高三数学一轮二轮复习配套讲义第8篇 第8讲 曲线与方程Word文档格式.docx

1、辨 析 感 悟1曲线与方程的概念（1）f（x0，y0）0是点P（x0，y0）在曲线f（x，y）0上的充要条件（）（2）条件甲：“曲线C上的点的坐标都是方程f（x，y）0的解”，条件乙：“曲线C是方程f（x，y）0的图形”，则条件甲是条件乙的充要条件 （）（3）（教材习题改编）方程y与xy2表示同一曲线 （4）方程x2xyx的曲线是一个点和一条直线 （2求曲线的轨迹方程（5）到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是x2y2. （6）两条动直线yxb，y2xb（bR）交点的轨迹方程是3x2y0. （）（7）已知点F，直线l：x，点B是l上的动点若过点B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于

2、点M，则点M的轨迹是抛物线 （）（8）（济南质检）过椭圆1（ab0）上任意一点M作x轴的垂线，垂足为N，则线段MN中点的轨迹方程是1. （）感悟提升1曲线与曲线的方程是两个不同概念，曲线的方程需满足两个条件：一是曲线上点的坐标都是该方程的解；二是以该方程的解为坐标的点都是曲线上的点如（2）错误理解了曲线方程的含义2求轨迹方程，要注意曲线上的点与方程的解是一一对应关系，检验应从两个方面进行：一是方程的化简是否是同解变形；二是是否符合实际意义，注意轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响.考点一直接法求轨迹方程【例1】 如图所示，A（m， m）和B（n， n）两点分别在射线OS，OT上移动，且

3、，O为坐标原点，动点P满足.（1）求mn的值；（2）求动点P的轨迹方程，并说明它表示什么曲线？解（1）由（m， m）（n， n）2mn.得2mn，mn.（2）设P（x，y）（x0），由，得（x，y）（m， m）（n， n）（mn， mn）整理得x24mn，又mn，P点的轨迹方程为x21（x0）它表示以原点为中心，焦点在x轴上，实轴长为2，焦距为4的双曲线x21的右支规律方法 （1）一是解本题第（2）时，根据利用第（1）问的结论消去m，n得到轨迹方程是解题的关键；二是求点的轨迹时，要明确题设的隐含条件，如本例中动点P的轨迹只是双曲线的右支（2）如果动点满足的几何条件就是一些与定点、定直线有关的几

4、何量的等量关系，而该等量关系又易于表达成含x，y的等式，可利用直接法求轨迹方程【训练1】 （陕西卷选编）已知动圆过定点A（4,0），且在y轴上截得弦MN的长为8.试求动圆圆心的轨迹C的方程解如图，设动圆圆心为O1（x，y），由题意，|O1A|O1M|，当O1不在y轴上时，过O1作O1HMN交MN于H，则H是MN的中点|O1M|，又|O1A|，化简得y28x（x0）当O1在y轴上时，O1与O重合，点O1的坐标（0,0）也满足方程y28x，动圆圆心的轨迹C的方程为y28x.考点二定义法（待定系数法）求轨迹方程【例2】 一动圆与圆x2y26x50外切，同时与圆x2y26x910内切，求动圆圆心M的轨

5、迹方程，并说明它是什么曲线解如图所示，设动圆圆心为M（x，y），半径为R，设已知圆的圆心分别为O1，O2，将圆的方程分别配方得（x3）2y24，（x3）2y2100，当动圆与圆O1相外切时，有|O1M|R2.当动圆与圆O2相内切时，有|O2M|10R.将两式相加，得|O1M|O2M|12|O1O2|，动圆圆心M（x，y）到点O1（3,0）和O2（3,0）的距离和是常数12，所以点M的轨迹是焦点为O1（3,0），O2（3,0），长轴长等于12的椭圆2c6,2a12，c3，a6，b236927，圆心轨迹方程为1，轨迹为椭圆规律方法 求轨迹方程时，若动点与定点、定线间的等量关系满足圆、椭圆、双曲线、

6、抛物线的定义，则可以直接根据定义先定轨迹类型，再写出其方程，这种求轨迹方程的方法叫做定义法，其关键是准确应用解析几何中有关曲线的定义【训练2】 如图所示，已知C为圆（x）2y24的圆心，点A（，0），P是圆上的动点，点Q在直线CP上，且0，2.当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹方程解圆（x）2y24的圆心为C（，0），半径r2，0，2，MQAP，点M是线段AP的中点，即MQ是AP的中垂线，连接AQ，则|AQ|QP|，|QC|QA|QC|QP|CP|r2，又|AC|22，根据双曲线的定义，点Q的轨迹是以C（，0），A（，0）为焦点，实轴长为2的双曲线，由c，a1，得b21，因此点Q的轨迹方程为x2

7、y21.考点三代入法（相关点法）求轨迹方程【例3】 （辽宁卷）如图，动圆C1：x2y2t2,1t3，与椭圆C2：y21相交于A，B，C，D四点，点A1，A2分别为C2的左，右顶点（1）当t为何值时，矩形ABCD的面积取得最大值？并求出其最大面积（2）求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程审题路线（1）设出点A的坐标利用对称性表示S矩形ABCD，并确定矩形ABCD面积取得最大值的条件进而求出t值（2）点M受点A的变化制约根据点A满足的方程求出点M的轨迹方程解（1）设A（x0，y0），则S矩形ABCD4|x0y0|，由y1得y1，从而xyx2.当x，y时，Smax6.从而t2xy5，t，当t时，

8、矩形ABCD的面积取到最大值6.（2）由椭圆C2：y21，知A1（3,0），A2（3,0），又曲线的对称性及A（x0，y0），得B（x0，y0），设点M的坐标为（x，y），直线AA1的方程为y（x3）直线A2B的方程为y（x3）由得y2（x29）又点A（x0，y0）在椭圆C上，故y1.将代入得y21（x3，y因此点M的轨迹方程为y21（x规律方法 （1）一是本题的轨迹方程中，要求x0）的左、右焦点分别是F1，F2，离心率为，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1.（1）求椭圆C的方程；（2）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1，PF2，设F1PF2的角平分线PM交C的长轴于

9、点M（m,0），求m的取值范围；（3）在（2）的条件下，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点设直线PF1，PF2的斜率分别为k1，k2，若k0，试证明为定值，并求出这个定值审题一审条件：可设P点坐标为（x0，y0），写出直线l的方程二审条件：联立方程组消去y得关于x的一元二次方程，则0三审结论：变为，把k与均用x0，y0表示后可消去解（1）椭圆C的方程为y21（过程略）（2）m的取值范围是（过程略）（3）设P（x0，y0）（y00），则直线l的方程为yy0k（xx0）联立整理得（14k2）x28（ky0k2x0）x4（y2kx0y0k2x1）0.由题意，得0，即（4x）k22x0y0k1y0.又y1，所以16yk28x0y0kx0，即（4y0kx0）20.故k.由椭圆C可得F1（，0），F2（，0），又P（x0，y0），所以，所以8.因此为定值，这个定值为8.反思感悟 对题目涉及的变量巧妙的引进参数（如设动点坐标、动直线方程等），利用题目的条件和圆锥曲线方程组成二元二次方程组，再化为一元二次方程，从而利用根与系数的关系进行整体代换，达到“设而不求，减少计算”的效果，直接得定值【自主体验】 （新课标全国卷）已知椭圆E：0）的右焦点为F（3,0），过点F的直线交E于A，B两点若AB的中点坐标为（1，1），则E的方程为 （）A.1 B.1C.1 D.