专题05 函数的性质单调性奇偶性周期性届高三数学文黄金考点总动员原卷版Word格式.docx

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2．若奇函数定义域中有0，则必有．即的定义域时，是为奇函数的必要非充分条件．对于偶函数而言有：

．

3．确定函数的单调性或单调区间，在解答题中常用：

定义法（取值、作差、鉴定）、导数法；

在选择、填空题中还有：

数形结合法（图像法）、特殊值法等等．

4．若函数的定义域关于原点对称，则可以表示为，该式的特点是：

右端为一个奇函数和一个偶函数的和．

5．既奇又偶函数有无穷多个（，定义域是关于原点对称的任意一个数集）．

6．复合函数的单调性特点是：

“同增异减”；

复合函数的奇偶性特点是：

“内偶则偶，内奇同外”．复合函数要考虑定义域的变化（即复合有意义）．

7．函数与函数的图像关于直线（轴）对称．

8．函数与函数的图像关于直线（轴）对称．

9．函数与函数的图像关于坐标原点中心对称．

10．函数与函数的图像关于直线对称．

四、名师二级结论：

一个防范

函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制．例如函数分别在（－∞，0），（0，＋∞）内都是单调递减的，但不能说它在整个定义域即（－∞，0）∪（0，＋∞）内单调递减，只能分开写，即函数的单调减区间为（－∞，0）和（0，＋∞），不能用“∪”连接．

一条规律

函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．

注意：

分段函数判断奇偶性应分段分别证明f（－x）与f（x）的关系，只有当对称的两段上都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性．

两个应用

1．已知函数的奇偶性求函数的解析式．

抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式，或充分利用奇偶性产生关于f（x）的方程，从而可得f（x）的解析式．

2．已知带有字母参数的函数的表达式及奇偶性求参数．

常常采用待定系数法：

利用f（x）±

f（－x）＝0产生关于字母的恒等式，由系数的对等性可得知字母的值．

三种方法

判断函数单调性的三种方法方法：

（1）定义法；

（2）图象法；

（3）导数法．

判断函数的奇偶性的三种方法：

（3）性质法．

在判断函数是否具有奇偶性时，为了便于判断，有时需要将函数进行化简，或应用定义的变通形式：

f（－x）＝±

f（x）f（－x）±

f（x）＝0＝±

1，f（x）≠0．

五、课本经典习题：

（1）新课标人教A版必修一第36页练习第1（3）题

判断下列函数的奇偶性：

【经典理由】典型的巩固定义题，可以进行多角度变式．

（2）新课标人教A版必修一第44页复习参考题A组第八题

设，求证：

（1）；

（2）．

【经典理由】典型的巩固定义题，可以进行改编、变式或拓展．

（3）新课标人教A版必修一第83页复习参考题B组第3题

对于函数．

（1）探索函数的单调性；

（2）是否存在实数a使为奇函数？

【经典理由】典型的函数性质应用题，可以进行改编、变式或拓展．

（4）新课标人教A版必修一第83页复习参考题B组第4题

（2）；

（3）．

【经典理由】典型的证明函数性质题，可以进行改编、变式或拓展．

六．考点交汇展示：

（1）函数的奇偶性与函数的零点交汇

例1．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）

（A）（B）（C）（D）

（2）函数的周期性与函数的零点交汇

例2．已知是定义在上且周期为3的函数，当时，，若函数在区间上有10个零点（互不相同），则实数的取值范围是．

（3）函数的奇偶性、单调性、周期性等的交汇问题

例3．【河北省定州中学2017届高三上学期周练（四）】函数是定义在上的奇函数，当时，,则方程在上的所有实根之和为（）

A．0B．2C．4D．6

【考点分类】

热点一函数的单调性

1．【2016高考北京文数】下列函数中，在区间上为减函数的是（）

A.B.C.D.

2．【2016湖北七校联考】已知是奇函数并且是上的单调函数，若函数只有一个零点，则实数的值是（）

A．B．C．D．

3．下列函数中，满足“”的单调递增函数是（）

（A）（B）（C）（D）

【方法规律】

1．对于给出具体解析式的函数，证明其在某区间上的单调性有两种方法：

（1）可以结合定义（基本步骤为取值、作差或作商、变形、判断）求解．

（2）可导函数则可以利用导数解之．但是，对于抽象函数单调性的证明，一般采用定义法进行．

2．求函数的单调区间与确定单调性的方法一致．

（1）利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间．

（2）定义法：

先求定义域，再利用单调性定义确定单调区间．

（3）图象法：

如果f（x）是以图象形式给出的，或者f（x）的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间．

（4）导数法：

利用导数取值的正负确定函数的单调区间．

3．函数单调性的应用：

f（x）在定义域上（或某一单调区间上）具有单调性，则f（x1）<

f（x2）f（x1）－f（x2）<

0，若函数是增函数，则f（x1）<

f（x2）x1<

x2，函数不等式（或方程）的求解，总是想方设法去掉抽象函数的符号，化为一般不等式（或方程）求解，但无论如何都必须在定义域内或给定的范围内进行．

【易错点睛】

误区1．求复合函数的单调区间时，忽视函数的定义域而致错

【例1】

（2014浙江宁波十校联考）求y＝的单调区间．

【错解】令t＝x2－4x－12，则t＝x2－4x－12在（－∞，2]上递减，在[2，＋∞）上递增，又y＝是增函数，所以y＝的单调区间是（－∞，2]与[2，＋∞），其中在（－∞，2]上递减，在[2，＋∞）上递增．

