最新2幂级数汇总Word格式.docx

最新2幂级数汇总Word格式.docx

《最新2幂级数汇总Word格式.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《最新2幂级数汇总Word格式.docx（8页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

1.函数项级数

称«

（其中«

定义于数集«

上）为函数项级数，称«

为函数项级数的部分和.

2.收敛与发散

若«

存在«

，则称«

为级数«

的收敛点，否则称«

为发散点.称级数«

收敛点的全体为该级数的收敛域«

.若收敛域是一个区间，则称此区间为收敛区间，称«

的和函数，其定义域为级数的收敛域«

，记作«

.

3.幂级数

或«

为幂级数.

4.泰勒级数

在点«

的某邻域内具有任意阶导数，则称

«

为函数«

的泰勒级数.

当«

时，称

的麦克劳林级数.

二、重要结论

1.幂级数收敛域的结构（阿贝尔定理）

在«

收敛，则当«

时级数«

绝对收敛;

若«

发散，则当«

也发散.

2.收敛半径

不仅仅在«

一点收敛，也不在整个数轴上处处收敛，则存在惟一的实数«

，使该级数在«

内绝对收敛；

外处处发散；

时可能收敛也可能发散，此时称«

为幂级数«

的收敛半径，并且«

，其中«

.

规定当«

时，«

;

时，«

3.幂级数的性质

设«

的收敛半径为«

，和函数为«

，则

（1）«

在收敛域内连续.

（2）«

（3）«

«

（4）«

=«

其中«

与«

中较小的区间内取值.

（5）«

4.泰勒收敛定理

内具有各阶导数，则«

即

的充要条件是«

，

（«

之间）.

此时也称将函数«

展开为了泰勒级数（即将«

展开为了幂级数）.

注1«

的泰勒级数与泰勒展开式是两个不同的概念.

注2将«

展为泰勒级数主要有直接法和间接法两种.

5.几个常用函数的麦克劳林级数展开式

三、典型例题

题型1求函数项级数的收敛域

例求下列各级数的收敛域:

（1）«

；

解«

时«

，级数发散；

，级数收敛，

故级数的收敛域为«

（2）«

解

即«

时,

亦即当«

时级数收敛；

，即«

时，利用莱布尼茨判别法知级数在«

处收敛,在«

处发散；

时，级数发散.

题型2求幂级数的收敛半径和收敛域

例1求下列各幂级数的收敛域:

且

由比值法可知«

收敛,

而«

发散,故级数发散.

收敛,

原级数的收敛域为«

且当«

时,«

级数发散,

故原级数的收敛域为«

解此级数缺少偶次幂项,不能直接用公式求收敛半径,用根值法求解.

时,级数绝对收敛；

时,级数«

收敛；

时,级数发散，

（4）«

解此级数缺少奇数次幂项,不能直接使用公式求收敛半径.利用根值法得

即«

时,亦即«

时级数绝对收敛;

时,原级数为«

因为«

所以级数发散;

因为«

时,即«

时级数发散,

解令«

则原级数成为«

当«

即当«

时级数发散,所以当«

时,即当«

时级数收敛.

题型3求幂级数的和函数及数项级数的和

例1求下列各幂级数的和函数:

解令

则«

内连续，

Sk