高考数学一轮复习 第四章 三角函数解三角形 课时达标检测二十二正弦定理和余弦定理 文Word下载.docx

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c，故a＝2c，＝2，故选A.

4．（xx·

湖南长郡中学模拟）若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知2bsin2A＝asinB，且c＝2b，则＝（　　）

A．2B．3

选A　由2bsin2A＝asinB，得4bsinA·

cosA＝asinB，由正弦定理得4sinB·

sinA·

cosA＝sinA·

sinB，∵sinA≠0，且sinB≠0，∴cosA＝，由余弦定理得a2＝b2＋4b2－b2，∴a2＝4b2，∴＝2.故选A.

5．（xx·

兰州一模）△ABC中，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，c＝2a，bsinB－asinA＝asinC，则sinB的值为（　　）

选C　由正弦定理，得b2－a2＝ac，又c＝2a，所以b2＝2a2，所以cosB＝＝，所以sinB＝.

对点练

（二）　正、余弦定理的综合应用

武汉调研）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若<

cosA，则△ABC为（　　）

A．钝角三角形B．直角三角形

C．锐角三角形D．等边三角形

选A　根据正弦定理得＝<

cosA，

即sinC<

sinBcosA，∵A＋B＋C＝π，∴sinC＝sin（A＋B）<

sinBcosA，整理得sinAcosB<

0，又三角形中sinA>

0，∴cosB<

0，<

B<

π.∴△ABC为钝角三角形．

湖南邵阳一模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知三个向量m＝，n＝，p＝共线，则△ABC的形状为（　　）

A．等边三角形B．等腰三角形

C．直角三角形D．等腰直角三角形

选A　∵向量m＝，n＝共线，

∴acos＝bcos.由正弦定理得sinAcos＝sinBcos.

∴2sincoscos＝2sincoscos，∴sin＝sin.

∵0<

<

，0<

，∴＝，∴A＝B.同理可得B＝C，∴△ABC为等边三角形．故选A.

福建八校联考）我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设△ABC三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，则“三斜求积”公式为S＝.若a2sinC＝4sinA，（a＋c）2＝12＋b2，则用“三斜求积”公式求得△ABC的面积为（　　）

A.B．2

选A　由正弦定理得a2c＝4a，所以ac＝4，且a2＋c2－b2＝12－2ac＝4，代入面积公式得＝.

4.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足b＝c，＝.若点O是△ABC外一点，∠AOB＝θ（0<

θ<

π），OA＝2，OB＝1，如图所示，则四边形OACB面积的最大值是（　　）

选B　由＝及正弦定理得sinBcosA＝sinA－sinAcosB，所以sin（A＋B）＝sinA，所以sinC＝sinA，因为A，C∈（0，π），所以C＝A，又b＝c，所以A＝B＝C，△ABC为等边三角形．设△ABC的边长为k，则k2＝12＋22－2×

1×

2×

cosθ＝5－4cosθ，则S四边形OACB＝×

2sinθ＋k2＝sinθ＋（5－4cosθ）＝2sin＋≤2＋＝，所以当θ－＝，即θ＝时，四边形OACB的面积取得最大值，且最大值为.

广东揭阳模拟）已知△ABC中，角A，B，C成等差数列，且△ABC的面积为1＋，则AC边的长的最小值是________．

∵A，B，C成等差数列，∴A＋C＝3B，又A＋B＋C＝π，∴B＝.设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，由S△ABC＝acsinB＝1＋得ac＝2（2＋），由余弦定理及a2＋c2≥2ac，得b2≥（2－）ac，即b2≥（2－）×

2（2＋），∴b≥2（当且仅当a＝c时等号成立），∴AC边的长的最小值为2.

答案：

2

6．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积S＝a2－（b－c）2，且b＋c＝8，则S的最大值为________．

由题意知bcsinA＝a2－b2＋2bc－c2，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得bcsinA－2bc＝－2bccosA，因为bc≠0，所以sinA＝4－4cosA，则1－cos2A＝16（1－cosA）2，得cosA＝，sinA＝，b＋c＝8≥2，当且仅当b＝c时取等号，因而bc≤16，那么S＝bcsinA≤.

对点练（三）　解三角形应用举例

山西康杰中学月考）海上有三个小岛A，B，C，测得∠BAC＝135°

，AB＝6，AC＝3，若在B，C两岛的连线段之间建一座灯塔D，使得灯塔D到A，B两岛距离相等，则B，D间的距离为（　　）

A．3B.

C.D．3

选B　由题意可知，D为线段AB的垂直平分线与BC的交点，设BD＝t.由余弦定理可得BC2＝62＋（3）2－2×

6×

3cos∠BAC＝90，解得BC＝3.由cos∠ABC＝＝，解得t＝.故选B.

河北唐山摸底）一艘海监船在某海域实施巡航监视，由A岛向正北方向行驶80海里至M处，然后沿东偏南30°

方向行驶50海里至N处，再沿南偏东30°

方向行驶30海里至B岛，则A，B两岛之间的距离是________海里．

连接AN，则在△AMN中，应用余弦定理可得cos60°

＝，即AN＝70.

