最新2幂级数汇总Word格式.docx
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1.函数项级数
称«
(其中«
定义于数集«
上)为函数项级数,称«
为函数项级数的部分和.
2.收敛与发散
若«
存在«
,则称«
为级数«
的收敛点,否则称«
为发散点.称级数«
收敛点的全体为该级数的收敛域«
.若收敛域是一个区间,则称此区间为收敛区间,称«
的和函数,其定义域为级数的收敛域«
,记作«
.
3.幂级数
或«
为幂级数.
4.泰勒级数
在点«
的某邻域内具有任意阶导数,则称
«
为函数«
的泰勒级数.
当«
时,称
的麦克劳林级数.
二、重要结论
1.幂级数收敛域的结构(阿贝尔定理)
在«
收敛,则当«
时级数«
绝对收敛;
若«
发散,则当«
也发散.
2.收敛半径
不仅仅在«
一点收敛,也不在整个数轴上处处收敛,则存在惟一的实数«
,使该级数在«
内绝对收敛;
外处处发散;
时可能收敛也可能发散,此时称«
为幂级数«
的收敛半径,并且«
,其中«
.
规定当«
时,«
;
时,«
3.幂级数的性质
设«
的收敛半径为«
,和函数为«
,则
(1)«
在收敛域内连续.
(2)«
(3)«
«
(4)«
=«
其中«
与«
中较小的区间内取值.
(5)«
4.泰勒收敛定理
内具有各阶导数,则«
即
的充要条件是«
,
(«
之间).
此时也称将函数«
展开为了泰勒级数(即将«
展开为了幂级数).
注1«
的泰勒级数与泰勒展开式是两个不同的概念.
注2将«
展为泰勒级数主要有直接法和间接法两种.
5.几个常用函数的麦克劳林级数展开式
三、典型例题
题型1求函数项级数的收敛域
例求下列各级数的收敛域:
(1)«
;
解«
时«
,级数发散;
,级数收敛,
故级数的收敛域为«
(2)«
解
即«
时,
亦即当«
时级数收敛;
,即«
时,利用莱布尼茨判别法知级数在«
处收敛,在«
处发散;
时,级数发散.
题型2求幂级数的收敛半径和收敛域
例1求下列各幂级数的收敛域:
且
由比值法可知«
收敛,
而«
发散,故级数发散.
收敛,
原级数的收敛域为«
且当«
时,«
级数发散,
故原级数的收敛域为«
解此级数缺少偶次幂项,不能直接用公式求收敛半径,用根值法求解.
时,级数绝对收敛;
时,级数«
收敛;
时,级数发散,
(4)«
解此级数缺少奇数次幂项,不能直接使用公式求收敛半径.利用根值法得
即«
时,亦即«
时级数绝对收敛;
时,原级数为«
因为«
所以级数发散;
因为«
时,即«
时级数发散,
解令«
则原级数成为«
当«
即当«
时级数发散,所以当«
时,即当«
时级数收敛.
题型3求幂级数的和函数及数项级数的和
例1求下列各幂级数的和函数:
解令
则«
内连续,
Sk