初三数学二次函数知识点总结Word文件下载.docx
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（a＞0，开口向上，a＜0开口向下）
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
向上
轴
时，
随
的增大而增大；
的增大而减小；
有最小值
．
向下
有最大值
2.
上加下减。
（c＞0，将
向上移动，c＜0将
的图像向下移动＝
3.
左加右减。
直线X=h
4.
三、二次函数图象的平移
1.平移步骤：
方法一：
⑴将抛物线解析式转化成顶点式
，确定其顶点坐标
；
⑵保持抛物线
的形状不变，将其顶点平移到
处，具体平移方法如下：
2.平移规律
在原有函数的基础上“
值正右移，负左移；
值正上移，负下移”．
概括成八个字“左加右减，上加下减”．
方法二：
⑴
沿
轴平移:
向上（下）平移
个单位，
变成
（或
）
沿轴平移：
向左（右）平移
四、二次函数
与
的比较
从解析式上看，
是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即
，其中
五、二次函数
图象的画法
五点绘图法：
利用配方法将二次函数
化为顶点式
，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：
顶点、与
轴的交点
、以及
关于对称轴对称的点
、与
，
（若与
轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.
画草图时应抓住以下几点：
开口方向，对称轴，顶点，与
轴的交点，与
轴的交点.
六、二次函数
的性质
1.当
时，抛物线开口向上，对称轴为
，顶点坐标为
当
2.当
时，抛物线开口向下，对称轴为
．当
七、二次函数解析式的表示方法
1.一般式：
为常数，
）；
2.顶点式（又称为对称式）：
3.两根式（又称为两点式）：
是抛物线与
轴两交点的横坐标）.
注意：
任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与
轴有交点，即
时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.
八、二次函数的图象与各项系数之间的关系
1.二次项系数
二次函数
中，
作为二次项系数，显然
⑴当
时，抛物线开口向上，
的值越大，开口越小，反之
的值越小，开口越大；
⑵当
时，抛物线开口向下，
的值越小，开口越小，反之
的值越大，开口越大．
总结起来，
决定了抛物线开口的大小和方向，
的正负决定开口方向，
的大小决定开口的大小．
2.一次项系数
在二次项系数
确定的前提下，
决定了抛物线的对称轴．
⑴在
的前提下，
，即抛物线的对称轴在
轴左侧；
，即抛物线的对称轴就是
轴；
，即抛物线对称轴在
轴的右侧．
⑵在
的前提下，结论刚好与上述相反，即
轴右侧；
轴的左侧．
总结起来，在
决定了抛物线对称轴的位置．
的符号的判定：
在
轴左边则
，在
轴的右侧则
，概括的说就是“左同右异”
总结：
3.常数项
时，抛物线与
轴的交点在
轴上方，即抛物线与
轴交点的纵坐标为正；
轴的交点为坐标原点，即抛物线与
轴交点的纵坐标为
⑶当
轴下方，即抛物线与
轴交点的纵坐标为负．
总结起来，
决定了抛物线与
轴交点的位置．
总之，只要
都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．
二次函数解析式的确定：
根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：
1.已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式（三点式）；
2.已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式（对称式）；
3.已知抛物线与
轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式（两点）；
4.已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．
九、二次函数与一元二次方程：
1.二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与
轴交点情况）：
一元二次方程
是二次函数
当函数值
时的特殊情况.
图象与
轴的交点个数：
①当
时，图象与
轴交于两点
，其中的
是一元二次方程
的两根．这两点间的距离
（即.二次函数与
轴两个交点的距离）
②当
轴只有一个交点；
③当
轴没有交点.
时，图象落在
轴的上方，无论
为任何实数，都有
轴的下方，无论
．
2.抛物线
的图象与
轴一定相交，交点坐标为
十、函数的应用
二次函数应用
注：
在实际应用中凡是需要求最大，最小（或极值）问题一般都要考虑用二次函数的最大值或最小值
二次函数考查重点与常见题型
1．考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：
已知以
为自变量的二次函数
的图像经过原点，则
的值是
2．综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如：
如图，如果函数
的图像在第一、二、三象限内，那么函数
的图像大致是（）
yyyy
11
0xo-1x0x0-1x
ABCD
3．考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如：
已知一条抛物线经过（0,3），（4,6）两点，对称轴为
，求这条抛物线的解析式。
4．考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值，有关试题为解答题，如：
已知抛物线
（a≠0）与x轴的两个交点的横坐标是－1、3，与y轴交点的纵坐标是－
（1）确定抛物线的解析式；
（2）用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.
5．考查代数与几何的综合能力，常见的作为专项压轴题。
【例题经典】
由抛物线的位置确定系数的符号
例1
（1）二次函数
的图像如图1，则点
在（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
（2）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图2所示，则下列结论：
①a、b同号；
②当x=1和x=3时，函数值相等；
③4a+b=0；
④当y=-2时，x的值只能取0.其中正确的个数是（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
（1）
（2）
【点评】弄清抛物线的位置与系数a，b，c之间的关系，是解决问题的关键．
例2.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点（-2，O）、（x1，0），且1<
x1<
2，与y轴的正半轴的交点在点（O，2）的下方．下列结论：
①a<
b<
0；
②2a+c>
O；
③4a+c<
④2a-b+1>
O，其中正确结论的个数为（）
A1个B.2个C.3个D．4个
答案：
D
会用待定系数法求二次函数解析式
例3.已知：
关于x的一元二次方程ax2+bx+c=3的一个根为x=-2，且二次函数y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=2，则抛物线的顶点坐标为（）
A（2，-3）B.（2，1）C（2，3）D．（3，2）
C
例4、如图（单位：
m），等腰三角形ABC以2米/秒的速度沿直线L向正方形移动，直到AB与CD重合．设x秒时，三角形与正方形重叠部分的面积为ym2．
（1）写出y与x的关系式；
（2）当x=2，3.5时，y分别是多少？
（3）当重叠部分的面积是正方形面积的一半时，
三角形移动了多长时间？
求抛物线顶点坐标、
对称轴.
例5、已知抛物线y=
x2+x-
（1）用配方法求它的顶点坐标和对称轴．
（2）若该抛物线与x轴的两个交点为A、B，求线段AB的长．
【点评】本题
（1）是对二次函数的“基本方法”的考查，第
（2）问主要考查二次函数与一元二次方程的关系．
例6、“已知函数
的图象经过点A（c，－2），
求证：
这个二次函数图象的对称轴是x=3。
”题目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字。
（1）根据已知和结论中现有的信息，你能否求出题中的二次函数解析式？
若能，请写出求解过程，并画出二次函数图象；
若不能，请说明理由。
（2）请你根据已有的信息，在原题中的矩形框中，填加一个适当的条件，把原题补充完整。
点评：
对于第
（1）小题，要根据已知和结论中现有信息求出题中的二次函数解析式，就要把原来的结论“函数图象的对称轴是x=3”当作已知来用，再结合条件“图象经过点A（c，－2）”，就可以列出两个方程了，而解析式中只有两个未知数，所以能够求出题中的二次函数解析式。
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