高考数学理科大一轮复习导学案第六章+不等式推理与证明61+Word版含答案KS5U+文档格式.docx
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4．可乘性：
0⇒ac>
bc；
b>
0，c>
d>
bd；
5．可乘方：
0⇒an>
bn（n∈N，n≥2）；
6．可开方：
0⇒>
（n∈N，n≥2）．
3．（2019·
南宁、柳州联考）设a>
b，a，b，c∈R，则下列式子正确的是（ C ）
A．ac2>
bc2B.>
1
C．a－c>
b－cD．a2>
b2
b，若c＝0，则ac2＝bc2，故A错；
b，若b<
0，则
<
1，故B错；
b，不论c取何值，都有a－c>
b－c，故C正确；
b，若a，b都小于0，则a2<
b2，故D错．于是选C.
4．已知下列四个条件：
①b>
0>
②0>
b；
③a>
④a>
0.不能推出<
成立的序号是③.
①若b>
a，则<
0<
，故①正确；
②若0>
b，则ab>
0，∴>
，即<
，故②正确；
③若a>
b，则>
，故不能推出<
，因此③不正确；
④若a>
0，则>
，故④正确．综上可知，不能推出<
成立的是③.
5．若1<
α<
3，－4<
β<
2，则－β的取值范围是.
由1<
3得<
，
由－4<
2得－2<
－β<
4，
所以－<
所以－β的取值范围是.
1．比较两个代数式的大小通常用作差法或作商法，也可结合函数、不等式的性质比较．
2．倒数性质的几个必备结论
（1）a>
b，ab>
0⇒<
.
（2）a<
b⇒<
（3）a>
0,0<
c<
d⇒>
（4）0<
a<
x<
b或a<
b<
考向一 比较大小
【例1】
（1）已知a，b，c为正数，且3a＝4b＝6c，则下列正确的是（ ）
A．6c<
3a<
4bB．6c<
4b<
3a
C．3a<
6cD．4b<
6c
（2）已知a>
0，P＝，Q＝，则P，Q的大小关系为________．
【解析】
（1）令3a＝4b＝6c＝k，则a＝log3k，b＝log4k，c＝log6k，则＝＝＝<
1，则3a<
4b，又＝＝＝<
1，则4b<
6c，所以3a<
6c，故选C.
（2）P－Q＝－
＝
＝.
因为a>
0，所以2ab>
0，a－b>
0，a2＋b2>
0，a＋b>
0，所以>
0，所以P>
Q.
【答案】
（1）C
（2）P>
Q
（1）判断两个式子的大小关系的方法：
作差、作商法；
不等式性质法；
单调性法；
中间量法；
特殊值法；
数形结合法等.
（2）作差法的一般步骤：
作差，变形，定号，得出结论.
（1）设a，b∈[0，＋∞），A＝＋，B＝，则A，B的大小关系是（ B ）
A．A≤BB．A≥B
C．A<
BD．A>
B
（2）若a＝，b＝，c＝，则（ B ）
A．a<
cB．c<
a
C．c<
bD．b<
c
（1）∵A≥0，B≥0，A2－B2＝a＋2＋b－（a＋b）＝2≥0，∴A≥B.
（2）方法1：
易知a，b，c都是正数，＝＝log8164<
1，所以a>
＝＝log6251024>
1，所以b>
c.即c<
a.
方法2：
对于函数y＝f（x）＝，y′＝，易知当x>
e时，函数f（x）单调递减．因为e<
3<
4<
5，所以f（3）>
f（4）>
f（5），即c<
考向二 不等式的性质
【例2】
（1）若a>
0，c<
d<
0，则一定有（ ）
A.>
B.<
C.>
D.<
（2）若a>
0，且ab＝1，则下列不等式成立的是（ ）
A．a＋<
log2（a＋b）
B.<
log2（a＋b）<
a＋
C．a＋<
D．log2（a＋b）<
a＋<
【解析】
（1）由c<
0⇒－>
－>
0，又a>
0，故由不等式性质，得－>
0，所以<
（2）解法1：
0，且ab＝1，
所以a>
1,0<
1，所以a＋＝a＋a＝2a>
2，log2（a＋b）＝log2a＋>
log2＝log22＝1，＝<
1.可知最小，由选项知选B.
解法2：
选择题也可以考虑直接赋值，关键是要看出由a>
0，且ab＝1可以得出a>
1>
0，然后取符合要求的值，可以取a＝2，b＝，比较4，，log2，则易得答案为B.
