高考数学理科大一轮复习导学案第六章+不等式推理与证明61+Word版含答案KS5U+文档格式.docx
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4.可乘性:
0⇒ac>
bc;
b>
0,c>
d>
bd;
5.可乘方:
0⇒an>
bn(n∈N,n≥2);
6.可开方:
0⇒>
(n∈N,n≥2).
3.(2019·
南宁、柳州联考)设a>
b,a,b,c∈R,则下列式子正确的是( C )
A.ac2>
bc2B.>
1
C.a-c>
b-cD.a2>
b2
b,若c=0,则ac2=bc2,故A错;
b,若b<
0,则
<
1,故B错;
b,不论c取何值,都有a-c>
b-c,故C正确;
b,若a,b都小于0,则a2<
b2,故D错.于是选C.
4.已知下列四个条件:
①b>
0>
②0>
b;
③a>
④a>
0.不能推出<
成立的序号是③.
①若b>
a,则<
0<
,故①正确;
②若0>
b,则ab>
0,∴>
,即<
,故②正确;
③若a>
b,则>
,故不能推出<
,因此③不正确;
④若a>
0,则>
,故④正确.综上可知,不能推出<
成立的是③.
5.若1<
α<
3,-4<
β<
2,则-β的取值范围是.
由1<
3得<
,
由-4<
2得-2<
-β<
4,
所以-<
所以-β的取值范围是.
1.比较两个代数式的大小通常用作差法或作商法,也可结合函数、不等式的性质比较.
2.倒数性质的几个必备结论
(1)a>
b,ab>
0⇒<
.
(2)a<
b⇒<
(3)a>
0,0<
c<
d⇒>
(4)0<
a<
x<
b或a<
b<
考向一 比较大小
【例1】
(1)已知a,b,c为正数,且3a=4b=6c,则下列正确的是( )
A.6c<
3a<
4bB.6c<
4b<
3a
C.3a<
6cD.4b<
6c
(2)已知a>
0,P=,Q=,则P,Q的大小关系为________.
【解析】
(1)令3a=4b=6c=k,则a=log3k,b=log4k,c=log6k,则===<
1,则3a<
4b,又===<
1,则4b<
6c,所以3a<
6c,故选C.
(2)P-Q=-
=
=.
因为a>
0,所以2ab>
0,a-b>
0,a2+b2>
0,a+b>
0,所以>
0,所以P>
Q.
【答案】
(1)C
(2)P>
Q
(1)判断两个式子的大小关系的方法:
作差、作商法;
不等式性质法;
单调性法;
中间量法;
特殊值法;
数形结合法等.
(2)作差法的一般步骤:
作差,变形,定号,得出结论.
(1)设a,b∈[0,+∞),A=+,B=,则A,B的大小关系是( B )
A.A≤BB.A≥B
C.A<
BD.A>
B
(2)若a=,b=,c=,则( B )
A.a<
cB.c<
a
C.c<
bD.b<
c
(1)∵A≥0,B≥0,A2-B2=a+2+b-(a+b)=2≥0,∴A≥B.
(2)方法1:
易知a,b,c都是正数,==log8164<
1,所以a>
==log6251024>
1,所以b>
c.即c<
a.
方法2:
对于函数y=f(x)=,y′=,易知当x>
e时,函数f(x)单调递减.因为e<
3<
4<
5,所以f(3)>
f(4)>
f(5),即c<
考向二 不等式的性质
【例2】
(1)若a>
0,c<
d<
0,则一定有( )
A.>
B.<
C.>
D.<
(2)若a>
0,且ab=1,则下列不等式成立的是( )
A.a+<
log2(a+b)
B.<
log2(a+b)<
a+
C.a+<
D.log2(a+b)<
a+<
【解析】
(1)由c<
0⇒->
->
0,又a>
0,故由不等式性质,得->
0,所以<
(2)解法1:
0,且ab=1,
所以a>
1,0<
1,所以a+=a+a=2a>
2,log2(a+b)=log2a+>
log2=log22=1,=<
1.可知最小,由选项知选B.
解法2:
选择题也可以考虑直接赋值,关键是要看出由a>
0,且ab=1可以得出a>
1>
0,然后取符合要求的值,可以取a=2,b=,比较4,,log2,则易得答案为B.
