初中数学竞赛辅导圆文档格式.docx

初中数学竞赛辅导圆文档格式.docx

《初中数学竞赛辅导圆文档格式.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《初中数学竞赛辅导圆文档格式.docx（34页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

证明：

略

判定方法：

1．定义法：

若存在一点O使OA=OB=OC=OD，则A，B，C，D四点共圆

2．定理1：

若凸四边形ABCD的对角互补，则此凸四边形ABCD有一外接圆

特别地，当凸四边形ABCD中有一双对角都是90度时，此四边形有一外接圆

3．视角定理：

若折四边形ABCD中，，则A，B，C，D四点共圆

如上图，连CD，AB，设AC与BD交于点P

因为，所以

特别地，当=90时，四边形ABCD有一外接圆

2．圆幂定理：

圆幂定理是圆的相交弦定理、切割线定理、割线定理、切线长定理的统一形式。

相交弦定理：

P是圆内任一点，过P作圆的两弦AB，CD，则

（切）割线定理：

P是圆外任意一点，过P任作圆的两割（切）线PAB，PCD，则

证明方法与相交弦定理完全一样，可仿前。

特别地，当C，D两点重合成为一点C’时，割线PCD变成为切线PC’

而由割线定理，，此时割线定理成为切割线定理

而当B，A两点亦重合为一点A’时，由切割线定理

因此有PC’=PA’，此时切割线定理成为切线长定理

现考虑割线与切线同时存在的情况，即切割线定理的情况：

如图，PCD是圆的割线，PE是圆的切线

设圆心为O，连PO，OE，则由切割线定理有：

而注意到黄色Δ是RTΔ，由勾股定理有：

，结合切割线定理，我们得到

，这个结果表明，如果圆心O与P是确定的，那么

PC与PD之积也是唯一确定的。

以上是P在圆外的讨论

现在再重新考虑P在圆内的情形，如下图，PCD是圆内的现，PAB是以P为中点的弦

则由相交弦定理有

连OP，OA，由垂径定理，ΔOPA是RTΔ由勾股定理有

，结合相交弦定理，便得到

这个结果同样表明，当O与P是固定的时候PC与PD之积是定值

以上是P在圆内的讨论

当P在圆上时，过P任作一弦交圆于A（即弦AP），此时

也是定值

综上，我们可以把相交弦定理，切割线定理，割线定理，切线长定理统一起来，得到圆幂定理。

圆幂定理：

P是圆O所在平面上任意一点（可以在圆内，圆上，圆外），过点P任作一直线交圆O于A，B两点（A，B两点可以重合，也可以之一和P重合），圆O半径为r

则我们有：

由上面我们可以看到，当P点在圆内的时候，，此时圆幂定理为相交弦定理

当P在圆上的时候，

当P在圆外的时候，此时圆幂定理为切割线定理，割线定理，或切线长定理

以下有很重要的概念和定理：

根轴

先来定义幂的概念：

从一点A作一圆周上的任一割线，从A起到和圆周相交为止的两线段之积，称为点对于这圆周的幂

对于已知两圆有等幂的点的轨迹，是一条垂直于连心线的直线。

根轴的定义：

两圆等幂点的轨迹是一条直线，这条直线称为两圆的根轴

性质1若两圆相交，其根轴就是公共弦所在直线

由于两圆交点对于两圆的幂都是0，所以它们位于根轴上，而根轴是直线，所以根轴是两交点的连线

性质2若两圆相切，其根轴就是过两圆切点的公切线（即性质1的极限情况）

性质3若三圆两两不同心，则其两两的根轴交于一点，或互相平行

所交的这点称为根心

若三圆心共线，则两两圆的根轴均垂直于连心线，因此此时两两的根轴互相平行

若三圆心不共线，则必成一三角形，因此两两的根轴必垂直于两两的连心线。

如图，设CD与EF交于点O，连AO交圆分O2圆O3于B’,B’’，则

