高三数学一轮二轮复习配套讲义第8篇 第8讲 曲线与方程Word文档格式.docx

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辨析感悟

1．曲线与方程的概念

（1）f（x0，y0）＝0是点P（x0，y0）在曲线f（x，y）＝0上的充要条件．（√）

（2）条件甲：

“曲线C上的点的坐标都是方程f（x，y）＝0的解”，条件乙：

“曲线C是方程f（x，y）＝0的图形”，则条件甲是条件乙的充要条件．（×

）

（3）（教材习题改编）方程y＝与x＝y2表示同一曲线．（×

（4）方程x2＋xy＝x的曲线是一个点和一条直线．（×

2．求曲线的轨迹方程

（5）到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是x2＝y2.（×

（6）两条动直线y＝x＋b，y＝2x－b（b∈R）交点的轨迹方程是3x－2y＝0.（√）

（7）已知点F，直线l：

x＝－，点B是l上的动点．若过点B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹是抛物线．（√）

（8）（·

济南质检）过椭圆＋＝1（a>

b>

0）上任意一点M作x轴的垂线，垂足为N，则线段MN中点的轨迹方程是＋＝1.（√）

[感悟·

提升]

1．曲线与曲线的方程是两个不同概念，曲线的方程需满足两个条件：

一是曲线上点的坐标都是该方程的解；

二是以该方程的解为坐标的点都是曲线上的点．如

（2）错误理解了曲线方程的含义．

2．求轨迹方程，要注意曲线上的点与方程的解是一一对应关系，检验应从两个方面进行：

一是方程的化简是否是同解变形；

二是是否符合实际意义，注意轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响.

考点一　直接法求轨迹方程

【例1】如图所示，A（m，m）和B（n，－n）两点分别在射线OS，OT上移动，且·

＝－，O为坐标原点，动点P满足＝＋.

（1）求mn的值；

（2）求动点P的轨迹方程，并说明它表示什么曲线？

解　

（1）由·

＝（m，m）·

（n，－n）＝－2mn.

得－2mn＝－，∴mn＝.

（2）设P（x，y）（x>

0），由＝＋，

得（x，y）＝（m，m）＋（n，－n）＝（m＋n，m－n）．

∴整理得x2－＝4mn，

又mn＝，∴P点的轨迹方程为x2－＝1（x>

0）．

它表示以原点为中心，焦点在x轴上，实轴长为2，焦距为4的双曲线x2－＝1的右支．

规律方法

（1）一是解本题第

（2）时，根据

利用第

（1）问的结论消去m，n得到轨迹方程是解题的关键；

二是求点的轨迹时，要明确题设的隐含条件，如本例中动点P的轨迹只是双曲线的右支．

（2）如果动点满足的几何条件就是一些与定点、定直线有关的几何量的等量关系，而该等量关系又易于表达成含x，y的等式，可利用直接法求轨迹方程．

【训练1】（·

陕西卷选编）已知动圆过定点A（4,0），且在y轴上截得弦MN的长为8.试求动圆圆心的轨迹C的方程．

解　如图，设动圆圆心为O1（x，y），由题意，|O1A|＝|O1M|，

当O1不在y轴上时，过O1作O1H⊥MN交MN于H，则H是MN的中点．

∴|O1M|＝，

又|O1A|＝，

∴＝，

化简得y2＝8x（x≠0）．

当O1在y轴上时，O1与O重合，点O1的坐标（0,0）

也满足方程y2＝8x，

∴动圆圆心的轨迹C的方程为y2＝8x.

考点二　定义法（待定系数法）求轨迹方程

【例2】一动圆与圆x2＋y2＋6x＋5＝0外切，同时与圆x2＋y2－6x－91＝0内切，

求动圆圆心M的轨迹方程，并说明它是什么曲线．

解　如图所示，设动圆圆心为M（x，y），半径为R，设已知圆的圆心分别为O1，O2，将圆的方程分别配方得（x＋3）2＋y2＝4，（x－3）2＋y2＝100，

当动圆与圆O1相外切时，

有|O1M|＝R＋2.①

当动圆与圆O2相内切时，有|O2M|＝10－R.②

将①②两式相加，得|O1M|＋|O2M|＝12>

|O1O2|，

∴动圆圆心M（x，y）到点O1（－3,0）和O2（3,0）的距离和是常数12，

所以点M的轨迹是焦点为O1（－3,0），O2（3,0），

长轴长等于12的椭圆．

∴2c＝6,2a＝12，∴c＝3，a＝6，∴b2＝36－9＝27，

∴圆心轨迹方程为＋＝1，轨迹为椭圆．

规律方法求轨迹方程时，若动点与定点、定线间的等量关系满足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，则可以直接根据定义先定轨迹类型，再写出其方程，这种求轨迹方程的方法叫做定义法，其关键是准确应用解析几何中有关曲线的定义．

【训练2】如图所示，已知C为圆（x＋）2＋y2＝4的圆心，点A（，0），P是圆上的动点，

点Q在直线CP上，且·

＝0，＝2.当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹方程．

解　圆（x＋）2＋y2＝4的圆心为C（－，0），半径r＝2，

∵·

＝0，＝2，

∴MQ⊥AP，点M是线段AP的中点，即MQ是AP的中垂线，连接AQ，则|AQ|＝|QP|，

∴||QC|－|QA||＝||QC|－|QP||＝|CP|＝r＝2，

又|AC|＝2>

2，根据双曲线的定义，点Q的轨迹是以C（－，0），A（，0）为焦点，实轴长为2的双曲线，由c＝，a＝1，得b2＝1，因此点Q的轨迹方程为x2－y2＝1.

