学年高中数学第三章指数函数和对数函数53对数函数的图像和性质学案北师大版必修1含答案文档格式.docx
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梳理 一般地,对于底数a>
1的对数函数,在(1,+∞)区间内,底数越大越靠近x轴;
对于底数0<
a<
1的对数函数,在(1,+∞)区间内,底数越小越靠近x轴.
知识点四 反函数的概念
思考 如果把y=2x视为A=R→B=(0,+∞)的一个映射,那么y=log2x是从哪个集合到哪个集合的映射?
梳理 一般地,像y=ax与y=logax(a>0,且a≠1)这样的两个函数互为反函数.
(1)y=ax的定义域R,就是y=logax的值域,而y=ax的值域(0,+∞)就是y=logax的定义域.
(2)互为反函数的两个函数y=ax(a>0,且a≠1)与y=logax(a>0,且a≠1)的图像关于直线y=x对称.
(3)互为反函数的两个函数的单调性相同,但单调区间不一定相同.
类型一 对数型复合函数的单调性
例1 求函数y=log(-x2+2x+1)的值域和单调区间.
反思与感悟 求复合函数的单调性要抓住两个要点:
(1)单调区间必须是定义域的子集,哪怕一个端点都不能超出定义域.
(2)f(x),g(x)单调性相同,则f(g(x))为增函数;
f(x),g(x)单调性相异,则f(g(x))为减函数,简称“同增异减”.
跟踪训练1 已知函数f(x)=log(-x2+2x).
(1)求函数f(x)的值域;
(2)求f(x)的单调性.
例2 已知函数y=log(x2-ax+a)在区间(-∞,)上是增函数,求实数a的取值范围.
反思与感悟 若a>
1,则y=logaf(x)的单调性与y=f(x)的单调性相同,若0<
1,则y=logaf(x)的单调性与y=f(x)的单调性相反.另外应注意单调区间必须包含于原函数的定义域.
跟踪训练2 若函数f(x)=loga(6-ax)在[0,2]上为减函数,则a的取值范围是( )
A.(0,1)B.(1,3)
C.(1,3]D.[3,+∞)
类型二 对数型复合函数的奇偶性
例3 判断函数f(x)=ln的奇偶性.
引申探究
若已知f(x)=ln为奇函数,则正数a,b应满足什么条件?
反思与感悟
(1)指数函数、对数函数都是非奇非偶函数,但并不妨碍它们与其他函数复合成奇函数(或偶函数).
(2)含对数式的奇偶性判断,一般用f(x)±
f(-x)=0来判断,运算相对简单.
跟踪训练3 判断函数f(x)=lg(-x)的奇偶性.
类型三 对数不等式
例4 已知函数f(x)=loga(1-ax)(a>0,且a≠1),解关于x的不等式:
loga(1-ax)>f
(1).
反思与感悟 对数不等式解法要点:
(1)化为同底logaf(x)>logag(x).
(2)根据a>1或0<a<1去掉对数符号,注意不等号方向.
(3)加上使对数式有意义的约束条件f(x)>0且g(x)>0.
跟踪训练4 已知A={x|log2x<
2},B={x|<
3x<
},则A∩B等于( )
A.B.(0,)
C.D.(-1,)
1.如图所示,曲线是对数函数f(x)=logax的图像,已知a取,,,,则对应于C1,C2,C3,C4的a值依次为( )
A.,,,B.,,,
C.,,,D.,,,
2.如果那么( )
A.y<
x<
1B.x<
y<
1
C.1<
yD.1<
x
3.若函数y=f(x)是函数y=ax(a>
0,且a≠1)的反函数,且f
(2)=1,则f(x)等于( )
A.log2xB.
C.D.2x-2
4.已知函数f(x)=ln(a≠2)为奇函数,则实数a=________.
5.函数f(x)=lnx2的减区间为____________.
1.与对数函数有关的复合函数的单调区间、奇偶性、不等式问题都要注意定义域的影响.
2.y=ax与x=logay的图像是相同的,只是为了适应习惯用x表示自变量,y表示因变量,把x=logay换成y=logax,y=logax才与y=ax关于y=x对称,因为(a,b)与(b,a)关于y=x对称.
