传递函数模型及干预变量模型很全Word文档格式.docx
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但是应用中常常会遇到一个时间序列当期的表现，不仅受自己过去的影响，还与另一个或者多个时间序列相关联，这种线性系统的输出变量与一个或多个输入变量有关，描述这种动态系统的模型称为传递函数模型。
研究具有一个输入变量的单输出的线性系统，如图1所示。
图1动态系统图示
一、模型的形式
前面所示模型是两个变量的时间序列模型，从这个模型我们可以看出，输入通过传递函数算子传递到输出上，而随机扰动项又通过算子叠加到输出上，最终输出。
又比如传递函数的模型，其含义是对输出的影响效用是，而随机扰动项通过算子叠加到最终输出中。
传递函数模型的形式多种多样，但是其构成的机理基本上是一致的。
一般的传递函数形式为
（1）
其中
、、、为滞后算子的多项式，其阶数依次分别为s、r、q及p。
其中参数s和r是和的阶数，描述对影响。
q和p是和的阶数，描述随机冲击对的影响；
称为延迟参数，即的期滞后值才开始对产生影响。
是随机干扰项，，且与相互独立。
称为传递函数，系统的形成机理可用图2表示。
图2一般传递函数模型的形成机理
多变量输入传递函数模型的一般形式为
当然这比一个输入系统要复杂得多。
二、脉冲相应函数特征
由于传递函数是由B的多项式构成，所以对于传递函数的模型来说，只要确定其传递函数部分最重要三个参数、和，传递函数基本情况就了解了。
传递函数模型的特征与传递函数的三个参数、和密切相关，为三者的判定提供了工具。
设传递函数为
（2）
由于是有理函数，从理论上讲可以表示为是的无穷高阶多项式
的系数称为脉冲响应函数。
说明的过去值如何影响系统的输出。
根据
（2）式，有
或者
再根据待定系数法，比如
常数项v0=0
一次项v1-v0ψ1=0，则v1=0
二次项v2-ψ1v1-ψ2v0，则v2=0
类推有
（3）
仔细观察（3）式会发现如下的规律：
（1）前个脉冲函数值为零，即，可见我们可以由此来定b；
（2）当时，脉冲响应函数有形式
因为（）是不同的参数，无规律可循，所以这时的s+1个脉冲响应函数也无固定形式；
（3）由于的阶数为s，所以，则有时
这恰好是一个阶的差分方程，可见当时的脉冲响应函数是该方程的解，所以当时脉冲响应函数呈指数衰减。
有个初始响应函数为，且。
结合这3点，我们可以得到三个参数、和的值。
例如当前面的三个脉冲相应函数均为零时，可以确定延迟参数b=3，如果有个5个响应函数无规律，那么，则。
三、常见的传递函数的形式
为了加深对脉响应函数的理解，我们讨论几个多项式阶数不高的，常见的传递函数的情形。
1.的情形
表1情形的脉冲响应函数表
传递函数
脉冲响应函数
（2，0，0）
，
（2，0，1）
，，
（2，0，2）
2.的情形
在这个情况下，当s=0时，从开始脉冲响应函数呈指数衰减；
当s=1时，从开始脉冲响应函数呈指数衰减；
当s=2时，从开始脉冲响应函数呈指数衰减，有
表2的情形的脉冲响应函数表
（b，r，s）
（2，1，1）
（2，1，2）
在时间序列的实务分析中r和s均比较小，很少超过2。
四、传递函数的稳定性
脉冲响应函数是将传递函数表示成为无穷级数时的系数，即
从时间序列滞后的特点来看，既往输入系统的，滞后期越长，则对系统的影响则越小，所以脉冲响应函数应该快速收敛到零，这样传递函数则更稳定性。
传递函数稳定性的要求与ARMA模型平稳性的要求是类似的，所不同的是除了要求传递函数部分的稳定性，还要求干扰项部分的平稳性。
为了保证
的传递函数平稳，要求绝对收敛的，即要求满足，这等价于特征方程
的根在单位圆之内，这时此系统称为稳定系统，这个条件相当于ARMA序列平稳的条件。
对于随机干扰部分的平稳性要求与前面对ARMA模型平稳性的要求是一样的，要求特征方程
的根在单位圆之内。
当然，如果是一个非平稳的系统，总可以通过适当的差分将系统转换为平稳系统。
【例5.1】假设传递函数模型为，讨论其稳定性。
解：
特征方程的根为
而两个根的模所以特征方程的根在单位圆之内，传递函数是平稳的。
又由于特征方程的根为0.45，小于1，所以模型的随机干扰项部分是平稳的。
第二节传递函数模型的识别与估计
ARMA模型涉及的是单变量问题，所以其识别工具主要是自相关和偏自相关函数的截尾性质，之所以称为自相关，是因为它们均讨论同一变量在两个不同时刻输出间的相关性。
而传递函数的模型是多元的时间序列分析，模型的识别会同时涉及到互相关（交叉相关）和自相关问题，因为自相关在前面的章节已经讨论，所以这里只讨论互相关（交叉相关）。
一、互相关函数
（一）互相关函数定义