考点三　代入法（相关点法）求轨迹方程

【例3】（·

辽宁卷）如图，动圆C1：

x2＋y2＝t2,1<

t<

3，与椭圆C2：

＋y2＝1

相交于A，B，C，D四点，点A1，A2分别为C2的左，右顶点．

（1）当t为何值时，矩形ABCD的面积取得最大值？

并求出其最大面积．

（2）求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程．

审题路线　

（1）设出点A的坐标⇒利用对称性表示S矩形ABCD，并确定矩形ABCD面积取得最大值的条件⇒进而求出t值．

（2）点M受点A的变化制约⇒根据点A满足的方程求出点M的轨迹方程．

解　

（1）设A（x0，y0），则S矩形ABCD＝4|x0y0|，

由＋y＝1得y＝1－，

从而xy＝x＝－2＋.

当x＝，y＝时，Smax＝6.

从而t2＝x＋y＝5，t＝，

∴当t＝时，矩形ABCD的面积取到最大值6.

（2）由椭圆C2：

＋y2＝1，知A1（－3,0），A2（3,0），

又曲线的对称性及A（x0，y0），得B（x0，－y0），

设点M的坐标为（x，y），

直线AA1的方程为y＝（x＋3）．①

直线A2B的方程为y＝（x－3）．②

由①②得y2＝（x2－9）．③

又点A（x0，y0）在椭圆C上，故y＝1－.④

将④代入③得－y2＝1（x<

－3，y<

因此点M的轨迹方程为－y2＝1（x<

规律方法

（1）一是本题的轨迹方程中，要求x<

0，所以求解时要结合几何性质和几何图形直观细心发掘．二是求解中充分运用椭圆与圆的对称性，以及方程④的整体代入，避免繁琐运算，优化解题过程．

（2）相关点法求轨迹方程：

形成轨迹的动点P（x，y）随另一动点Q（x′，y′）的运动而有规律地运动，而且动点Q的轨迹方程为给定的或容易求得的，则可先将x′，y′表示成关于x，y的式子，再代入Q的轨迹方程，求出动点P的轨迹方程．

【训练3】如图，设P是圆x2＋y2＝25上的动点，点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，且|MD|＝|PD|.

（1）当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程；

（2）求过点（3,0）且斜率为的直线l被C所截线段的长度．

解　

（1）设M的坐标为（x，y），P的坐标为（xP，yP），

因为点D是P在x轴上投影M为PD上一点，且|MD|＝|PD|，所以xP＝x，且yP＝y，

∵P在圆x2＋y2＝25上，

∴x2＋2＝25，整理得＋＝1，

即C的方程是＋＝1.

（2）过点（3,0）且斜率为的直线l的方程是y＝（x－3），

设此直线与C的交点为A（x1，y1），B（x2，y2），将直线方程y＝（x－3）代入C的方程＋＝1得：

＋＝1，化简得x2－3x－8＝0，

∴x1＝，x2＝，

所以线段AB的长度是|AB|＝＝＝，即所截线段的长度是.

1．通过坐标法，由已知条件求轨迹方程，通过对方程的研究，明确曲线的位置、形状以及性质是解析几何的核心问题．

2．求轨迹方程的常用方法

（1）直接法：

直接利用条件建立x，y之间的关系F（x，y）＝0.

（2）待定系数法：

已知所求曲线的类型，求曲线方程．

（3）定义法：

先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程．

（4）代入（相关点）法：

动点P（x，y）依赖于另一动点Q（x0，y0）的变化而运动，常利用代入法求动点P（x，y）的轨迹方程．　　　　　　　　　　　　　　　　　　

教你审题10——设而不求、整体代换

【典例】（·

山东卷）椭圆C：

＋＝1（a>

0）的左、右焦点分别是F1，F2，离心率为，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1.

（1）求椭圆C的方程；

（2）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，❶连接PF1，PF2，设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M（m,0），求m的取值范围；

（3）在

（2）的条件下，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点．❷设直线PF1，PF2的斜率分别为k1，k2，若k≠0，试证明＋为定值，❸并求出这个定值．

[审题]　一审条件❶：

可设P点坐标为（x0，y0），写出直线l的方程

二审条件❷：

联立方程组消去y得关于x的一元二次方程，则Δ＝0

三审结论❸：

变为，把k与＋均用x0，y0表示后可消去．

解　

（1）椭圆C的方程为＋y2＝1（过程略）．

（2）m的取值范围是（过程略）．

（3）设P（x0，y0）（y0≠0），则直线l的方程为y－y0＝k（x－x0）．

联立整理得

（1＋4k2）x2＋8（ky0－k2x0）x＋4（y－2kx0y0＋k2x－1）＝0.

由题意，得Δ＝0，即（4－x）k2＋2x0y0k＋1－y＝0.

又＋y＝1，所以16yk2＋8x0y0k＋x＝0，

即（4y0k＋x0）2＝0.故k＝－.

由椭圆C可得F1（－，0），F2（，0），又P（x0，y0），所以＋＝＋＝，

所以＋＝＝·

＝－8.

因此＋为定值，这个定值为－8.

[反思感悟]对题目涉及的变量巧妙的引进参数（如设动点坐标、动直线方程等），利用题目的条件和圆锥曲线方程组成二元二次方程组，再化为一元二次方程，从而利用根与系数的关系进行整体代换，达到“设而不求，减少计算”的效果，直接得定值．

【自主体验】

（·

新课标全国Ⅰ卷）已知椭圆E：

0）的右焦点为F（3,0），过点F的直线交E于A，B两点．若AB的中点坐标为（1，－1），则E的方程为（　　）．

A.＋＝1B.＋＝1

C.＋＝1D.