其中前两式是点O对圆O2的幂，后二式是点O对圆O3的幂，中间是圆O对圆O1的幂进行转化

由此B’与B’’重合，事实上它们就是点B（圆O2与圆O3的非A的交点），由此两两的根轴共点

圆幂定理是对于圆适用的定理，今使用圆幂定理对圆内接四边形判定方法的补充：

圆内接四边形判定方法

4．相交弦定理逆定理：

如果四边形ABCD的对角线AC，BD交于点P，且满足

，则四边形ABCD有一外接圆

5．切割线定理逆定理：

如果凸四边形ABCD一双对边AB与DC交于点P

且满足，则四边形ABCD有一外接圆

这样我们就补充了两种判定方法

例（射影定理）：

RTΔABC中，BC是斜边，AD是斜边上的高

则

（1）

（2）（3）

例2：

垂心

ΔABC中，三边所在的高的所在的直线交于一点

3．Miquel定理

之前1，2的重要定理都是讨论关于点共圆的情况。

那么反过来，圆共点的情况又如何？

从最简单的开始了解，在本文之后讨论圆共点问题中，甚至其他类型的问题，Miquel定理都给予莫大的便利，我们将要不止一次地用到它。

先看一个事实：

如图，ΔABC中，AD，BE，CF分别是三边上的高，则分别以AEF，BDF，CDE作圆

这三个圆共于一点，而且可以通过观察，这个点就是垂心刚好是AD，BE，CF的交点

在介绍Miquel定理之后，我们将会给这题与垂心一个阐释

Miquel定理：

ΔABC中，X，Y，Z分别是直线AB，BC，AC上的点，则

这样的点O称为X，Y，Z对于ΔABC的Miquel点

事实上这个证明隐含着对一般证圆共点的方法

在发掘Miquel定理的证明方法时可以得到一种更一般的证题方法

注意这个证明只在X，Y，Z在AB，BC，AC边上时可以

当在直线AB，BC，AC上时需要改一下，这里略去了。

现在回到之前关于垂心的问题。

为什么D，E，F关于ΔABC的Miquel点就是ΔABC的垂心

有了Miquel定理，我们可以对垂心有一个新的看法

用同样的方法可以对内心，外心以同样的解释：

由此可见，共点圆与三角形的特殊点有很大的关系，上述3种只是最简单的最容易发现的

提起外心就会联想到外接圆，这里不得不提一个常用定理：

正弦定理

正弦定理：

ΔABC中，外接圆半径R，则

作直径AOD，连BD

其余同理

想到三角函数里面的函数名，那么自然会想到余弦定理

余弦定理：

接着便就是著名的费马点，它也与共点圆有关系

费马点，即ΔABC内一点，使其到三顶点距离之和最小的点

当ΔABC任一内角都<

120时，费马点存在于内部，当Δ有一内角>

=120时费马点与此角顶点重合

设ΔABC中任一内角均<

120，则费马点F可以通过如下方法作出来：

分别以AB，AC，BC向外作正Δ，连接对着的顶点，则得

事实上，点F是这3个正Δ的外接圆所共的点

而FA+FB+FC其实就是顶点到对着的正Δ顶点的连线的长

而且之后将会有一种方法计算FA+FB+FC的长度

而这将会在之后进行讨论

4．Simson定理

Simson定理是常用而且著名的定理，多用于证明点共线，其逆定理也成立

Simson定理：

P是ΔABC外接圆上一点，过点P作PD垂直BC，PE垂直于AB，同理PF

则D，E，F是共线的三点

直线DEF称为点P关于ΔABC的Simson线

引理（完全四边形的Miquel定理）：

四条直线两两交于A，B，C，D，E，F六点

则共点

其中所共的点叫做完全四边形的Miquel点

这里运用Miquel定理作为证明

今逆定理证略

从这个证明我们看到Miquel定理的威力不仅在于圆共点，而且对于共点圆也同样适用