【答案】
(1)D
(2)B
(1)判断不等式是否成立,需要逐一给出推理判断或反例说明.常用的推理判断需要利用不等式的性质.
(2)在判断一个关于不等式的命题真假时,先把要判断的命题和不等式性质联系起来考虑,找到与命题相近的性质,并应用性质判断命题真假,当然判断的同时还要用到其他知识,比如对数函数、指数函数的性质等.
(1)若a,b为实数,则“0<
ab<
1”是“a<
或b>
”的( A )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
(2)若<
0,则下列不等式:
①a+b<
ab;
②|a|
>
|b|;
③a<
④ab<
b2中,正确的不等式是( C )
A.①②B.②③
C.①④D.③④
(3)(2018·
北京卷)能说明“若a>
b,则<
”为假命题的一组a,b的值依次为1,-1(答案不唯一).
(1)对于0<
1,如果a>
0,则b>
0,a<
成立,如果a<
0,则b<
0,b>
成立,因此“0<
”的充分条件;
反之,若a=-1,b=2,结论“a<
”成立,但条件0<
1不成立,因此“0<
1”不是“a<
”的必要条件.即“0<
”的充分不必要条件.
(2)因为<
0,所以b<
0,a+b<
0,ab>
0,所以a+b<
ab,|a|<
|b|,在b<
a两边同时乘以b,因为b<
0,所以ab<
b2.因此正确的是①④.
(3)由题意知,当a=1,b=-1时,满足a>
b,但是>
,故答案可以为1,-1.(答案不唯一,满足a>
0,b<
0即可)
考向三 不等式性质的应用
【例3】
(1)三个正数a,b,c满足a≤b+c≤2a,b≤a+c≤2b,则的取值范围是( )
A.B.
C.[2,3]D.[1,2]
(2)已知-≤2x+y≤,-≤3x+y≤,则9x+y的取值范围是________.
【解析】
(1)三个正数a,b,c满足a≤b+c≤2a,b≤a+c≤2b,∴1≤+≤2,≤1+≤,即-≤-1-≤-,∴1-≤-1≤2-,即
即∴≤≤,故选A.
(2)设9x+y=a(2x+y)+b(3x+y),则9x+y=(2a+3b)x+(a+b)y,于是比较两边系数得得a=-6,b=7.由已知不等式得-3≤-6(2x+y)≤3,-≤7(3x+y)≤,所以-≤9x+y≤.
【答案】
(1)A
(2)
运用不等式的性质解决问题时,常用的方法是正确使用不等式的性质直接推导,并注意不等式性质成立的条件以及等价转化的思想,比如减法可以转化为加法,除法可以转化为乘法等.但应注意两点:
一是必须严格运用不等式的性质;
二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围,解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系,再通过“一次性”不等关系的运算求解范围.
(1)已知-1<
y<
3,则x-y的取值范围是(-4,0).
∵-1<
3,-1<
3,∴-3<
-y<
1,∴-4<
x-y<
4.
又∵x<
y,∴x-y<
0,∴-4<
0,故x-y的取值范围为(-4,0).
(2)已知二次函数y=f(x)的图象过原点,且1≤f(-1)≤2,3≤f
(1)≤4,求f(-2)的取值范围.
解:
因为二次函数y=f(x)的图象过原点,所以设y=f(x)=ax2+bx(a≠0),
由题意知
解法1:
(待定系数法)由题意知f(-2)=4a-2b,设存在实数x,y,使得4a-2b=x(a+b)+y(a-b),即4a-2b=(x+y)a+(x-y)b,所以解得所以f(-2)=4a-2b=(a+b)+3(a-b).
又3≤a+b≤4,3≤3(a-b)≤6,
所以6≤(a+b)+3(a-b)≤10,
即f(-2)的取值范围是[6,10].因为二次函数y=f(x)的图象过原点,所以设y=f(x)=ax2+bx(a≠0),由题意知
(待定系数法)由题意知f(-2)=4a-2b,设存在实数x,y,使得4a-2b=x(a+b)+y(a-b),即4a-2b=(x+y)a+(x-y)b,所以解得
所以f(-2)=4a-2b=(a+b)+3(a-b).
即f(-2)的取值范围是[6,10].
(运用方程思想)由
得
所以f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f
(1).
又所以6≤3f(-1)+f
(1)≤10,即f(-2)的取值范围是[6,10].