设入射波长为，则入射的射线的能量和动量为

。

假定电子开始处于静止状态，其初始能量为。

当射线与电子发生相互作用后，射线以动量沿着方向射出，此时波长为，能量和动量分别为

而电子的反冲角为，能量为和动量为：

根据散射前后的能量、动量守恒有

由得:

利用,上式变为

即，其中称为电子的康普顿散射波长。

[例题1]当光对自由质子散射时，求它的波长的改变。

解：

根据康普顿散射公式得

对于质子，

[例题2]当氢原子放射一个频率的光子时，求它的反冲，并求当反冲时由于把能量传递给原子而产生的的改变。

设氢原子的质量为，不反冲时光子的频率为，反冲时光子的频率为。

由能量和动量守恒得：

综上所述，从黑体辐射，固体低温比热，光电效应和康普顿散射的实验事实讨论中得出结论：

辐射除了显示其波动性外，在与物质的能量和动量交换时，还显示出微粒性，两者之间的关系

式中起着重要作用，很小，在很多场合，这种量子效应不显示，这时不连续连续，辐射的微粒性消失。

1.3玻尔旧量子论

一、原子结构的稳定性

1、原子“行星模型”（1911Rutherford）

卢瑟福（Rutherford）组用粒子轰击原子发现，粒子以一定几率散射在大角度方向上，每两万个粒子约有一个粒子返回，飞向源的方向，从而提出原子的行星模型。

以这一模型计算散射微分截面，与实验符合得非常好。

对原子行星模型，按经典电动力学观点：

原子中电子绕原子核加速运动，电子会不断向外辐射电磁波（即发光）致使其运动的总能量减少而减速，从而从轨道半径逐渐缩小将发生“原子坍塌”（秒）。

但事实上原子基态是出奇地稳定，也没有辐射发生（因负电荷粒子加速），这给经典理论带来了困难。

2、氢原子光谱的经验公式

氢原子特征谱线的频率为：

（1885Balmer）

，，其中---Rydberg常数。

分为五个线系：

远紫外区（赖曼（Lyman）系）、可见光和近紫外区（巴尔末（Balmer）系）、近红外区（帕邢（Paschen）系）、较远红外区（布喇开（Brackett）系）、远红外区（普逢得（Pfund）系）。

每个线系均具有以下规律性：

沿波长减小的方向，谱线越来越密集且谱线强度越来越弱。

谱线公式中的每一项称为“光谱项”：

，可认为每个光谱项对应着氢原子的一种能量状态。

这样，氢原子的能量就是不连续地变化的，其可能的值为：

这称为氢原子的能谱。

里兹“并合规则”：

若和在特征光谱中，则有时和也在特征光谱中。

其意义是氢原子的任何一条谱线的波数都等于断续系列中的某两项之差