高三数学一轮二轮复习配套讲义第8篇 第8讲 曲线与方程Word文档格式.docx
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辨析感悟
1.曲线与方程的概念
(1)f(x0,y0)=0是点P(x0,y0)在曲线f(x,y)=0上的充要条件.(√)
(2)条件甲:
“曲线C上的点的坐标都是方程f(x,y)=0的解”,条件乙:
“曲线C是方程f(x,y)=0的图形”,则条件甲是条件乙的充要条件.(×
)
(3)(教材习题改编)方程y=与x=y2表示同一曲线.(×
(4)方程x2+xy=x的曲线是一个点和一条直线.(×
2.求曲线的轨迹方程
(5)到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是x2=y2.(×
(6)两条动直线y=x+b,y=2x-b(b∈R)交点的轨迹方程是3x-2y=0.(√)
(7)已知点F,直线l:
x=-,点B是l上的动点.若过点B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M,则点M的轨迹是抛物线.(√)
(8)(·
济南质检)过椭圆+=1(a>
b>
0)上任意一点M作x轴的垂线,垂足为N,则线段MN中点的轨迹方程是+=1.(√)
[感悟·
提升]
1.曲线与曲线的方程是两个不同概念,曲线的方程需满足两个条件:
一是曲线上点的坐标都是该方程的解;
二是以该方程的解为坐标的点都是曲线上的点.如
(2)错误理解了曲线方程的含义.
2.求轨迹方程,要注意曲线上的点与方程的解是一一对应关系,检验应从两个方面进行:
一是方程的化简是否是同解变形;
二是是否符合实际意义,注意轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响.
考点一 直接法求轨迹方程
【例1】如图所示,A(m,m)和B(n,-n)两点分别在射线OS,OT上移动,且·
=-,O为坐标原点,动点P满足=+.
(1)求mn的值;
(2)求动点P的轨迹方程,并说明它表示什么曲线?
解
(1)由·
=(m,m)·
(n,-n)=-2mn.
得-2mn=-,∴mn=.
(2)设P(x,y)(x>
0),由=+,
得(x,y)=(m,m)+(n,-n)=(m+n,m-n).
∴整理得x2-=4mn,
又mn=,∴P点的轨迹方程为x2-=1(x>
0).
它表示以原点为中心,焦点在x轴上,实轴长为2,焦距为4的双曲线x2-=1的右支.
规律方法
(1)一是解本题第
(2)时,根据
利用第
(1)问的结论消去m,n得到轨迹方程是解题的关键;
二是求点的轨迹时,要明确题设的隐含条件,如本例中动点P的轨迹只是双曲线的右支.
(2)如果动点满足的几何条件就是一些与定点、定直线有关的几何量的等量关系,而该等量关系又易于表达成含x,y的等式,可利用直接法求轨迹方程.
【训练1】(·
陕西卷选编)已知动圆过定点A(4,0),且在y轴上截得弦MN的长为8.试求动圆圆心的轨迹C的方程.
解 如图,设动圆圆心为O1(x,y),由题意,|O1A|=|O1M|,
当O1不在y轴上时,过O1作O1H⊥MN交MN于H,则H是MN的中点.
∴|O1M|=,
又|O1A|=,
∴=,
化简得y2=8x(x≠0).
当O1在y轴上时,O1与O重合,点O1的坐标(0,0)
也满足方程y2=8x,
∴动圆圆心的轨迹C的方程为y2=8x.
考点二 定义法(待定系数法)求轨迹方程
【例2】一动圆与圆x2+y2+6x+5=0外切,同时与圆x2+y2-6x-91=0内切,
求动圆圆心M的轨迹方程,并说明它是什么曲线.
解 如图所示,设动圆圆心为M(x,y),半径为R,设已知圆的圆心分别为O1,O2,将圆的方程分别配方得(x+3)2+y2=4,(x-3)2+y2=100,
当动圆与圆O1相外切时,
有|O1M|=R+2.①
当动圆与圆O2相内切时,有|O2M|=10-R.②
将①②两式相加,得|O1M|+|O2M|=12>
|O1O2|,
∴动圆圆心M(x,y)到点O1(-3,0)和O2(3,0)的距离和是常数12,
所以点M的轨迹是焦点为O1(-3,0),O2(3,0),
长轴长等于12的椭圆.
∴2c=6,2a=12,∴c=3,a=6,∴b2=36-9=27,
∴圆心轨迹方程为+=1,轨迹为椭圆.
规律方法求轨迹方程时,若动点与定点、定线间的等量关系满足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义,则可以直接根据定义先定轨迹类型,再写出其方程,这种求轨迹方程的方法叫做定义法,其关键是准确应用解析几何中有关曲线的定义.
【训练2】如图所示,已知C为圆(x+)2+y2=4的圆心,点A(,0),P是圆上的动点,
点Q在直线CP上,且·
=0,=2.当点P在圆上运动时,求点Q的轨迹方程.
解 圆(x+)2+y2=4的圆心为C(-,0),半径r=2,
∵·
=0,=2,
∴MQ⊥AP,点M是线段AP的中点,即MQ是AP的中垂线,连接AQ,则|AQ|=|QP|,
∴||QC|-|QA||=||QC|-|QP||=|CP|=r=2,
又|AC|=2>
2,根据双曲线的定义,点Q的轨迹是以C(-,0),A(,0)为焦点,实轴长为2的双曲线,由c=,a=1,得b2=1,因此点Q的轨迹方程为x2-y2=1.