答案精析
问题导学
知识点一
思考 y=log2f(x)与y=f(x)的单调区间不一定相同,因为y=log2f(x)的定义域与y=f(x)的定义域不一定相同.
知识点二
思考 不等价.log2x<log23成立的前提是log2x有意义,即x>0,
∴log2x<log23⇔0<x<3.
知识点三
思考 可以通过描点定位,也可令y=1,对应x值即底数.
知识点四
思考 如图,y=log2x是从B=(0,+∞)到A=R的一个映射,相当于A中元素通过f:
x→2x对应B中的元素2x,y=log2x的作用是B中元素2x原路返回对应A中元素x.
题型探究
例1 解 设t=-x2+2x+1,则t=-(x-1)2+2.
∵y=logt为减函数,且0<
t≤2,
y=log2=-1,即函数的值域为[-1,+∞).
又函数log(-x2+2x+1)的定义域为-x2+2x+1>
0,由二次函数的图像知1-<
1+.
∴t=-x2+2x+1在(1-,1)上递增,而在(1,1+)上递减,而y=logt为减函数.
∴函数y=log(-x2+2x+1)的增区间为(1,1+),减区间为(1-,1).
跟踪训练1 解
(1)由题意得-x2+2x>
0,∴x2-2x<
0,
由二次函数的图像知0<
2.
当0<
2时,y=-x2+2x=-(x2-2x)∈(0,1],
∴log(-x2+2x)≥log1=0.
∴函数y=log(-x2+2x)的值域为[0,+∞).
(2)设u=-x2+2x(0<
2),v=logu,
∵函数u=-x2+2x在(0,1)上是增函数,在(1,2)上是减函数,v=logu是减函数,
∴由复合函数的单调性得到函数f(x)=log(-x2+2x)在(0,1)上是减函数,在(1,2)上是增函数.
例2 解 令g(x)=x2-ax+a,g(x)在上是减函数,∵0<
<
1,∴y=logg(x)是减函数,而已知复合函数y=log(x2-ax+a)在区间(-∞,)上是增函数,
∴只要g(x)在(-∞,)上单调递减,且g(x)>
0在x∈(-∞,)恒成立,
即
∴2≤a≤2(+1),
故所求a的取值范围是[2,2(+1)].
跟踪训练2 B [函数由y=logau,u=6-ax复合而成,因为a>
0,所以u=6-ax是减函数,那么函数y=logau就是增函数,所以a>
1,因为[0,2]为定义域的子集,所以当x=2时,u=6-ax取得最小值,所以6-2a>
0,解得a<
3,所以1<
3.故选B.]
例3 解 由>
0可得-2<
2,
所以函数的定义域为(-2,2),关于原点对称.
方法一 f(-x)=ln=ln()-1=-ln=-f(x),
即f(-x)=-f(x),
所以函数f(x)=ln是奇函数.
方法二 f(x)+f(-x)
=ln+ln=ln(·
)
=ln1=0,
解 由>
0得-b<
a.
∵f(x)为奇函数,
∴-(-b)=a,即a=b.
当a=b时,f(x)=ln,
f(-x)+f(x)=ln+ln
=ln
∴f(-x)=-f(x),
∴此时f(x)为奇函数.
故f(x)为奇函数时,a=b.
跟踪训练3 解 方法一 由-x>
0可得x∈R,
所以函数的定义域为R且关于原点对称,
又f(-x)=lg(+x)
=lg
=-lg(-x)=-f(x),
即f(-x)=-f(x).
所以函数f(x)=lg(-x)是奇函数.
方法二 由-x>
f(x)+f(-x)
=lg(-x)+lg(+x)
=lg[(-x)(+x)]
=lg(1+x2-x2)=0,
所以f(-x)=-f(x),
例4 解 ∵f(x)=loga(1-ax),
∴f
(1)=loga(1-a).
∴1-a>0,∴0<a<1.
∴不等式可化为loga(1-ax)>loga(1-a).
∴即∴0<x<1.
∴不等式的解集为(0,1).
跟踪训练4 A [log2x<
即log2x<
log24,等价于
∴A=(0,4).
,即3-1<
,
∴-1<
,B=,
∴A∩B=.]
当堂训练
1.A 2.D 3.A
4.-2 5.(-∞,0)