浙江高考数学二轮复习教师用书第1部分 重点强化专题 专题5 突破点13 圆锥曲线中的综合问题Word格式.docx

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x<

.过点B作直线AP的垂线，垂足为Q.

图131

（1）求直线AP斜率的取值范围．

（2）求|PA|·

|PQ|的最大值．

[解]

（1）设直线AP的斜率为k，k＝＝x－，

因为－<

，

所以直线AP斜率的取值范围是（－1,1）.6分

（2）联立直线AP与BQ的方程

解得点Q的横坐标是xQ＝.9分

因为|PA|＝＝（k＋1），

|PQ|＝（xQ－x）＝－，

所以|PA|·

|PQ|＝－（k－1）（k＋1）3.12分

令f（k）＝－（k－1）（k＋1）3，

因为f′（k）＝－（4k－2）（k＋1）2，

所以f（k）在区间上单调递增，上单调递减，因此当k＝时，|PA|·

|PQ|取得最大值.15分

2．（2016·

浙江高考）如图132，设椭圆＋y2＝1（a>

1）．

图132

（1）求直线y＝kx＋1被椭圆截得的线段长（用a，k表示）；

（2）若任意以点A（0,1）为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围．

[解]　

（1）设直线y＝kx＋1被椭圆截得的线段为AM，

由得（1＋a2k2）x2＋2a2kx＝0，3分

故x1＝0，x2＝－.

因此|AM|＝|x1－x2|＝·

.5分

（2）假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y轴左侧的椭圆上有两个不同的点P，Q，满足|AP|＝|AQ|.7分

记直线AP，AQ的斜率分别为k1，k2，且k1，k2>

0，k1≠k2.

由

（1）知，|AP|＝，

|AQ|＝，

故＝，9分

所以（k－k）[1＋k＋k＋a2（2－a2）kk]＝0.

由于k1≠k2，k1，k2>

0得

1＋k＋k＋a2（2－a2）kk＝0，

因此＝1＋a2（a2－2）．①

因为①式关于k1，k2的方程有解的充要条件是

1＋a2（a2－2）>

1，

所以a>

.13分

因此，任意以点A（0,1）为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1<

a≤.

由e＝＝，得0<

e≤.

所求离心率的取值范围为0<

e≤.15分

3．（2015·

浙江高考）已知椭圆＋y2＝1上两个不同的点A，B关于直线y＝mx＋对称．

（1）求实数m的取值范围；

（2）求△AOB面积的最大值（O为坐标原点）．

图133

[解]　

（1）由题意知m≠0，

可设直线AB的方程为y＝－x＋b.3分

由消去y，得

x2－x＋b2－1＝0.5分

因为直线y＝－x＋b与椭圆＋y2＝1有两个不同的交点，所以Δ＝－2b2＋2＋>

0.①

将线段AB中点M代入直线方程y＝mx＋解得b＝－.

②

由①②得m<

－或m>

.7分

（2）令t＝∈∪，

则|AB|＝·

且O到直线AB的距离为d＝.10分

设△AOB的面积为S（t），所以

S（t）＝|AB|·

d＝≤，

当且仅当t2＝时，等号成立．

故△AOB面积的最大值为.15分

4．（2014·

浙江高考）已知△ABP的三个顶点都在抛物线C：

x2＝4y上，F为抛物线C的焦点，点M为AB的中点，＝3.

（1）若|PF|＝3，求点M的坐标；

（2）求△ABP面积的最大值．

图134

[解]　

（1）由题意知焦点F（0,1），准线方程为y＝－1.2分

设P（x0，y0），由抛物线定义知|PF|＝y0＋1，得到y0＝2，所以P（2，2）或P（－2，2）．

由＝3得M或M.6分

（2）设直线AB的方程为y＝kx＋m，点A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0）．

由得x2－4kx－4m＝0.8分

于是Δ＝16k2＋16m＞0，x1＋x2＝4k，x1x2＝－4m，所以AB的中点M的坐标为（2k,2k2＋m）．

由＝3，得（－x0,1－y0）＝3（2k,2k2＋m－1），

所以由x＝4y0，得k2＝－m＋.10分

由Δ＞0，k2≥0，得－＜m≤.

又因为|AB|＝4·

点F（0,1）到直线AB的距离为d＝，

所以S△ABP＝4S△ABF＝8|m－1|

＝.

记f（m）＝3m3－5m2＋m＋1，

令f′（m）＝9m2－10m＋1＝0，解得m1＝，m2＝1.12分

可得f（m）在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数．

又f＝＞f，所以，当m＝时，f（m）取到最大值，此时k＝±

.

所以，△ABP面积的最大值为.15分

（对应学生用书第49页）

热点题型1　圆锥曲线中的定值问题

题型分析：

圆锥曲线中的定值问题是近几年高考的热点内容，解决这类问题的关键是引入变化的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式恒成立，数式变换等寻找不受参数影响的量.

