七年级数学二元一次方程组学生讲义.docx

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七年级数学二元一次方程组学生讲义

第1章二元一次方程组

【知识要点】

1．二元一次方程:

含有两个未知数，且未知项的次数为1，这样的方程叫二元一次方程。

①二元一次方程左右两边的代数式必须是整式；（不是整式的化成整式）

②二元一次方程必须含有两个未知数；

③二元一次方程中的“一次”是指含有未知数的项的次数，而不是某个未知数的次数。

2．二元一次方程的解：

能使二元一次方程左右两边的值相等的一对未知数的值叫做二元一次方程的解任何一个二元一次方程都有无数解。

3．二元一次方程组：

①由两个或两个以上的整式方程组成，常用“”把这些方程联合在一起；

②整个方程组中含有两个不同的未知数，且方程组中同一未知数代表同一数量；

③方程组中每个方程经过整理后都是一次方程，

4．二元一次方程组的解：

注意：

方程组的解满足方程组中的每个方程，而每个方程的解不一定是方程组的解。

5．会检验一对数值是不是一个二元一次方程组的解

6．二元一次方程组的解法：

（1）代入消元法

（2）加减消元法

三、理解解二元一次方程组的思想

四、解二元一次方程组的一般步骤

（一）、代入法一般步骤：

变形——代入——求解——回代——写解

（二）、加减法一般步骤：

变形——加减——求解——代入——写解

1.1二元一次方程组的解法

（1）用代入法解二元一次方程组

例：

解方程组

※解题方法：

①编号：

将方程组进行编号；

②变形：

从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有x（或y）的代数式表示y（或x），即变成y=ax+b（或x=ay+b）的形式；

③代入：

将y=ax+b（或x=ay+b）代入另一个方程（不能代入原变形方程）中，消去y（或x），得到一个关于x（或y）的一元一次方程；

④求x（或y）：

解这个一元一次方程，求出x（或y）的值；

⑤求y（或x）：

把x（或y）的值代入y=ax+b（或x=ay+b）中，求出y（或x）的值；

⑥联立：

用“{”联立两个未知数的值，就是方程组的解。

（2）用加减消元法解二元一次方程组

例：

解方程组

※解题方法：

①编号：

将方程组进行编号；

②系数相等：

根据“等式的两边都乘以（或除以）同一个不等于0的数，等式仍然成立”的性质，将原方程组化成有一个未知数的系数绝对值相等的形式；

③相加（或相减）：

根据“等式两边加上（或减去）同一个整式，所得的方程与原方程是同解方程”的性质，将变形后的两个方程相加（或相减），消去一个未知数，得到一个一元一次方程；

④求值：

解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；

⑤求另值：

把求得的未知数的值代入原方程组中比较简单的一个方程中，求出另一个未知数的值；

⑥联立：

用“{”联立两个未知数的值，就是方程组的解。

点评 如果方程组中没有系数是1的未知数，那么就选择系数最简单的未知数来变形．

分析 此方程组里没有一个未知数的系数是1，但方程

（1）中x的系数是2，比较简单，可选择它来变形．

例6 已知xm-n+1y与-2xn-1y3m-2n-5是同类项，求m和n的值．

例8 已知x+2y=2x+y+1=7x-y，求2x-y的值．

　例9 解方程组

　例10 解方程组

　例11 若方程组

的解x、y，满足

，求正数m的取值范围．

　例12 解方程组

　例13　解方程组

1.2二元一次方程组的应用

学习目标：

　1．能够借助二元一次方程组解决简单的实际问题，再次体会二元一次方程组与现实生活的联系和作用

　2．进一步使用代数中的方程去反映现实世界中等量关系，体会代数方法的优越性

　3．体会列方程组比列一元一次方程容易

　4．进一步培养化实际问题为数学问题的能力和分析问题，解决问题的能力

　5．掌握列方程组解应用题的一般步骤；

重点：

　　1．经历和体验用二元一次方程组解决实际问题的过程。

　　2．进一步体会方程（组）是刻画现实世界的有效数学模型。

难点：

正确找出问题中的两个等量关系

知识要点梳理

知识点一：

列方程组解应用题的基本思想

　　列方程组解应用题是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系.一般来说，有几个未知数就列出几个方程，所列方程必须满足：

（1）方程两边表示的是同类量；

（2）同类量的单位要统一；（3）方程两边的数值要相等.

知识点二：

列方程组解应用题中常用的基本等量关系

　　1.行程问题：

（1）追击问题：

追击问题是行程问题中很重要的一种，它的特点是同向而行。

这类问题比较直观，画线段,用图便于理解与分析。

其等量关系式是:

两者的行程差＝开始时两者相距的路程；　

；

；

（2）相遇问题:

相遇问题也是行程问题中很重要的一种，它的特点是相向而行。

这类问题也比较直观，因而也画线段图帮助理解与分析。

这类问题的等量关系是：

双方所走的路程之和＝总路程。

　　（3）航行问题：

①船在静水中的速度＋水速＝船的顺水速度；

　　　　　　　　②船在静水中的速度－水速＝船的逆水速度；

　　　　　　　　③顺水速度－逆水速度＝2×水速。

　　注意：

飞机航行问题同样会出现顺风航行和逆风航行，解题方法与船顺水航行、逆水航行问题类似。

　　2．工程问题：

工作效率×工作时间=工作量.