互相关函数是一种非常有用的测度两个变量之间相关强度和方向的函数，在时间序列中我们常常讨论两个变量间的相关性，它与平稳时间序列的自相关函数不同，自相关函数没有方向，亦即与的自相关系数只与时间间隔有关，无论t和s谁在前或后。
给定二时间序列和，，且均为平稳时间序列，如果不是平稳的时间序列，总可以通过适当的差分，转化为平稳的时间序列。
称
（4）
为互协方差函数。
（5）
为互相关函数，记为CCF。
特别值得注意的是互相关函数不仅与时间间隔有关，而且它是不对称，即与方向有关。
如图3所示。
图3互相关函数示意图
（6）
（7）
这种互相关关系的非对称性是容易理解的。
假设是某种商品的广告费，对于该种商品的销售额来说是广告费是领先的变量，它对过去的销售几乎无影响，甚至可能为零，因为对于来说是未来的广告费，未来的广告费不会对过去的销售额；
但是对于是有影响的，至于相关性到什么程度，要根据实际情况进行讨论。
（二）样本互相关函数
由于总体的互相关函数是未知的，为了讨论两个时间序列的互相关函数，通常需要用一个跨度为N的样本来估计总体互相关函数，假设这个跨度为N的样本为，如果和是非平稳的，那么我们总可以经过d阶差分将其转换为平稳的时间序列。
样本的互协方差函数为
（8）
样本的互相关系数为
（9）
其中、、和分别是两个序列的均值和标准差。
在实际中，为了获得互相关函数有统计意义的估计，样本容量要求至少为50对观测值。
为了了解互相关函数的计算的原理，下面我们模拟一个二变量的时间序列的样本，给出计算的过程。
【例2】对表3中模拟的序列，计算互相关系数。
表3模拟数据表
1
11
7
-1
2
10
-4
3
9
6
-2
4
12
5
14
8
13
可以分别计算出两个序列的均值分别为11和8，标准差分别为2.38和1.53。
计算互协方差函数
＝2.667
再计算互相关函数
从计算的结果可以看出互相关系数是不对称的，即不仅与间隔有关，还与方向有关。
【例5.2】本例的数据来源于Box与Jenkins合著《时间序列分析—预测与控制》一书中的序列M。
序列M是某商品1970年销售额与销售额的领先指标共150对数据，图4是领先指标的数据图，图5是销售额指标的数据图，图6是和的互相关函数。
图4领先指标的数据图
图5销售额的数据图
Crosscorrelations
LagCovarianceCorrelation-198765432101234567891
-30.0247820.05464|.|*.|
-2-0.026508-.05844|.*|.|
-10.0439850.09698|.|**.|
0-0.0014380-.00317|.|.|
10.0321680.07092|.|*.|
2-0.172487-.38029|********|.|
30.3265980.72007|.|**************|
40.0473920.10449|.|**.|
50.0491760.10842|.|**.|
60.0197920.04364|.|*.|
70.0640400.14119|.|***|
80.0220160.04854|.|*.|
90.0407730.08989|.|**.|
10-0.013822-.03048|.*|.|
110.0535240.11801|.|**.|
120.0137310.03027|.|*.|
"
."
markstwostandarderrors
图6和的互相关函数图
“.”标志相关系数两倍标准差处。
从图6可以看出当滞后期数时，互相关函数显著为零。
接着滞后期数和时的互相关函数分别为和，两个互相关函数值均在两倍标准差之外，所以统计的角度看显著不为零。
（三）互相关函数与传递函数的关系
如前所述，传递函数模型可以表示为以脉冲响应函数为系数的时间序列各个时刻值的加权和，即。
传递函数的形式实际上反映了互相关函数的特征，那么互相关函数和脉冲响应函数关系如何呢？
下面讨论互相关函数与传递函数关系。
设
将两边同时乘以，则
两边同时求数学期望，有
因为变量与随机干扰项相互独立，则，
有
上式两边同时除以和，得互相关函数
（10）
从（10）式可以看出互相关函数是输入变量的自相关函数和脉冲响应函数的线性函数，如果能从（10）式中解出脉冲响应函数，那么模型的传递函数就得到了。
但是（10）式的脉冲响应函数有无穷项，直接求解是不可能的。
那么如果将输入的变量x换成白噪声序列情况会如何呢？
由于白噪声序列的自相关函数为0，这时（10）式的右边除了之
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