高中数学复习课一导数及其应用教学案新人教A版选修22Word文件下载.docx

高中数学复习课一导数及其应用教学案新人教A版选修22Word文件下载.docx

《高中数学复习课一导数及其应用教学案新人教A版选修22Word文件下载.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学复习课一导数及其应用教学案新人教A版选修22Word文件下载.docx（24页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

（2）曲线与直线相切并不一定只有一个公共点，例如，y＝x3在（1,1）处的切线l与y＝x3的图象还有一个交点（－2，－8）．

1．曲线y＝在点（－1，－1）处的切线方程为（　　）

A．y＝2x＋1　　　　　　　　B．y＝2x－1

C．y＝－2x－3D．y＝－2x－2

解析：

选A　∵y′＝＝，

∴k＝y′|x＝－1＝＝2，

∴切线方程为：

y＋1＝2（x＋1），即y＝2x＋1.

2．已知曲线y＝x＋lnx在点（1,1）处的切线与曲线y＝ax2＋（a＋2）x＋1相切，则a＝________.

∵y＝x＋lnx，∴y′＝1＋，

y′＝2.

∴曲线y＝x＋lnx在点（1,1）处的切线方程为

y－1＝2（x－1），即y＝2x－1.

法一：

∵y＝2x－1与曲线y＝ax2＋（a＋2）x＋1相切，

∴a≠0（当a＝0时曲线变为y＝2x＋1与已知直线平行）．

由

消去y，得ax2＋ax＋2＝0.

由Δ＝a2－8a＝0，解得a＝8.

法二：

设y＝2x－1与曲线y＝ax2＋（a＋2）x＋1相切于点（x0，ax＋（a＋2）x0＋1）．

∵y′＝2ax＋（a＋2），

∴y′＝2ax0＋（a＋2）．

由解得

答案：

8

导数与函数的单调性

（1）题型既有选择题、填空题也有解答题，若以选择题、填空题的形式出现，则难度以中、低档为主，若以解答题形式出现，难度则以中等偏上为主，主要考查求函数的单调区间、证明或判断函数的单调性等问题。

（2）在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题的过程中，只能在定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间．

特别要注意写单调区间时，区间之间用“和”或“，”隔开，绝对不能用“∪”连接．

函数的单调性与导函数值的关系

若函数f（x）在（a，b）内可导，则f′（x）在（a，b）任意子区间内部不恒等于0.

f′（x）＞0⇒函数f（x）在（a，b）上单调递增；

f′（x）＜0⇒函数f（x）在（a，b）上单调递减．

反之，函数f（x）在（a，b）上单调递增⇒f′（x）≥0；

函数f（x）在（a，b）上单调递减⇒f′（x）≤0.即f′（x）＞0（f′（x）＜0）是f（x）为增（减）函数的充分不必要条件．

[典例]　已知函数f（x）＝x＋＋b（x≠0），其中a，b∈R.

（1）若曲线y＝f（x）在点P（2，f

（2））处的切线方程为y＝3x＋1，求函数f（x）的解析式；

（2）讨论函数f（x）的单调性并求出单调区间．

[解]　f′（x）＝1－.

（1）由导数的几何意义得f′

（2）＝3，即1－＝3，

∴a＝－8.

由切点P（2，f

（2））在直线y＝3x＋1上，

得f

（2）＝3×

2＋1＝7，则－2＋b＝7，解得b＝9，

∴函数f（x）的解析式为f（x）＝x－＋9（x≠0）．

（2）当a≤0时，显然f′（x）＞0（x≠0），

这时f（x）在（－∞，0），（0，＋∞）上是增函数．

当a＞0时，由f′（x）＝0，解得x＝±

.

当x＜－或x＞时，f′（x）＞0；

当－＜x＜0或0＜x＜时，f′（x）＜0.

∴f（x）在（－∞，－），（，＋∞）上是增函数，

在（0，），（－，0）上是减函数．

求函数的单调区间的方法步骤

（1）确定函数f（x）的定义域．

（2）计算函数f（x）的导数f′（x）．

（3）解不等式f′（x）＞0，得到函数f（x）的递增区间；

解不等式f′（x）＜0，得到函数f（x）的递减区间．

[提醒]　求函数单调区间一定要先确定函数定义域，往往因忽视函数定义域而导致错误．

1．设函数f′（x）＝x2＋3x－4，则y＝f（x＋1）的单调递减区间为________．

由f′（x）＝x2＋3x－4，令f′（x）＜0，即x2＋3x－4＜0，解得－4＜x＜1，所以函数f（x）的单调递减区间为（－4,1），所以y＝f（x＋1）的单调递减区间为（－5,0）．

（－5,0）

2．已知函数f（x）＝－x2＋2x－aex.

（1）若a＝1，求f（x）在x＝1处的切线方程；

（2）若f（x）在R上是增函数，求实数a的取值范围．

解：

（1）当a＝1时，f（x）＝－x2＋2x－ex，

则f

（1）＝－×

12＋2×

1－e＝－e，

f′（x）＝－x＋2－ex，f′

（1）＝－1＋2－e＝1－e，

故曲线y＝f（x）在x＝1处的切线方程为y－＝（1－e）（x－1），即y＝（1－e）x＋.

