届高考数学典型试题解读不等式选讲Word格式文档下载.docx
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(2)若不等式的解集包含[–1,1],求实数a的取值范围.
【分析】
(1)将代入,不等式等价于,对按,
,讨论,得出不等式的解集;
(2)当时,.若的解集包含,等价于当时.则在的最小值必为与之一,所以且,从而得.
(2)当时,.
所以的解集包含,等价于当时.
又在的最小值必为与之一,所以且,得.
所以的取值范围为.
【名师点睛】零点分段法是解答绝对值不等式问题常用的方法,也可以将绝对值函数转化为分段函数,
借助图象解题.
【变式1】【2018陕西山大附中等晋豫名校联考】
已知函数
(1)求不等式的解集;
(2)设,若关于的不等式的解集非空,求实数的取值范围.
【解析】
(1)原不等式可化为:
,
即或,
由得或,
综上原不等式的解为或.
(2)原不等式等价于的解集非空,
令,即,
由,所以,
所以.
【变式2】【2017湖北省荆州市质检】
已知函数.
(1)当时,求的解集;
(2)若的解集包含集合,求实数的取值范围.
(1)当时,,,
上述不等式可化为或或
解得或或
所以或或,
所以原不等式的解集为
(二)不等式的证明
例2.【2017年新课标2】已知.证明:
(1);
(2).
(1)展开所给的式子,然后结合题意进行配方即可证得结论,注意向靠拢;
(2)利用均值不等式的结论结合题意证得即可得出结论.
(1)
(2)因为
所以,因此.
【名师点睛】利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况,证明思路是从已证不等式和问题的已知条件出发,借助不等式的性质和有关定理,经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题.若不等式恒等变形之后与二次函数有关,可用配方法.
【变式1】若a>
0,b>
0,且+=.
(1)求a3+b3的最小值;
(2)是否存在a,b,使得2a+3b=6?
并说明理由.
【变式2】【2017河北邯郸联考】
设.
(1)求的解集;
(2)当时,求证:
.
(1)由得:
或或,
解得,所以的解集为.
(2)当,即时,
要证,即证.
因为
所以,即.
(三)绝对值不等式的恒成立、参数范围问题
例3.【2017新课标3】已知函数f(x)=│x+1│–│x–2│.
(1)求不等式f(x)≥1的解集;
(2)若不等式的解集非空,求m的取值范围.
(1)将函数零点分段然后求解不等式即可;
(2)由题意结合绝对值不等式的性质有
,则m的取值范围是.
(1),
当时,无解;
当时,由得,,解得;
当时,由解得.
所以的解集为.
(2)由得,而
且当时,.
故实数m的取值范围为.
【名师点睛】绝对值不等式的解法有三种:
法一:
利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想;
法二:
利用“零点分段法”求解,体现了分类讨论的思想;
法三:
通过构造函数,利用函数的图象求解,体现了函数与方程的思想.
【变式1】【2018河南中原名校质检】
已知关于的不等式.
(1)当时,解不等式;
(2)如果不等式的解集为空集,求实数的取值范围.
(1)原不等式变为.
当时,原不等式化为,解得,所以
当时,原不等式化为,所以.
当时,原不等式化为,解得,所以.
综上,原不等式解集为.
【变式2】已知函数f(x)=|2x+1|+|2x-3|.
(1)求不等式f(x)≤6的解集;
(2)若关于x的不等式f(x)<
|a-1|的解集不是空集,求实数a的取值范围.
(1)原不等式等价于或或
解得<
x≤2或-≤x≤或-1≤x<
-.
所以原不等式的解集为{x|-1≤x≤2}.
(2)因为f(x)=|2x+1|+|2x-3|≥|(2x+1)-(2x-3)|=4,
所以|a-1|>
4,所以a<
-3或a>
5,
所以实数a的取值范围为(-∞,-3)∪(5,+∞).
【数学思想】
数形结合思想.
分类讨论思想.
转化与化归思想.
函数方程思想.
【温馨提示】
绝对值不等式中含参数时,通常要进行分类探求,注意分类要做到不重不漏;
注意在分段时不要遗漏区间的端点值.
分析法证明不等式是“执果索因”,要注意书写的格式和语言的规范.
用综合法证明不等式时,应注意观察不等式的结构特点,选择恰当的公式作为依据,其中均值不等式是最常用的.
【典例试题演练】
1.【2018辽宁鞍山中学二模】已知函数.
(2)若关于的不等式有解,求实数的取值范围.
(1)当时,无解;
当时,;
当时,.
综上,实数的取值范围为.
(2)函数的最小值为,,所以.
2.【2018广西贺州桂梧高中联考】已知函数的一个零点为2.
(2)若直线与函数的图象有公共点,求的取值范围.
(1)由,,得,
所以,所以或或,
解得,故不等式的解集为.
(2),
作出函数的图象,如图所示,
直线过定点,
当此直线经过点时,;
当此直线与直线平行时,.
故由图可知,.
3.【2017四川省凉山州检测】已知函数.
(1)若不等式的解集为空集,求实数的取值范围;
(2)若方程有三个不同的解,求实数的取值范围.
【解析】
(1)令,则,作出函数的图象,
由图可知,函数的最小值为,所以,即,
(2)在同一坐标系内作出函数图象和的图象如下图所示,由题意可知,把函数的图象向下平移1个单位以内(不包括1个单位)与的图象始终有3个交点,从而.
4.【20176广西柳州市模拟】已知函数.
(1)若,解不等式;
(2)如果,,求的取值范围.
(2)若,的最小值为;
若,的最小值为.
所以,,所以实数的取值范围是.
5.设a,b,c均为正数,且a+b+c=1,证明:
(1)ab+bc+ca≤;
(2)2++≥1.
【证明】
(1)由a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca得a2+b2+c2≥ab+bc+ca.
由题设得(a+b+c)2=1,即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1.
所以3(ab+bc+ca)≤1,即ab+bc+ca≤.
(2)因为+b≥2a,+c≥2b,+a≥2c,
故+++(a+b+c)≥2(a+b+c),即++≥a+b+c.
所以++≥1.
6.【2018河南漯河中学三模】若关于的不等式的解集为,记实数的最大值为.
(1)求;
(2)若正实数满足,求的最小值.
(1)因为,所以,
又因为,所以,
从而实数的最大值.
(2)因为
所以,从而,
当且仅当,即时等号成立,
所以的最小值为.