北京高考数学真题及答案文科Word格式.docx
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（A）
（B）
（C）
（D）
（4）下列函数中，在区间上为减函数的是
（5）圆的圆心到直线的距离为
（A）（B）
（C）（D）
（6）从甲、乙等名学生中随机选出人，则甲被选中的概率为
（7）已知．若点在线段上，则的最大值为
（8）某学校运动会的立定跳远和秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段．下表为名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊．
学生序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
立定跳远（单位：
米）
秒跳绳（单位：
次）
在这名学生中，进入立定跳远决赛的有人，同时进入立定跳远决赛和秒跳绳决赛的有人，则
（A）号学生进入秒跳绳决赛（B）号学生进入秒跳绳决赛
（C）号学生进入秒跳绳决赛（D）号学生进入秒跳绳决赛
第二部分（非选择题共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
（
9
）已知向量，，则与夹角的大小为．
（10）函数的最大值为．
（11）某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为．
（12）已知双曲线的一条渐近线为，一个焦点为，则；
．
（13）在中，，，则．
（14）某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：
第一天售出种商品，第二天售出种商品，第三天售出种商品；
前两天都售出的商品有种，后两天都售出的商品有种．则该网店
①第一天售出但第二天未售出的商品有种；
②这三天售出的商品最少有种．
三、解答题共6小题，共80分。
解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（15）（本小题13分）
已知是等差数列，是等比数列，且，，，．
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列的前项和．
（16）（本小题13分）
已知函数的最小正周期为．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的单调递增区间.
（17）（本小题13分）
某市居民用水拟实行阶梯水价．每人月用水量中不超过立方米的部分按元/立方米收费，超出立方米的部分按元/立方米收费．从该市随机调查了位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图：
（Ⅰ）如果为整数，那么根据此次调查，为使以上居民在该月的用水价格为元/立方米，至少定为多少？
（Ⅱ）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替．当时，估计该市居民该月的人均水费．
（18）（本小题14分）
如图，在四棱锥中，平面，，．
（Ⅰ）求证：
平面；
（Ⅱ）求证：
平面平面；
（Ⅲ）设点为的中点．在棱上是否存在点，
使得平面？
说明理由．
（19）（本小题14分）
已知椭圆过两点．
（Ⅰ）求椭圆的方程及离心率；
（Ⅱ）设为第三象限内一点且在椭圆上，直线与轴交于点，直线与轴交于点．求证：
四边形的面积为定值．
（20）（本小题13分）
设函数．
（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）设．若函数有三个不同零点，求的取值范围；
（Ⅲ）求证：
是有三个不同零点的必要而不充分条件．
（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）
绝密★考试结束前
数学（文）（北京卷）参考答案
一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）
（1）C
（2）A（3）B（4）D
（5）C（6）B（7）C（8）B
二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）
）（10）
（11）（12）
（13）（14）
三、解答题（共6小题，共80分）
（15）（共13分）
解：
（Ⅰ）等比数列的公比，
所以，．
设等差数列的公差为．
因为，，
所以，即．
所以．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，．
因此．
从而数列的前项和
．
（16）（共13分）
（Ⅰ）因为
所以的最小正周期．
依题意，，解得．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知．
函数的单调递增区间为．
由，
得．
所以的单调递增区间为．
（17）（共13分）
（Ⅰ）由用水量的频率分布直方图知，
该市居民该月用水量在区间，，，，内的频率依次为，，，，．
所以该月用水量不超过立方米的居民占，用水量不超过立方米的居民占．
依题意，至少定为．
（Ⅱ）由用水量的频率分布直方图及题意，得居民该月用水费用的数据分组与频率分布表：
组号
分组
频率
根据题意，该市居民该月的人均水费估计为：
（元）．
（18）（共14分）
（Ⅰ）因为平面，
所以．
又因为，
所以平面．
（Ⅱ）因为，，
因为平面，
所以平面平面．
（Ⅲ）棱上存在点，使得平面．证明如下：
取中点，连结．
又因为为的中点，
又因为平面，
（19）（共14分）
（Ⅰ）由题意得，，．
所以椭圆的方程为．
又，
所以离心率．
（Ⅱ）设，则．
又，，所以，
直线的方程为．
令，得，从而．
所以四边形的面积
从而四边形的面积为定值．
（20）（共13分）
（Ⅰ）由，得．
所以曲线在点处的切线方程为．
（Ⅱ）当时，，
令，得，解得或．
与在区间上的情况如下：
↗
↘
所以，当且时，存在，，，使得．
由的单调性知，当且仅当时，函数有三个不同零点．
（Ⅲ）当时，，，
此时函数在区间上单调递增，所以不可能有三个不同零点．
当时，只有一个零点，记作．
当时，，在区间上单调递增；
当时，，在区间上单调递增．
所以不可能有三个不同零点．
综上所述，若函数有三个不同零点，则必有．
故是有三个不同零点的必要条件．
当时，，只有两个不同零点，所以不是有三个不同零点的充分条件．
因此是有三个不同零点的必要而不充分条件．
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