考点三 代入法(相关点法)求轨迹方程
【例3】(·
辽宁卷)如图,动圆C1:
x2+y2=t2,1<
t<
3,与椭圆C2:
+y2=1
相交于A,B,C,D四点,点A1,A2分别为C2的左,右顶点.
(1)当t为何值时,矩形ABCD的面积取得最大值?
并求出其最大面积.
(2)求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程.
审题路线
(1)设出点A的坐标⇒利用对称性表示S矩形ABCD,并确定矩形ABCD面积取得最大值的条件⇒进而求出t值.
(2)点M受点A的变化制约⇒根据点A满足的方程求出点M的轨迹方程.
解
(1)设A(x0,y0),则S矩形ABCD=4|x0y0|,
由+y=1得y=1-,
从而xy=x=-2+.
当x=,y=时,Smax=6.
从而t2=x+y=5,t=,
∴当t=时,矩形ABCD的面积取到最大值6.
(2)由椭圆C2:
+y2=1,知A1(-3,0),A2(3,0),
又曲线的对称性及A(x0,y0),得B(x0,-y0),
设点M的坐标为(x,y),
直线AA1的方程为y=(x+3).①
直线A2B的方程为y=(x-3).②
由①②得y2=(x2-9).③
又点A(x0,y0)在椭圆C上,故y=1-.④
将④代入③得-y2=1(x<
-3,y<
因此点M的轨迹方程为-y2=1(x<
规律方法
(1)一是本题的轨迹方程中,要求x<
0,所以求解时要结合几何性质和几何图形直观细心发掘.二是求解中充分运用椭圆与圆的对称性,以及方程④的整体代入,避免繁琐运算,优化解题过程.
(2)相关点法求轨迹方程:
形成轨迹的动点P(x,y)随另一动点Q(x′,y′)的运动而有规律地运动,而且动点Q的轨迹方程为给定的或容易求得的,则可先将x′,y′表示成关于x,y的式子,再代入Q的轨迹方程,求出动点P的轨迹方程.
【训练3】如图,设P是圆x2+y2=25上的动点,点D是P在x轴上的投影,M为PD上一点,且|MD|=|PD|.
(1)当P在圆上运动时,求点M的轨迹C的方程;
(2)求过点(3,0)且斜率为的直线l被C所截线段的长度.
解
(1)设M的坐标为(x,y),P的坐标为(xP,yP),
因为点D是P在x轴上投影M为PD上一点,且|MD|=|PD|,所以xP=x,且yP=y,
∵P在圆x2+y2=25上,
∴x2+2=25,整理得+=1,
即C的方程是+=1.
(2)过点(3,0)且斜率为的直线l的方程是y=(x-3),
设此直线与C的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),将直线方程y=(x-3)代入C的方程+=1得:
+=1,化简得x2-3x-8=0,
∴x1=,x2=,
所以线段AB的长度是|AB|===,即所截线段的长度是.
1.通过坐标法,由已知条件求轨迹方程,通过对方程的研究,明确曲线的位置、形状以及性质是解析几何的核心问题.
2.求轨迹方程的常用方法
(1)直接法:
直接利用条件建立x,y之间的关系F(x,y)=0.
(2)待定系数法:
已知所求曲线的类型,求曲线方程.
(3)定义法:
先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线,再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程.
(4)代入(相关点)法:
动点P(x,y)依赖于另一动点Q(x0,y0)的变化而运动,常利用代入法求动点P(x,y)的轨迹方程.
教你审题10——设而不求、整体代换
【典例】(·
山东卷)椭圆C:
+=1(a>
0)的左、右焦点分别是F1,F2,离心率为,过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1.
(1)求椭圆C的方程;
(2)点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点,❶连接PF1,PF2,设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M(m,0),求m的取值范围;
(3)在
(2)的条件下,过点P作斜率为k的直线l,使得l与椭圆C有且只有一个公共点.❷设直线PF1,PF2的斜率分别为k1,k2,若k≠0,试证明+为定值,❸并求出这个定值.
[审题] 一审条件❶:
可设P点坐标为(x0,y0),写出直线l的方程
二审条件❷:
联立方程组消去y得关于x的一元二次方程,则Δ=0
三审结论❸:
变为,把k与+均用x0,y0表示后可消去.
解
(1)椭圆C的方程为+y2=1(过程略).
(2)m的取值范围是(过程略).
(3)设P(x0,y0)(y0≠0),则直线l的方程为y-y0=k(x-x0).
联立整理得
(1+4k2)x2+8(ky0-k2x0)x+4(y-2kx0y0+k2x-1)=0.
由题意,得Δ=0,即(4-x)k2+2x0y0k+1-y=0.
又+y=1,所以16yk2+8x0y0k+x=0,
即(4y0k+x0)2=0.故k=-.
由椭圆C可得F1(-,0),F2(,0),又P(x0,y0),所以+=+=,
所以+==·
=-8.
因此+为定值,这个定值为-8.
[反思感悟]对题目涉及的变量巧妙的引进参数(如设动点坐标、动直线方程等),利用题目的条件和圆锥曲线方程组成二元二次方程组,再化为一元二次方程,从而利用根与系数的关系进行整体代换,达到“设而不求,减少计算”的效果,直接得定值.
【自主体验】
(·
新课标全国Ⅰ卷)已知椭圆E:
0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交E于A,B两点.若AB的中点坐标为(1,-1),则E的方程为( ).
A.+=1B.+=1
C.+=1D.