学年高中数学第三章指数函数和对数函数53对数函数的图像和性质学案北师大版必修1含答案文档格式.docx
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梳理 一般地，对于底数a>
1的对数函数，在（1，＋∞）区间内，底数越大越靠近x轴；
对于底数0<
a<
1的对数函数，在（1，＋∞）区间内，底数越小越靠近x轴．
知识点四 反函数的概念
思考 如果把y＝2x视为A＝R→B＝（0，＋∞）的一个映射，那么y＝log2x是从哪个集合到哪个集合的映射？
梳理 一般地，像y＝ax与y＝logax（a＞0，且a≠1）这样的两个函数互为反函数．
（1）y＝ax的定义域R，就是y＝logax的值域，而y＝ax的值域（0，＋∞）就是y＝logax的定义域．
（2）互为反函数的两个函数y＝ax（a＞0，且a≠1）与y＝logax（a＞0，且a≠1）的图像关于直线y＝x对称．
（3）互为反函数的两个函数的单调性相同，但单调区间不一定相同．
类型一 对数型复合函数的单调性
例1 求函数y＝log（－x2＋2x＋1）的值域和单调区间．
反思与感悟 求复合函数的单调性要抓住两个要点：
（1）单调区间必须是定义域的子集，哪怕一个端点都不能超出定义域．
（2）f（x），g（x）单调性相同，则f（g（x））为增函数；
f（x），g（x）单调性相异，则f（g（x））为减函数，简称“同增异减”．
跟踪训练1 已知函数f（x）＝log（－x2＋2x）．
（1）求函数f（x）的值域；
（2）求f（x）的单调性．
例2 已知函数y＝log（x2－ax＋a）在区间（－∞，）上是增函数，求实数a的取值范围．
反思与感悟 若a>
1，则y＝logaf（x）的单调性与y＝f（x）的单调性相同，若0<
1，则y＝logaf（x）的单调性与y＝f（x）的单调性相反．另外应注意单调区间必须包含于原函数的定义域．
跟踪训练2 若函数f（x）＝loga（6－ax）在[0,2]上为减函数，则a的取值范围是（ ）
A．（0,1）B．（1,3）
C．（1,3]D．[3，＋∞）
类型二 对数型复合函数的奇偶性
例3 判断函数f（x）＝ln的奇偶性．
引申探究
若已知f（x）＝ln为奇函数，则正数a，b应满足什么条件？
反思与感悟
（1）指数函数、对数函数都是非奇非偶函数，但并不妨碍它们与其他函数复合成奇函数（或偶函数）．
（2）含对数式的奇偶性判断，一般用f（x）±
f（－x）＝0来判断，运算相对简单．
跟踪训练3 判断函数f（x）＝lg（－x）的奇偶性．
类型三 对数不等式
例4 已知函数f（x）＝loga（1－ax）（a＞0，且a≠1），解关于x的不等式：
loga（1－ax）＞f
（1）．
反思与感悟 对数不等式解法要点：
（1）化为同底logaf（x）＞logag（x）．
（2）根据a＞1或0＜a＜1去掉对数符号，注意不等号方向．
（3）加上使对数式有意义的约束条件f（x）＞0且g（x）＞0.
跟踪训练4 已知A＝{x|log2x<
2}，B＝{x|<
3x<
}，则A∩B等于（ ）
A.B．（0，）
C.D．（－1，）
1．如图所示，曲线是对数函数f（x）＝logax的图像，已知a取，，，，则对应于C1，C2，C3，C4的a值依次为（ ）
A.，，，B.，，，
C.，，，D.，，，
2．如果那么（ ）
A．y<
x<
1B．x<
y<
1
C．1<
yD．1<
x
3．若函数y＝f（x）是函数y＝ax（a>
0，且a≠1）的反函数，且f
（2）＝1，则f（x）等于（ ）
A．log2xB.
C．D．2x－2
4．已知函数f（x）＝ln（a≠2）为奇函数，则实数a＝________.
5．函数f（x）＝lnx2的减区间为____________．
1．与对数函数有关的复合函数的单调区间、奇偶性、不等式问题都要注意定义域的影响．
2．y＝ax与x＝logay的图像是相同的，只是为了适应习惯用x表示自变量，y表示因变量，把x＝logay换成y＝logax，y＝logax才与y＝ax关于y＝x对称，因为（a，b）与（b，a）关于y＝x对称．
答案精析
问题导学
知识点一
思考 y＝log2f（x）与y＝f（x）的单调区间不一定相同，因为y＝log2f（x）的定义域与y＝f（x）的定义域不一定相同．
知识点二
思考 不等价．log2x＜log23成立的前提是log2x有意义，即x＞0，
∴log2x＜log23⇔0＜x＜3.