在有了Simson定理之后，我们可以运用Simson定理来给予完全四边形的Miquel定理一个新的证明（即前面的引理）

由这个证明，我们可以知道完全四边形的Miquel定理和Simson定理是等价的

能够运用Simson定理证明的必也可用完全四边形的密克定理证明，反之亦然

这样，Simson定理便与密克定理产生了莫大的关联

例.如图，P为ΔABC外接圆上一点，作交圆周于A’，作交圆周于B’，C’同理。

求证：

设PA’交BC于D，PB’交AC于E，F同理，则由Simson定理知，DEF三点共线

由图形看来，题断三条互相平行的线均与Simson线平行，因此可以试证

连PB

而注意到P，B，D，F四点共圆，因此

因此AA’与Simson线平行。

事实上，Simson定理可以作推广，成为Carnot定理

Carnot定理：

通过ΔABC外接圆上的一点P，引与三边BC，CA，AB分别成同向等角（即）的直线PD，PE，PF与三边或其所在直线的交点分别为D，E，F则D，E，F是共线的三点

可以仿照前面的证明

（这里的证明也可以运用四点共圆的判定定理与性质，再证）

证明留给读者，作为习题

5．Ptolemy定理

本文主要介绍一些平面几何圆中较为重要和常用的定理，而Ptolemy定理是一个十分重要的定理，及其也有重要的推广

Ptolemy定理：

若四边形ABCD是圆内接四边形，则

至此，我们重新把求费马点至三顶点距离的长度和的问题提出，运用Ptolemy定理解决：

如图，设AB=c,AC=b,BC=a由，有A，F，B’,C四点共圆

（这里我们用到著名的求积公式:

证略）.

至此，本文平面几何圆的基础知识已经全部介绍完毕，这里将以著名的Chapple定理结束（只做了解）

这是与圆幂定理的应用有关的定理之一

Chapple定理：

设R是ΔABC的外接圆半径，r是内切圆半径,d是这两圆的圆心距，则

事实上Chapple定理对旁心也有相应的公式，不过是等号右边的符号-变+

但对本文不提及旁心，因此略去

习题：

第一部分（四点共圆的应用）

1.如图，在△ABC中，AB=AC.任意延长CA到P，再延长AB到Q使AP=BQ.求证：

△ABC的外心O与A,P,Q四点共圆.（1994年全国初中数学联合竞赛二试第1题）

2.如图，在中，是底边上一点，是线段上一点，且.求证：

.（1992年全国初中数学联合竞赛二试第2题）

3.如图，设AB,CD为⊙O的两直径，过B作PB垂直于AB,并与CD延长线相交于点P,过P作直线与⊙O分别交于E,F两点，连结AE,AF分别与CD交于G,H求证:

OG=OH.（2002年我爱数学初中生夏令营一试第2题）.

第二部分（圆幂定理的应用）

4.如图，等边三角形ABC中，边AB与⊙O相切于点H，边BC,CA与⊙O交于点D,E,F,G。

已知AG=2,GF=6,FC=1.则DE=_______.（第33届美国中学生数学邀请赛试题改编）

5.如图，⊙O和⊙O′都经过点A和B，PQ切⊙O于P，交⊙O′于Q，M，交AB的延长线于N.求证:

.

6.如图,已知点P是O外一点,PS,PT是O的两条切线，过点P作O的割线PAB,交O于A.B两点，并交ST于点C,求证:

.（2001年TI杯全国初中数学竞赛B卷第14题）

第三部分（Ptolemy定理的应用）

7.已知a,b,x,y是正实数，且，求证:

8.从锐角△ABC的外心O向它的边BC,CA,AB作垂线,垂足分别为D,E,F.设△ABC的外接圆和内切圆半径分别为R,r.求证:

OD+OE+OF=R+r.

9.设△ABC与△A’B’C’的三边分别为a,b,c与a’,b’,c’,且∠B=∠B’,∠A+∠A’=.试证:

aa’=bb’+cc’.

第四部分（Simon定理的