广东省高州一中高二级数学竞赛试题理文档格式.docx
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注意事项．
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
评卷人
一、选择题（题型注释）
1、
A．
B．
C．
D．
2、
若
A．1
B．1或
D．1或
3、在等差数列中,若,则
A．14
B．15
C．16
D．17
4、已知椭圆,若成等差数列,则椭圆的离心率为（
）
5、如图,三棱柱的所有棱长均为2,且点在面上
的射影为BC中点O,则异面直线AB与CC1所成角的余弦值为（
）
6、已知函数,则要得到其导函数的图象,只需将函数的图象（
A．向左平移个单位
B．向右平移个单位
C．向左平移个单位
D．向右平移个单位
7、已知定义域为的函数,满足;
当时,单调递增.如果,对于的值,下列判断正确的是（
A．恒小于0
B．恒大于0
C．可能为0
D．可正可负
第II卷（非选择题）
二、其他（题型注释）
8、如图:
向量,点为圆心的圆弧上运动,设,则的最大值为（
A．1
B．
C．2
D．
三、填空题（题型注释）
9、把4名大学毕业生分配到A、B、C三个单位实习,每个单位至少一人,已知学生甲只去A单位,则不同的分配方案有
种（用数字作答）
10、已知
;
11、不等式的解集为
12、已知点为抛物线上的一个动点,为圆上的动点,设点到抛物线的准线距离为,则的最小值为
13、已知数列,利用如右图所示的程序框图计算的值,则判断框中应填
14、下列命题中:
①在频率分布直方图中估计平均数,可以用每个小矩形的高乘以底边中点的横坐标之和;
②线性相关系数r的的绝对值越接近1,表示两变量的相关性越强
③回归直线一定过样本中心;
④已知随机变量,
则其中正确命题的序号是
四、解答题（题型注释）
15、、（本小题满分12分）已知函数
为偶函数,且其图象两相邻对称轴间的距离为
（1）求的解析式;
（2）若把图象按向量平移,得到函数的图象,求
的单调增区间.
16、（本小题满分12分）高二级某次数学测试中,随机从该年级所有学生中抽取了100名同学的数学成绩（满分150分）,经统计成绩在的有6人,在的有4人.在,各区间分布情况如右图所示的频率分布直方图,若直方图中,和对应小矩形高度相等,且对应小矩形高度又恰为对应小矩形高度的一半.
（1）确定图中的值;
（2）设得分在110分以上（含110分）为优秀,则这次测试的优秀率是多少?
（3）某班共有学生50人,若以该次统计结果为依据,现随机从该班学生中抽出3人,则至少抽到一名数学成绩优秀学生的概率是多少?
17、
（1）、据此说明四棱锥P-ABCD具有的特征及已知条件;
（2）、由你给出的特征及条件证明:
面PAD⊥面PCD
（3）、若PC中点为E,求直线AE与面PCD所成角的余弦值.
18、（本小题满分14分）已知为坐标原点,点F、T、M、P分别满足.
（1）当t变化时,求点P的轨迹方程;
（2）若的顶点在点P的轨迹上,且点A的纵坐标,的重心恰好为点F,
求直线BC的方程.
19、（本小题满分14分）已知函数（）
（1）判断函数的单调性;
（2）是否存在实数使得函数在区间上有最小值恰为?
若存在,求出的值;
若不存在,请说明理由.
20、（本小题满分14分）
下表给出的是由n×
n（n≥3,n∈N*）个正数排成的n行n列数表,表示第i行第j列的数,表中第一列的数从上到下依次成等差数列,其公差为d,表中各行中每一行的数从左到右依次都成等比数列,且所有公比相等,公比为,若已知
…
（1）求的值;
（2）求用表示的代数式;
（3）设表中对角线上的数,,,……,组成一列数列,设Tn=+++……+
求使不等式成立的最小正整数n.
参考答案
1、
D
2、B
3、C
4、B
5、
6、
C
7、A
8、C
9、12
10、
11、（0,2）
12、
13、
14、②③④
15、
y=2cos2x，的单调递增区间为
16、0.024，，0.4，
17、①ABCD为直角梯形,其中AB∥CD,AD⊥AB,（AB⊥CD）
②PA⊥面ABCD,
③PA="
AD=CD=2,
"
AB="
1
18、，2x+2y+5=0
19、见详解答案
20、，，
4
【解析】
1、略
2、略
3、略
4、略
5、略
6、略
7、略
8、略
9、略
10、略
11、略
12、略
13、略
14、略
15、
∴
又
…………………………………………………7分
（或由恒成立
）
∴
…………………………………………8分
（2）由
（1）得
…………………………………10分
令
得的单调递增区间为…………………………………12分
16、
（1）由题意知,成绩分布在间的频率为0.9,
17、
（1）由图可知四棱锥P-ABCD中有
①ABCD为直角梯形,其中AB∥CD,AD⊥AB,（AB⊥CD）
………………………5分
⑵由
（1）知PA⊥面ABCD
∴PA⊥CD
又在直角梯形ABCD中,AD⊥CD
而PA,AD面PAD中,∴CD⊥面PAD
CD面PCD
∴面PAD⊥面PCD
……………………9分
⑶取PD中点F,连结EF;
则EF
在,PA=AD,PAAD
∴AF⊥PD且
又由
（2）知面PAD⊥面PCD
∴AF⊥面PCD
∴∠AEF为AE与面PCD所成的角
…………………………………12分
在△AEF中,∠AFE=900,,EF=1
即AE与面PCD所成角的余弦值为
…………………………………14分
（3）由E为PC中点
∴E
由
（2）知面PCD的一个法向量为
设AE与面PCD所成角为
18、18、解:
（1）设
又由…………………………2分
由①②消去t得点P的轨迹方程为:
……………………………7分
19、
当,在上为增函数,
此时,
…………9分
当,在上为减函数,在上为增函数;
此时,…………11分
当,在上为减函数,
此时,……13分
综上,存在满足题意.
…………………14分
20、20、解:
⑴由题意有:
又由
…………………………………4分
⑶由
（2）知
故使原不等式成立的最小正整数为4.
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