解析几何经典例题文档格式.docx
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的最短距离为2
故M到直线y＝－1的最短距离为
评注：
上述解法中，当且仅当A、B、F共线，即AB为抛物线的一条焦点弦时，距离才取到最小值。
一般地，求抛物线的弦AB的中点到准线的最短距离，只有当
（即通径长）时，才能用上述解法。
四、圆与椭圆、圆与双曲线定义的综合运用
例4.①已知圆
，M为圆上任一点，MP的垂直平分线交OM于Q，则Q的轨迹为（）
图4
②已知圆
A.圆B.椭圆
C.双曲线D.抛物线
①如图4，由垂直平分线的性质，知|QM|＝|QP|，
而|QM|＝|OM|－|OQ|＝2－|OQ|
即|OQ|＋|QP|＝2＞|OP|＝
故Q的轨迹是以O（0，0）、P
为焦点
长轴长为2的椭圆。
应选B。
②同理，利用垂直平分线的性质及双曲线的定义，可知点Q的轨迹为双曲线的一支，应选C。
五、椭圆与双曲线定义的综合运用
例5.如图5，已知三点A（－7，0），B（7，0），C（2，－12）。
①若椭圆过A、B两点，且C为其一焦点，求另一焦点P的轨迹方程；
②若双曲线的两支分别过A、B两点，且C为其一焦点，求另一焦点Q的轨迹方程。
图5
①由椭圆定义知，|AP|＋|AC|＝|BP|＋|BC|，
故P的轨迹为A（－7，0）、B（7，0）为焦点
实轴长为2的双曲线的一支，
其方程为
；
②经讨论知，无论A在双曲线的哪一支上
总有|QA|＋|QB|＝|AC|＋|BC|＝28＞|AB|＝14
故点Q的轨迹为以A（－7，0）、B（7，0）为焦点
长轴长为28的椭圆，其方程为
［练习］
1.已知椭圆E的离心率为e，左、右焦点为F1、F2，抛物线C以
为焦点，
为其顶点，若P为两曲线的公共点，且
，则e＝__________。
答案：
2.已知⊙O：
，一动抛物线过A（－1，0）、B（1，0）两点，且以圆的切线为准线，求动抛物线的焦点F的轨迹方程。
圆锥曲线中的方法与运算
1.（与名师对话第51练）已知抛物线
点
问是否存在过点
的直线
使抛物线上存在不同的两点关于直线
对称,如果存在,求出直线
的斜率
的取值范围;
如果不存在,请说明理由.
分析:
这是一个求变量（斜率
）的取值范围问题,我们必须给出与变量（斜率
）相关的变量（根据题设寻找）的关系式（组）,显然,这个关系式（组）应由按题设揭示出的几何条件转换得到.
我们由题设揭示出的几何条件是:
抛物线上关于直线
对称的不同的两点所在直线必须与抛物线有两个不同的交点,并且交点为端点的线段的中点在直线
上.相应得到一个不等式和一个等式组成的变量关系式（组）.解这个关于式组即可得变量
的取值范围.
解:
设直线
的方程为
若
则结论显然成立,即
可取.若
则直线PQ的方程为
由方程组
可得,
.
∵直线PQ与抛物线有两个不同的交点,
∴
即
设线段PQ的中点为G（
）,则
∴
∵点G（
）在直线
上,∴
=
由
可得,
（
）,∴
或
综上所述,直线
的取值范围为
2.（与名师对话第51练）已知
直线
过点（1,0）,且与抛物线
交于
两点,
为原点,点
轴的右侧且满足:
（1）求点
的轨迹C的方程;
（2）若曲线
的切线的斜率为
满足:
到
轴的
距离为
求
分析：
由
可知，点
的轨迹C就是弦AB的中点的轨迹.
解
（1）显然直线
的斜率存在,设为
则直线
的方程为:
由方程组
消去
整理得
设
消去
得点
的轨迹C的轨迹方程为:
∵
∴
∵点
轴的右侧,∴
故点
的轨迹C为抛物线
上的一段弧.
点
轴的距离为
就是点
的横坐标的绝对值.因为曲线
所以
由
知,
由此可知,我们必须建立点
的横坐标的绝对值关于
的关系.