【剖析】上述解答错误的原因是忽视了函数的定义域{x|x≤－2或x≥6}．

【正解】由x2－4x－12≥0，得x≤－2或x≥6，令t＝x2－4x－12，则t＝（x－2）2－16在（－∞，2]上是减函数，在[2，＋∞）上是增函数．又y＝是增函数，所以y＝的单调区间是（－∞，－2]与[6，＋∞），其中在（－∞，－2]上递减，在[6，＋∞）上递增．

【点拨】求解复合函数单调性问题，必须考虑函数的定义域，建立“定义域优先”意识．

误区2．忽视隐含条件致误

【例2】已知f（x）＝是（－∞，＋∞）上的减函数，那么a的取值范围是（　　）

【错解】误选B项的原因只是考虑到了使得各段函数在相应定义域内为减函数的条件，要知道函数在R上为减函数，还需使得f（x）＝（3a－1）x＋4a在x＜1上的最小值不小于f（x）＝logax在x≥1上的最大值，多数考生易漏掉这一限制条件而造成失误．

【正解】据题意使原函数在定义域R上为减函数，只需满足：

．故选C．

【点评】一般地，若函数f（x）在区间[a，b）上为增函数，在区间[b，c]上为增函数，则不一定说明函数f（x）在[a，c]为增函数，如图

（1），由图像可知函数f（x）在[a，c]上整体不呈上升趋势，故此时不能说f（x）在[a，c]上为增函数，若图象满足如图

（2），即可说明函数在[a，c]上为增函数，即只需f（x）在[a，b）上的最大值不大于f（x）在[b，c]上的最小值即可，同理减函数的情况依据上述思路也可推得相应结论．

需注意以下两点：

（1）函数的单调区间是其定义域的子集，如果一个函数在其定义域的几个区间上都是增函数（或减函数），不能认为这个函数在其定义域上就是增函数（或减函数），例如函数在（－∞，0）上是减函数，在（0，＋∞）上也是减函数，但不能说在（－∞，0）∪（0，＋∞）上是减函数，因为当x1＝－1，x2＝1时，有f（x1）＝－1＜f（x2）＝1不满足减函数的定义．

（2）当一个函数的增区间（或减区间）有多个时，一般不能直接用“∪”将它们连接起来，例如：

函数

y＝x3－3x的单调增区间有两个：

（－∞，－1）和（1，＋∞）不能写成（－∞，－1）∪（1，＋∞）．

热点二函数的奇偶性

1．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）

A．B．C．D．

2．已知分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则（）

A．B．C．1D．3

3．【2016年高考四川理数】已知函数是定义在R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，，则=.

1．判断函数奇偶性的方法

（1）定义法

一般地，对于较简单的函数解析式，可通过定义直接作出判断；

对于较复杂的解析式，可先对其进行化简，再利用定义进行判断．利用定义判断函数奇偶性的步骤：

（2）图象法

奇函数的图象关于原点成中心对称，偶函数的图象关于y轴成轴对称．因此要证函数的图象关于原点对称，只需证明此函数是奇函数即可；

要证函数的图象关于y轴对称，只需证明此函数是偶函数即可．反之，也可利用函数图象的对称性去判断函数的奇偶性．

2.已知带有字母参数的函数表达式及奇偶性求参数

常常采用待定系数法，利用f（x）±

f（－x）＝0得到关于x的恒等式，由对应项系数相等可得字母的值．

函数的奇偶性是函数在整个定义域内的性质，其定义中要求f（x）和f（－x）必须同时存在，所以函数定义域必须关于原点对称，这是函数具有奇偶性的前提．如果某一个函数的定义域不关于原点对称，它一定是非奇非偶函数．

误区．不明分段函数奇偶性概念致错

【例1】判断的奇偶性．

【错解】当x＞0时，－x＜0，f（－x）＝（－x）2＋2（－x）＋3＝－（－x2＋2x－3）＝－f（x）．

当x＜0时，－x＞0，f（－x）＝－（－x）2＋2（－x）－3＝－（x2＋2x＋3）＝－f（x）．所以f（x）是奇函数．

【剖析】漏x＝0情况．

【正解】尽管对于定义域内的每一个不为零的x，都有f（－x）＝－f（x）成立，但当x＝0时，f（0）＝3≠－f（0），所以函数f（x）既不是奇函数也不是偶函数．

热点三函数的周期性

1．【2016高考山东文数】已知函数f（x）的定义域为R.当x＜0时，f（x）=x3-1；

当-1≤x≤1时，f（-x）=—f（x）；

当x＞时，f（x+）=f（x—）.则f（6）=（）

（A）-2（B）-1

（C）0（D）2

2.设是定义在R上的周期为2的函数，当时，，则．

函数周期性的相关结论：

设a是非零常数，若对f（x）定义域内的任意x，恒有下列条件之一成立：

①f（x＋a）＝－f（x）；

②；

③；

④f（x＋a）＝f（x－a），则f（x）是周期函数，2|a|是它的一个周期．（以上各式中分母均不为零）．

热点四函数性质的综合应用

1．【2016年高考北京文数】已知，，且，则（）

2.已知定义在上的函数（为实数）为偶函数，记，则的大小关系为（）

（A）（B）（C）（D）

3.【2016高考江苏卷】设是定义在上且周期为2的函数，在区间上，其中若，则的值是.

1．解这类综合题的一般