应用余弦定理可得cos∠ANM＝＝，

所以sin∠ANM＝.

在△ANB中，应用余弦定理可得cos∠ANB＝，而cos∠ANB＝cos（150°

－∠ANM）＝cos150°

cos∠ANM＋sin150°

sin∠ANM＝，

所以＝，

解得AB＝70.

70

贵州遵义第一次联考）某中学举行升旗仪式，在坡度为15°

的看台E点和看台的坡脚A点，分别测得旗杆顶部的仰角分别为30°

和60°

，量得看台坡脚A点到E点在水平线上的射影B点的距离为10m，则旗杆的高是________m.

由题意得∠DEA＝45°

，∠ADE＝30°

，AE＝，

所以AD＝＝，

因此CD＝ADsin60°

＝×

sin60°

＝10（3－）．

10（3－）

[大题综合练]

湖北部分重点中学适应性训练）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且满足cos（A－B）＝2sinAsinB.

（1）判断△ABC的形状；

（2）若a＝3，c＝6，CD为角C的平分线，求CD的长．

解：

（1）由cos（A－B）＝2sinAsinB，得

cosAcosB＋sinAsinB＝2sinAsinB，

∴cosAcosB－sinAsinB＝0，

∴cos（A＋B）＝0，∴C＝90°

.

故△ABC为直角三角形．

（2）由

（1）知C＝90°

，又a＝3，c＝6，

∴b＝＝3，A＝30°

，

∠ADC＝180°

－30°

－45°

＝105°

由正弦定理得＝，

∴CD＝×

sin30°

＝.

云南昆明二模）如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，满足AD⊥AC，cos∠BAC＝－，AB＝3，BD＝.

（1）求AD的长；

（2）求△ABC的面积．

（1）因为AD⊥AC，cos∠BAC＝－，

所以sin∠BAC＝.

又sin∠BAC＝sin＝cos∠BAD＝，

在△ABD中，BD2＝AB2＋AD2－2AB·

AD·

cos∠BAD，即AD2－8AD＋15＝0，

解得AD＝5或AD＝3，

由于AB>

AD，所以AD＝3.

（2）在△ABD中，＝，

又由cos∠BAD＝，得sin∠BAD＝，

所以sin∠ADB＝，

则sin∠ADC＝sin（π－∠ADB）＝sin∠ADB＝.

因为∠ADB＝∠DAC＋∠C＝＋∠C，

所以cos∠C＝.

在Rt△ADC中，cos∠C＝，

则tan∠C＝＝＝，

所以AC＝3.

则△ABC的面积S＝AB·

AC·

sin∠BAC＝×

3×

＝6.

河南郑州模拟）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cos2C－cos2A＝2sin·

sin.

（1）求角A的值；

（2）若a＝且b≥a，求2b－c的取值范围．

（1）由已知得2sin2A－2sin2C＝2，

化简得sinA＝±

因为A为△ABC的内角，

所以sinA＝，

故A＝或.

（2）因为b≥a，所以A＝.

由正弦定理得＝＝＝2，

得b＝2sinB，c＝2sinC，

故2b－c＝4sinB－2sinC

＝4sinB－2sin

＝3sinB－cosB＝2sin.

因为b≥a，所以≤B<

则≤B－<

所以2b－c＝2sin∈[，2）．

2019年高考数学一轮复习第四章三角函数、解三角形课时达标检测（十九）三角函数的图象与性质文

对点练

（一）　三角函数的定义域和值域

安徽联考）已知函数y＝2cosx的定义域为，值域为[a，b]，则b－a的值是（　　）

A．2B．3

C.＋2D．2－

选B　因为函数y＝2cosx的定义域为，所以函数y＝2cosx的值域为[－2,1]，所以b－a＝1－（－2）＝3，故选B.

2．函数y＝cos2x－2sinx的最大值与最小值分别为（　　）

A．3，－1B．3，－2

C．2，－1D．2，－2

选D　y＝cos2x－2sinx＝1－sin2x－2sinx＝－sin2x－2sinx＋1，令t＝sinx，则t∈[－1,1]，y＝－t2－2t＋1＝－（t＋1）2＋2，所以最大值为2，最小值为－2.

3．已知函数f（x）＝a＋b，若x∈[0，π]时，函数f（x）的值域是[5,8]，则ab的值为（　　）

A．15－15或24－24

B．15－15

C．24－24

D．15＋15或24＋24

选A　f（x）＝a（1＋cosx＋sinx）＋b＝asin＋a＋b.

∵0≤x≤π，∴≤x＋≤，

∴－≤sin≤1，依题意知a≠0.

①当a>

0时，∴a＝3－3，b＝5.

②当a<

0时，∴a＝3－3，b＝8.

综上所述，a＝3－3，b＝5或a＝3－3，b＝8.

所以ab＝15－15或24－24.

湖南衡阳八中月考）