解
（2）:
设
则由
可知,
[
],
∴
方法
（一）
（
）,
方法
（二）
且
3.（与名师对话第51练）已知抛物线的方程为
过点
且倾斜角
为
（0<
<
）的直线交抛物线于
两点,且
（1）求
的值;
（2）若点
分
所成的比为
关于
的函数关系式.
要求
的值,必须给出关于
的方程.
解
（1）:
设过点
且倾斜角为
）的直线的方程为
由方程组
则
分析:
由
可知过点
）的直线为
.先建立关于
的函数关系式,再转换为关于
解
（2）:
∵关于
的函数关系式,
由
（1）可知
可消去
得,
∵0<
∴
4.（与名师对话第51练）已知方向向量为
过点（0,-2）和椭圆C:
的焦点,且椭圆C的中心关于直线
的对称点在椭圆C的右准线上.
（1）求椭圆C的方程;
（2）是否存在过点E（-2,0）的直线
交椭圆C于
为原点
?
若存在,求出直线
的方程;
若不存在,请说明理由.
6．（与名师对话第52练20）椭圆C的方程为
，F是它的左焦点，M是椭圆C上的一个动点，O为坐标原点.
（1）求
的重心
的轨迹方程;
（2）若
对原点和点P（-2,0）的张角
最大,求点
的坐标.
设点
（y
0）,M（x1,y1）由题设可知,F（
）
的轨迹方程为
）.
（2）由
（1）可知,原点和点P（-2,0）是椭圆
的两个焦点.下面证明当点M与椭圆
的短轴的端点重合时张角
最大.
方法
（一）用椭圆的定义
设椭圆C上的一个动点
到椭圆的两个焦点的距离为
、
，则由椭圆的定义可知
+
=2
中,
（当且仅当
时,等于号成立）
=0
∴当
即点M与短轴的端点重合时张角
最大,最大角为
这时点M的坐标为（-1,1）、（-1，-1）.
方法
（二）用椭圆的焦半径公式
将椭圆
平移到中心在原点的位置,这时椭圆的方程为
原张角
就是在点P处的两条焦半径的夹角.设点P的坐标为（
）,则
当
时,
当
时,
的最大值为
这时相应点P的坐标为（0,
1）,在椭圆的原位置相应点P的坐标为（-1,
1）.
7.
（与名师对话第52练21）已知动点
与双曲线
的两个焦点
的距
离之和为定值,且
的最小值为
（1）求动点
（2）若已知点
（0,3）,点
在动点
的轨迹上,且
求实
数
（3）若已知点
（1,1）,点
求直线
由题设可知,动点
的轨迹是以双曲线
为其焦点
的椭圆,因此动点
的轨迹方程可以用待定系数法求得.
的椭圆,设其方程为
可以证明（仿例6）当动点
在椭圆的短轴的端点时
的值最小,这时
.∴
∴动点
可知,点
共线,直线MN的变化可以用其斜率表示（直线的方程为
这时要k作讨论）,也可以用
表44z示（直线的方程为
这时不需要对
作讨论）.下面用直线方程
求解.
解法
（一）:
共线.
若直线MN的斜率不存在,则
若直线MN的斜率存在,设直线MN的方程为
则由方程组
可得,
设
则
又由
综上所述,
用点
的坐标表示直线MN的变化.
解法
（二）:
解得
8.抛物线C的方程为
过抛物线C上一点
）作斜率
的两条直线分别交抛物线C于
两点（
三点各不相同）,且满足
（1）求抛物线C的焦点坐标和准线方程;
（2）设直线
上一点
满足:
证明线段
的中点在
轴上;
（3）当
时,若点
的坐标为（1,-1）,求
为钝角时点A的纵坐标
将
看作常量.
抛物线C的方程为
故抛物线C的焦点坐标为（
）,准线方程为
从形式上看,线段
的中点坐标与
相关,而实际上肯定横坐标可以消元为0.
由题设可知,直线
即
同理
∵
-
∴线段
的中点横坐标为0,即线段
轴上.
解（3）:
由题设和题
（2）可知,抛物线C的方程为
又
故
为钝角,
三点各不相同,∴
即有
9.已知椭圆C的中心在原点,焦点在X轴上,一条经过点
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