（2）∵f（x）在R上是增函数，∴f′（x）≥0在R上恒成立，

∵f（x）＝－x2＋2x－aex，∴f′（x）＝－x＋2－aex，

于是有不等式－x＋2－aex≥0在R上恒成立，

即a≤在R上恒成立，

令g（x）＝，则g′（x）＝，

令g′（x）＝0，解得x＝3，列表如下：

x

（－∞，3）

3

（3，＋∞）

g′（x）

－

＋

g（x）

减

极小值－

增

故函数g（x）在x＝3处取得极小值，亦即最小值，

即g（x）min＝－，所以a≤－，

即实数a的取值范围是.

导数与函数的极值、最值

从高考运用情况看，利用导数研究函数极值、最值是导数应用的核心部分，年年高考都有考查，多以解答题形式考查，难度相对较大．

1．导数与函数单调性、极值的关系

（1）f′（x）>

0在（a，b）上成立，是f（x）在（a，b）上单调递增的充分不必要条件．

（2）对于可导函数f（x），f′（x0）＝0是函数f（x）在x＝x0处有极值的必要不充分条件．

2．利用导数求函数极值应注意三点

（1）求单调区间时应先求函数的定义域，遵循定义域优先的原则；

（2）f′（x0）＝0时，x0不一定是极值点；

（3）求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时应分类讨论．

[典例]　已知函数f（x）＝ax3＋bx＋c在点x＝2处取得极值c－16.

（1）求a，b的值；

（2）若f（x）有极大值28，求f（x）在[－3,3]上的最小值．

[解]　

（1）因为f（x）＝ax3＋bx＋c，

故f′（x）＝3ax2＋b.

由于f（x）在点x＝2处取得极值c－16，

故有

即化简得

解得

（2）由

（1）知f（x）＝x3－12x＋c；

f′（x）＝3x2－12＝3（x－2）（x＋2）．

令f′（x）＝0，得x1＝－2，x2＝2.

当x∈（－∞，－2）时，f′（x）>

0，

故f（x）在（－∞，－2）上为增函数；

当x∈（－2,2）时，f′（x）<

故f（x）在（－2,2）上为减函数；

当x∈（2，＋∞）时，f′（x）>

故f（x）在（2，＋∞）上为增函数．

由此可知f（x）在x＝－2处取得极大值f（－2）＝16＋c，

f（x）在x＝2处取得极小值f

（2）＝c－16.

由题设条件知16＋c＝28，解得c＝12.

此时f（－3）＝9＋c＝21，

f（3）＝－9＋c＝3，f

（2）＝－16＋c＝－4，

因此f（x）在[－3,3]上的最小值为f

（2）＝－4.

1．求函数的极值的方法

（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）．

（2）求方程f′（x）＝0的根．

（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格．检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；

如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；

如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值．

2．求函数的最值的方法

（1）求f（x）在（a，b）内的极值．

（2）将f（x）的各极值与f（a），f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值．

1．已知函数f（x）＝x－alnx（a∈R），试求函数的极值．

f′（x）＝1－＝，x>

0.

（1）当a≤0时，f′（x）>

0，函数f（x）为（0，＋∞）上的增函数，函数f（x）无极值；

（2）当a>

0时，由f′（x）＝0，解得x＝a.

又当x∈（0，a）时，f′（x）<

0；

当x∈（a，＋∞）时，f′（x）>

从而函数f（x）在x＝a处取得极小值，

且极小值为f（a）＝a－alna，无极大值．

综上，当a≤0时，函数f（x）无极值；

当a>

0时，

函数f（x）在x＝a处取得极小值a－alna，无极大值．

2．已知函数f（x）＝（x≥1），

（1）试判断函数f（x）的单调性，并说明理由；

（2）若f（x）≥恒成立，求实数k的取值范围．

（1）f′（x）＝－，

∵x≥1，∴lnx≥0，∴f′（x）≤0.

故函数f（x）在[1，＋∞）上单调递减．

（2）∵x≥1，

∴f（x）≥⇔≥k，

令g（x）＝，

∴g′（x）＝＝.

再令h（x）＝x－lnx，则h′（x）＝1－.

∵x≥1，则h′（x）≥0，

∴h（x）在[1，＋∞）上单调递增．

∴[h（x）]min＝h

（1）＝1>

0，从而g′（x）>

故g（x）在[1，＋∞）上单调递增，

∴[g（x）]min＝g

（1）＝2，∴k≤2.

故实数k的取值范围为（－∞，2].

生活中的优化问题

优化问题是导数在实际生活中的应用之一，高考中有所体现，既可以以小题形式考查，也可以解答题形式考查，难度中低档．

（1）解决优化问题的策略

①要分析问题中各个数量之间的关系，建立适当的函数模型，并确定函数的定义域．

②要通过研究相应函数的性质，如单调性、极值与最值，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具．

（2）求实际问题的最大（小）值时，一定要从问题的实际意义去考查，不符合实际意义的值应舍去．

（3）在实际问题中，由f′（x）＝0常常仅得到一个根，若能判断函数的最大（小）值在x的变化区间内部得到，则这个根处的函数值就是所求的最大（小）值．

[典例]　某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000π元（π为圆周率）．

（1）将V表示成r的函数V（r），并求该函数的定义域．

（2）讨论函数V（r）的单调性，并确定r和h为