直线的倾斜角和斜率教案Word文档下载推荐.docx
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(1)它们都经过点P.
(2)它们的‘倾斜程度’不同.怎样描述这种‘倾斜程度’的不同?
引入直线的倾斜角的概念:
当直线l与x轴相交时,取x轴作为基准,x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.特别地,当直线l与x轴平行或重合时,规定α=0°
.
问:
倾斜角α的取值范围是什么?
0°
≤α<180°
当直线l与x轴垂直时,α=90°
因为平面直角坐标系内的每一条直线都有确定的倾斜程度,引入直线的倾斜角之后,我们就可以用倾斜角α来表示平面直角坐标系内的每一条直线的倾斜程度.
如图,直线a∥b∥c,那么它们
的倾斜角α相等吗?
答案是肯定的.所以一个倾斜角α不能确定一条直线.
确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素:
一个点P和一个倾斜角α.
(二)直线的斜率:
一条直线的倾斜角α(α≠90°
)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是
k=tanα
⑴当直线l与x轴平行或重合时,α=0°
k=tan0°
=0;
⑵当直线l与x轴垂直时,α=90°
k不存在.
由此可知,一条直线l的倾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在.
例如,α=45°
时,k=tan45°
=1;
α=135°
时,k=tan135°
=tan(180°
-45°
)=-tan45°
=-1.
学习了斜率之后,我们又可以用斜率来表示直线的倾斜程度.
(三)直线的斜率公式:
给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,如何用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率?
可用计算机作动画演示:
直线P1P2的四种情况,并引导学生如何作辅助线,
共同完成斜率公式的推导.(略)
斜率公式:
对于上面的斜率公式要注意下面四点:
(1)当x1=x2时,公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾斜角α=90°
直线与x轴垂直;
(2)k与P1、P2的顺序无关,即y1,y2和x1,x2在公式中的前后次序可以同时交换,但分子与分母不能交换;
(3)斜率k可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得;
(4)当y1=y2时,斜率k=0,直线的倾斜角α=0°
,直线与x轴平行或重合.
(5)求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到.
(四)例题:
例1已知A(3,2),B(-4,1),C(0,-1),求直线AB,BC,CA的斜率,并判断它们的倾斜角是钝角还是锐角.(用计算机作直线,图略)
分析:
已知两点坐标,而且x1≠x2,由斜率公式代入即可求得k的值;
而当k=tanα<
0时,倾斜角α是钝角;
而当k=tanα>
0时,倾斜角α是锐角;
而当k=tanα=0时,倾斜角α是0°
略解:
直线AB的斜率k1=1/7>
0,所以它的倾斜角α是锐角;
直线BC的斜率k2=-0.5<
0,所以它的倾斜角α是钝角;
直线CA的斜率k3=1>
0,所以它的倾斜角α是锐角.
例2在平面直角坐标系中,画出经过原点且斜率分别为1,-1,2,及-3的直线a,b,c,l.
要画出经过原点的直线a,只要再找出a上的另外一点M.而M的坐标可以根据直线a的斜率确定;
或者k=tanα=1是特殊值,所以也可以以原点为角的顶点,x轴的正半轴为角的一边,在x轴的上方作45°
的角,再把所作的这一边反向延长成直线即可.
设直线a上的另外一点M的坐标为(x,y),根据斜率公式有
1=(y-0)/(x-0)
所以x=y
可令x=1,则y=1,于是点M的坐标为(1,1).此时过原点和点
M(1,1),可作直线a.
同理,可作直线b,c,l.(用计算机作动画演示画直线过程)
(五)练习:
P911.2.3.4.
(六)小结:
(1)直线的倾斜角和斜率的概念.
(2)直线的斜率公式.
(七)课后作业:
P94习题3.11.3.
(八)板书设计:
§
3.1.1……
1.直线倾斜角的概念3.例1……练习1练习3
2.直线的斜率
4.例2……练习2练习4
两条直线的平行与垂直(3.1.2)
教学目标
(一)知识教学
理解并掌握两条直线平行与垂直的条件,会运用条件判定两直线是否平行或垂直.
(二)能力训练
通过探究两直线平行或垂直的条件,培养学生运用已有知识解决新问题的能力,以及数形结合能力.
(三)学科渗透
通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究,培养学生的成功意识,合作交流的学习方式,激发学生的学习兴趣.
重点:
两条直线平行和垂直的条件是重点,要求学生能熟练掌握,并灵活运用.
难点:
启发学生,把研究两条直线的平行或垂直问题,转化为研究两条直线的斜率的关系问题.
注意:
对于两条直线中有一条直线斜率不存在的情况,在课堂上老师应提醒学生注意解决好这个问题.
教学过程
(一)先研究特殊情况下的两条直线平行与垂直
上一节课,我们已经学习了直线的倾斜角和斜率的概念,而且知道,可以用倾斜角和斜率来表示直线相对于x轴的倾斜程度,并推导出了斜率的坐标计算公式.现在,我们来研究能否通过两条直线的斜率来判断两条直线的平行或垂直.