　　3．商品销售利润问题：

（1）利润＝售价－成本（进价）；

（2）

；（3）利润＝成本（进价）×利润率；

（4）标价＝成本（进价）×（1＋利润率）；（5）实际售价＝标价×打折率；

　　注意：

“商品利润＝售价－成本”中的右边为正时，是盈利；为负时，就是亏损。

打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售。

（例如八折就是按标价的十分之八即五分之四或者百分之八十）

　　4．储蓄问题：

（1）基本概念

　　　①本金：

顾客存入银行的钱叫做本金。

②利息：

银行付给顾客的酬金叫做利息。

　　　③本息和：

本金与利息的和叫做本息和。

④期数：

存入银行的时间叫做期数。

　　　⑤利率：

每个期数内的利息与本金的比叫做利率。

⑥利息税：

利息的税款叫做利息税。

（2）基本关系式

　　　①利息＝本金×利率×期数

　　　②本息和＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期数＝本金×（1＋利率×期数）

　　　③利息税＝利息×利息税率＝本金×利率×期数×利息税率。

　　　④税后利息＝利息×（1－利息税率）⑤年利率＝月利率×12⑥

。

　　注意：

免税利息=利息

　　5．配套问题：

　　解这类问题的基本等量关系是：

总量各部分之间的比例=每一套各部分之间的比例。

　　6．增长率问题：

　　解这类问题的基本等量关系式是：

原量×（1＋增长率）＝增长后的量；

　　　　　　　　　　　　　　　　　原量×（1－减少率）＝减少后的量.

　　7．和差倍分问题：

　　解这类问题的基本等量关系是：

较大量＝较小量＋多余量，总量＝倍数×倍量.

　　8．数字问题：

　　解决这类问题，首先要正确掌握自然数、奇数、偶数等有关概念、特征及其表示。

如当n为整数时，奇数可表示为2n+1（或2n-1），偶数可表示为2n等，有关两位数的基本等量关系式为：

两位数=十位数字

10+个位数字

　　9．浓度问题：

溶液质量×浓度=溶质质量.

　　10．几何问题：

解决这类问题的基本关系式有关几何图形的性质、周长、面积等计算公式

　　11．年龄问题：

解决这类问题的关键是抓住两人年龄的增长数是相等，两人的年龄差是永远不会变的

　　12．优化方案问题：

　　在解决问题时，常常需合理安排。

需要从几种方案中，选择最佳方案，如网络的使用、到不同旅行社购票等，一般都要运用方程解答，得出最佳方案。

　　注意：

方案选择题的题目较长，有时方案不止一种，阅读时应抓住重点,比较几种方案得出最佳方案。

知识点三：

列二元一次方程组解应用题的一般步骤

　　利用二元一次方程组探究实际问题时，一般可分为以下六个步骤：

　　1．审题:

弄清题意及题目中的数量关系；2．设未知数:

可直接设元，也可间接设元；

　　3．找出题目中的等量关系；4．列出方程组:

根据题目中能表示全部含义的等量关系列出方程，并组成方程组；5．解所列的方程组，并检验解的正确性；6．写出答案.

　　要点诠释：

（1）解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去；

（2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称；

　　（3）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组.

　　　解答步骤简记为：

问题

方程组

解答

　　（4）列方程组解应用题应注意的问题

　　①弄清各种题型中基本量之间的关系；②审题时，注意从文字，图表中获得有关信息；③注意用方程组解应用题的过程中单位的书写，设未知数和写答案都要带单位，列方程组与解方程组时，不要带单位；④正确书写速度单位，避免与路程单位混淆；⑤在寻找等量关系时，应注意挖掘隐含的条件；⑥列方程组解应用题一定要注意检验。

经典例题透析

类型一：

列二元一次方程组解决——行程问题

1．甲、乙两地相距160千米，一辆汽车和一辆拖拉机同时由甲、乙两地相向而行，1小时20分相遇.相遇后，拖拉机继续前进，汽车在相遇处停留1小时后调转车头原速返回，在汽车再次出发半小时后追上了拖拉机.这时，汽车、拖拉机各自行驶了多少千米？

举一反三：

　　【变式1】甲、乙两人相距36千米，相向而行，如果甲比乙先走2小时，那么他们在乙出发2.5小时后相遇；如果乙比甲先走2小时，那么他们在甲出发3小时后相遇，甲、乙两人每小时各走多少千米？

【变式2】两地相距280千米，一艘船在其间航行，顺流用14小时，逆流用20小时，求船在静水中的速度和水流速度。

类型二：

列二元一次方程组解决——工程问题

2．一家商店要进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可完成，需付两组费用共3480元，问：

（1）甲、乙两组工作一天，商店应各付多少元？

（2）已知甲组单独做需12天完成，乙组单独做需24天完成，单独请哪组，商店所付费用最少？

总结升华：

工作效率是单位时间里完成的工作量，同一题目中时间单位必须统一，一般地，将工作总量设为1，也可设为a，需根据题目的特点合理选用；工程问题也经常利用线段图或列表法进行分析。

　　举一反三：

　　【变式】小明家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作6周完成需工钱5.2万元；若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周完成，需工钱4.8万元.若只选一个公司单独完成，从节约开支的角度考虑，小明家应选甲公司还是乙公司？

请你说明理由.

类型三：

列二元一次方程组解决——商品销售利润问题

3．有甲、乙两件商品，甲商品的利润率为5%,乙商品的利润率为4%,共可获利46元。

价格调整后，甲商品的利润率为4%，乙商品的利润率为5%，共可获利44元，则两件商品的进价分别是多少元？

　　举一反三：

　　【变式1】（2011湖南衡阳）李大叔去年承包了10亩地种植甲、乙两种蔬菜，共获利18000元，其中甲种蔬菜每亩获利2000元，乙种蔬菜每亩获利1500元，李大叔去年甲、乙两种蔬菜各种植了多少亩？

　　【变式2】某商场用36万元购进A、B两种商品，销售完后共获利6万元，其进价和售价如下表：

A

B

进价（元/件）

1200

1000

售价（元