知识点三
思考 可以通过描点定位，也可令y＝1，对应x值即底数．
知识点四
思考 如图，y＝log2x是从B＝（0，＋∞）到A＝R的一个映射，相当于A中元素通过f：
x→2x对应B中的元素2x，y＝log2x的作用是B中元素2x原路返回对应A中元素x.
题型探究
例1 解 设t＝－x2＋2x＋1，则t＝－（x－1）2＋2.
∵y＝logt为减函数，且0<
t≤2，
y＝log2＝－1，即函数的值域为[－1，＋∞）．
又函数log（－x2＋2x＋1）的定义域为－x2＋2x＋1>
0，由二次函数的图像知1－<
1＋.
∴t＝－x2＋2x＋1在（1－，1）上递增，而在（1,1＋）上递减，而y＝logt为减函数．
∴函数y＝log（－x2＋2x＋1）的增区间为（1,1＋），减区间为（1－，1）．
跟踪训练1 解
（1）由题意得－x2＋2x>
0，∴x2－2x<
0，
由二次函数的图像知0<
2.
当0<
2时，y＝－x2＋2x＝－（x2－2x）∈（0,1]，
∴log（－x2＋2x）≥log1＝0.
∴函数y＝log（－x2＋2x）的值域为[0，＋∞）．
（2）设u＝－x2＋2x（0<
2），v＝logu，
∵函数u＝－x2＋2x在（0,1）上是增函数，在（1,2）上是减函数，v＝logu是减函数，
∴由复合函数的单调性得到函数f（x）＝log（－x2＋2x）在（0,1）上是减函数，在（1,2）上是增函数．
例2 解 令g（x）＝x2－ax＋a，g（x）在上是减函数，∵0<
<
1，∴y＝logg（x）是减函数，而已知复合函数y＝log（x2－ax＋a）在区间（－∞，）上是增函数，
∴只要g（x）在（－∞，）上单调递减，且g（x）>
0在x∈（－∞，）恒成立，
即
∴2≤a≤2（＋1），
故所求a的取值范围是[2，2（＋1）]．
跟踪训练2 B [函数由y＝logau，u＝6－ax复合而成，因为a>
0，所以u＝6－ax是减函数，那么函数y＝logau就是增函数，所以a>
1，因为[0,2]为定义域的子集，所以当x＝2时，u＝6－ax取得最小值，所以6－2a>
0，解得a<
3，所以1<
3.故选B.]
例3 解 由>
0可得－2<
2，
所以函数的定义域为（－2,2），关于原点对称．
方法一 f（－x）＝ln＝ln（）－1＝－ln＝－f（x），
即f（－x）＝－f（x），
所以函数f（x）＝ln是奇函数．
方法二 f（x）＋f（－x）
＝ln＋ln＝ln（·
）
＝ln1＝0，
解 由>
0得－b<
a.
∵f（x）为奇函数，
∴－（－b）＝a，即a＝b.
当a＝b时，f（x）＝ln，
f（－x）＋f（x）＝ln＋ln
＝ln
∴f（－x）＝－f（x），
∴此时f（x）为奇函数．
故f（x）为奇函数时，a＝b.
跟踪训练3 解 方法一 由－x>
0可得x∈R，
所以函数的定义域为R且关于原点对称，
又f（－x）＝lg（＋x）
＝lg
＝－lg（－x）＝－f（x），
即f（－x）＝－f（x）．
所以函数f（x）＝lg（－x）是奇函数．
方法二 由－x>
f（x）＋f（－x）
＝lg（－x）＋lg（＋x）
＝lg[（－x）（＋x）]
＝lg（1＋x2－x2）＝0，
所以f（－x）＝－f（x），
例4 解 ∵f（x）＝loga（1－ax），
∴f
（1）＝loga（1－a）．
∴1－a＞0，∴0＜a＜1.
∴不等式可化为loga（1－ax）＞loga（1－a）．
∴即∴0＜x＜1.
∴不等式的解集为（0,1）．
跟踪训练4 A [log2x<
即log2x<
log24，等价于
∴A＝（0,4）．
，即3－1<
，
∴－1<
，B＝，
∴A∩B＝.]
当堂训练
1．A 2.D 3.A
4．－2 5.（－∞，0）
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