讨论:
两条直线中有一条直线没有斜率,
(1)当另一条直线的斜率也不存在时,两直线的倾斜角都为90°
,它们互相平行;
(2)当另一条直线的斜率为0时,一条直线的倾斜角为90°
,另一条直线的倾斜角为0°
,两直线互相垂直.
(二)两条直线的斜率都存在时,两直线的平行与垂直
设直线L1和L2的斜率分别为k1和k2.我们知道,两条直线的平行或垂直是由两条直线的方向决定的,而两条直线的方向又是由直线的倾斜角或斜率决定的.所以我们下面要研究的问题是:
两条互相平行或垂直的直线,它们的斜率有什么关系?
首先研究两条直线互相平行(不重合)的情形.如果L1∥L2(图1-29),那么它们的倾斜角相等:
α1=α2.(借助计算机,让学生通过度量,感知α1,α2的关系)
∴tgα1=tgα2.
即 k1=k2.
反过来,如果两条直线的斜率相等:
即k1=k2,那么tgα1=tgα2.
由于0°
≤α1<180°
, 0°
,
∴α1=α2.
又∵两条直线不重合,
∴L1∥L2.
结论:
两条直线都有斜率而且不重合,如果它们平行,那么它们的斜率相等;
反之,如果它们的斜率相等,那么它们平行,即
注意:
上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的,缺少这个前提,结论并不成立.即如果k1=k2,那么一定有L1∥L2;
反之则不一定.
下面我们研究两条直线垂直的情形.
如果L1⊥L2,这时α1≠α2,否则两直线平行.
设α2<α1(图1-30),甲图的特征是L1与L2的交点在x轴上方;
乙图的特征是L1与L2的交点在x轴下方;
丙图的特征是L1与L2的交点在x轴上,无论哪种情况下都有
α1=90°
+α2.
因为L1、L2的斜率分别是k1、k2,即α1≠90°
,所以α2≠0°
.
,
可以推出 :
α1=90°
+α2.L1⊥L2.
两条直线都有斜率,如果它们互相垂直,那么它们的斜率互为负倒数;
反之,如果它们的斜率互为负倒数,那么它们互相垂直,即
结论成立的条件.即如果k1·
k2=-1,那么一定有L1⊥L2;
(借助计算机,让学生通过度量,感知k1,k2的关系,并使L1(或L2)转动起来,但仍保持L1⊥L2,观察k1,k2的关系,得到猜想,再加以验证.转动时,可使α1为锐角,钝角等).
例题
例1 已知A(2,3),B(-4,0),P(-3,1),Q(-1,2),试判断直线BA与PQ的位置关系,并证明你的结论.
借助计算机作图,通过观察猜想:
BA∥PQ,再通过计算加以验证.(图略)
解:
直线BA的斜率k1=(3-0)/(2-(-4))=0.5,
直线PQ的斜率k2=(2-1)/(-1-(-3))=0.5,
因为k1=k2=0.5,所以直线BA∥PQ.
例2已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(0,0),B(2,-1),C(4,2),D(2,3),试判断四边形ABCD的形状,并给出证明.(借助计算机作图,通过观察猜想:
四边形ABCD是平行四边形,再通过计算加以验证)
解同上.
例3已知A(-6,0),B(3,6),P(0,3),Q(-2,6),试判断直线AB与PQ的位置关系.
直线AB的斜率k1=(6-0)/(3-(-6))=2/3,
直线PQ的斜率k2=(6-3)(-2-0)=-3/2,
因为k1·
k2=-1所以AB⊥PQ.
例4 已知A(5,-1),B(1,1),C(2,3),试判断三角形ABC的形状.
分析:
三角形ABC是直角三角形,其中AB⊥BC,再通过计算加以验证.(图略)
课堂练习
P94练习1.2.
课后小结
(1)两条直线平行或垂直的真实等价条件;
(2)应用条件,判定两条直线平行或垂直.
(3)应用直线平行的条件,判定三点共线.
布置作业
P94习题3.15.8.
板书设计
3.2.1直线的点斜式方程
一、教学目标
1、知识与技能
(1)理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围;
(2)能正确利用直线的点斜式、斜截式公式求直线方程。
(3)体会直线的斜截式方程与一次函数的关系.
2、过程与方法
在已知直角坐标系内确定一条直线的几何要素——直线上的一点和直线的倾斜角的基础上,通过师生探讨,得出直线的点斜式方程;
学生通过对比理解“截距”与“距离”的区别。
3、情态与价值观
通过让学生体会直线的斜截式方程与一次函数的关系,进一步培养学生数形结合的思想,渗透数学中普遍存在相互联系、相互转化等观点,使学生能用联系的观点看问题。
二、教学重点、难点:
(1)重点:
直线的点斜式方程和斜截式方程。
(2)难点:
直线的点斜式方程和斜截式方程的应用。
三、教学设想
问题
设计意图
师生活动
1、在直线坐标系内确定一条直线,应知道哪些条件?
使学生在已有知识和经验的基础上,探索新知。
学生回顾,并回答。
然后教师指出,直线的方程,就是直线上任意一点的坐标满足的关系式。
2、直线经过点,且斜率为。
设点是直线上的任意一点,