【例1】　已知椭圆C：

＋＝1（a＞b＞0）上一点P与椭圆右焦点的连线垂直于x轴，直线l：

y＝kx＋m与椭圆C相交于A，B两点（均不在坐标轴上）．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）设O为坐标原点，若△AOB的面积为，试判断直线OA与OB的斜率之积是否为定值？

【导学号：

68334131】

[解]　

（1）由题意知解得3分

∴椭圆C的标准方程为＋＝1.4分

（2）设点A（x1，y1），B（x2，y2），

由得（4k2＋3）x2＋8kmx＋4m2－12＝0，5分

由Δ＝（8km）2－16（4k2＋3）（m2－3）＞0，得m2＜4k2＋3.6分

∵x1＋x2＝，x1x2＝，

∴S△OAB＝|m||x1－x2|＝|m|·

＝，8分

化简得4k2＋3－2m2＝0，满足Δ＞0，从而有4k2－m2＝m2－3（*），9分

∴kOA·

kOB＝＝＝

＝＝－·

，由（*）式，得＝1，12分

kOB＝－，即直线OA与OB的斜率之积为定值－.15分

[方法指津]

求解定值问题的两大途径

1.→

2．先将式子用动点坐标或动线中的参数表示，再利用其满足的约束条件使其绝对值相等的正负项抵消或分子、分母约分得定值．

[变式训练1]　已知椭圆C：

＋＝1过A（2,0），B（0,1）两点．

（1）求椭圆C的方程及离心率；

（2）设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：

四边形ABNM的面积为定值．

[解]　

（1）由题意得a＝2，b＝1，

∴椭圆C的方程为＋y2＝1.3分

又c＝＝，∴离心率e＝＝.5分

（2）证明：

设P（x0，y0）（x0＜0，y0＜0），则x＋4y＝4.6分

又A（2,0），B（0,1），∴直线PA的方程为y＝（x－2）．

令x＝0，得yM＝－，从而|BM|＝1－yM＝1＋.9分

直线PB的方程为y＝x＋1.

令y＝0，得xN＝－，从而|AN|＝2－xN＝2＋.12分

∴四边形ABNM的面积S＝|AN|·

|BM|

＝

＝＝2.

从而四边形ABNM的面积为定值.15分

热点题型2　圆锥曲线中的最值、范围问题

圆锥曲线中的最值、范围问题是高考重点考查的内容，解决此类问题常用的方法是几何法和代数法.

【例2】　设圆x2＋y2＋2x－15＝0的圆心为A，直线l过点B（1,0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.

（1）证明|EA|＋|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；

（2）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围．

[解]　

（1）因为|AD|＝|AC|，EB∥AC，

所以∠EBD＝∠ACD＝∠ADC，所以|EB|＝|ED|，

故|EA|＋|EB|＝|EA|＋|ED|＝|AD|.

又圆A的标准方程为（x＋1）2＋y2＝16，从而|AD|＝4，

所以|EA|＋|EB|＝4.2分

由题设得A（－1,0），B（1,0），|AB|＝2，

由椭圆定义可得点E的轨迹方程为＋＝1（y≠0）.4分

（2）当l与x轴不垂直时，设l的方程为y＝k（x－1）（k≠0），M（x1，y1），N（x2，y2）．

由得（4k2＋3）x2－8k2x＋4k2－12＝0，

则x1＋x2＝，x1x2＝.

所以|MN|＝|x1－x2|＝.

过点B（1,0）且与l垂直的直线m：

y＝－（x－1），点A到直线m的距离为，

6分

所以|PQ|＝2＝4.

故四边形MPNQ的面积S＝|MN||PQ|＝12.8分

可得当l与x轴不垂直时，四边形MPNQ面积的取值范围为（12,8）.12分

当l与x轴垂直时，其方程为x＝1，|MN|＝3，|PQ|＝8，

故四边形MPNQ的面积为12.

综上，四边形MPNQ面积的取值范围为[12,8）.15分

与圆锥曲线有关的取值范围问题的三种解法

1．数形结合法：

利用待求量的几何意义，确定出极端位置后数形结合求解．

2．构建不等式法：

利用已知或隐含的不等关系，构建以待求量为元的不等式求解．

3．构建函数法：

先引入变量构建以待求量为因变量的函数，再求其值域．

[变式训练2]　（名师押题）已知抛物线C：

x2＝2py（p＞0），过其焦点作斜率为1的直线l交抛物线C于M，N两点，且|MN|＝16.

（1）求抛物线C的方程；

（2）已知动圆P的圆心在抛物线C上，且过定点D（0,4），若动圆P与x轴交于A，B两点，求＋的最大值.【导学号：

68334132】

[解]　

（1）设抛物线的焦点为F，

则直线l：

y＝x＋.

由得x2－2px－p2＝0，

∴x1＋x2＝2p，∴y1＋y2＝3p，

∴|MN|＝y1＋y2＋p＝4p＝16，∴p＝4，

∴抛物线C的方程为x2＝8y.4分

（2）设动圆圆心P（x0，y0），A（x1,0），B（x2,0），

则x＝8y0，且圆P：

（x－x0）2＋（y－y0）2＝x＋（y0－4）2，

令y＝0，整理得x2－2x0x＋x－16＝0，

解得x1＝x0－4，x2＝x0＋4，6分

设t＝＝＝＝，

当