【答案】
（1）D
（2）B
（1）判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明.常用的推理判断需要利用不等式的性质.
（2）在判断一个关于不等式的命题真假时，先把要判断的命题和不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题真假，当然判断的同时还要用到其他知识，比如对数函数、指数函数的性质等.
（1）若a，b为实数，则“0<
ab<
1”是“a<
或b>
”的（ A ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
（2）若<
0，则下列不等式：
①a＋b<
ab；
②|a|
>
|b|；
③a<
④ab<
b2中，正确的不等式是（ C ）
A．①②B．②③
C．①④D．③④
（3）（2018·
北京卷）能说明“若a>
b，则<
”为假命题的一组a，b的值依次为1，－1（答案不唯一）．
（1）对于0<
1，如果a>
0，则b>
0，a<
成立，如果a<
0，则b<
0，b>
成立，因此“0<
”的充分条件；
反之，若a＝－1，b＝2，结论“a<
”成立，但条件0<
1不成立，因此“0<
1”不是“a<
”的必要条件．即“0<
”的充分不必要条件．
（2）因为<
0，所以b<
0，a＋b<
0，ab>
0，所以a＋b<
ab，|a|<
|b|，在b<
a两边同时乘以b，因为b<
0，所以ab<
b2.因此正确的是①④.
（3）由题意知，当a＝1，b＝－1时，满足a>
b，但是>
，故答案可以为1，－1.（答案不唯一，满足a>
0，b<
0即可）
考向三 不等式性质的应用
【例3】
（1）三个正数a，b，c满足a≤b＋c≤2a，b≤a＋c≤2b，则的取值范围是（ ）
A.B.
C．[2,3]D．[1,2]
（2）已知－≤2x＋y≤，－≤3x＋y≤，则9x＋y的取值范围是________．
【解析】
（1）三个正数a，b，c满足a≤b＋c≤2a，b≤a＋c≤2b，∴1≤＋≤2，≤1＋≤，即－≤－1－≤－，∴1－≤－1≤2－，即
即∴≤≤，故选A.
（2）设9x＋y＝a（2x＋y）＋b（3x＋y），则9x＋y＝（2a＋3b）x＋（a＋b）y，于是比较两边系数得得a＝－6，b＝7.由已知不等式得－3≤－6（2x＋y）≤3，－≤7（3x＋y）≤，所以－≤9x＋y≤.
【答案】
（1）A
（2）
运用不等式的性质解决问题时，常用的方法是正确使用不等式的性质直接推导，并注意不等式性质成立的条件以及等价转化的思想，比如减法可以转化为加法，除法可以转化为乘法等.但应注意两点：
一是必须严格运用不等式的性质；
二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围，解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，再通过“一次性”不等关系的运算求解范围.
（1）已知－1<
y<
3，则x－y的取值范围是（－4,0）．
∵－1<
3，－1<
3，∴－3<
－y<
1，∴－4<
x－y<
4.
又∵x<
y，∴x－y<
0，∴－4<
0，故x－y的取值范围为（－4,0）．
（2）已知二次函数y＝f（x）的图象过原点，且1≤f（－1）≤2,3≤f
（1）≤4，求f（－2）的取值范围．
解：
因为二次函数y＝f（x）的图象过原点，所以设y＝f（x）＝ax2＋bx（a≠0），
由题意知
解法1：
（待定系数法）由题意知f（－2）＝4a－2b，设存在实数x，y，使得4a－2b＝x（a＋b）＋y（a－b），即4a－2b＝（x＋y）a＋（x－y）b，所以解得所以f（－2）＝4a－2b＝（a＋b）＋3（a－b）．
又3≤a＋b≤4,3≤3（a－b）≤6，
所以6≤（a＋b）＋3（a－b）≤10，
即f（－2）的取值范围是[6,10]．因为二次函数y＝f（x）的图象过原点，所以设y＝f（x）＝ax2＋bx（a≠0），由题意知
（待定系数法）由题意知f（－2）＝4a－2b，设存在实数x，y，使得4a－2b＝x（a＋b）＋y（a－b），即4a－2b＝（x＋y）a＋（x－y）b，所以解得
所以f（－2）＝4a－2b＝（a＋b）＋3（a－b）．
即f（－2）的取值范围是[6,10]．
（运用方程思想）由
得
所以f（－2）＝4a－2b＝3f（－1）＋f
（1）．
又所以6≤3f（－1）＋f
（1）≤10，即f（－2）的取值范围是[6,10]．
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