考研数学二真题及答案解析Word文档格式.docx
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（2）设函数
其中
为正整数,则
（）
（A）
（B）
（C）
（D）
【答案】A
【考点】导数的概念
【详解一】本题涉及到的主要知识点：
在本题中，按定义
.故选A.
【详解二】本题涉及到的主要知识点：
在本题中，用乘积求导公式.含因子
项在
为0，故只留下一项.于是
故选（A）.
（3）设
，则数列
有界是数列
收敛的（）
（A）充分必要条件（B）充分非必要条件
（C）必要非充分条件（D）既非充分也非必要条件
【答案】B
【考点】数列极限
【难易度】★★★
【详解】因
，所以
单调上升.
若数列
有界，则
存在，于是
反之，若数列
收敛，则数列
不一定有界.例如，取
，则
是无界的.
因此，数列
收敛的充分非必要条件.故选（B）.
（4）设
则有（）
（A）
（B）
（C）
（D）
【答案】D
【考点】定积分的基本性质
设
在本题中，
因此
.故选D.
（5）设函数
可微，且对任意的
都有
，则使不等式
成立的一个充分条件是（）
（B）
（C）
【考点】多元函数的偏导数；
函数单调性的判别
函数单调性的判定法设函数
在
上连续，在
内可导.
①如果在
内
，那么函数
上单调增加；
②如果在
上单调减少.
在本题中，因
，当
固定时对
单调上升，故当
时
又因
单调下降，故当
因此，当
故选D.
（6）设区域
由曲线
围成，则
（）
（B）2（C）-2（D）
【考点】二重积分的计算
其中
均为奇函数，所以
故选（D）
（7）设
其中
为任意常数，则下列向量组线性相关的为（）
（C）
（D）
【考点】向量组的线性相关与线性无关
个
维向量相关
在本题中，显然
所以
必线性相关.故选C.
（8）设A为3阶矩阵，P为3阶可逆矩阵，且
.若P=（
），
（）
【考点】矩阵的初等变换；
初等矩阵
是一个
矩阵，对
施行一次初等行变换，相当于在
的左边乘以相应的
阶初等矩阵；
对
施行一次初等列变换，相当于在
的右边乘以相应的
阶初等矩阵.
在本题中，由于
经列变换为
，有
那么
故选B.
二、填空题：
9
14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.
（9）设
是由方程
所确定的隐函数，则
.
【答案】1
【考点】隐函数的微分
隐函数求导的常用方法有：
1.利用复合函数求导法，将每个方程两边对指定的自变量求偏导数（或导数），此时一定要注意谁是自变量，谁是因变量，对中间变量的求导不要漏项。
然后求解相应的线性方程式或方程组，求得所要的隐函数的偏导数或导数。
2.利用一阶全微分形式的不变性，对每个方程两边求全微分，此时各变量的地位是平等的，然后求解相应的线性方程组或者方程式，球的相应的隐函数的全微分。
对于多元隐函数来说，若题目中求的是全部偏导数或全微分，往往是用方法2比较简单些，若只求某个偏导数，则方法1和方法2的繁简程度差不多。
在本题中，令
，得
.等式两边同时对
求导，得
（*）
令
得
于是
.再将（*）是对
求导得
（10）
【答案】
【考点】定积分的概念
利用定积分定义求某些和式的极限（先将和式表成某函数在某区间上的一个积分和，它的极限就是一个定积分）.
特别是对于
项和数列的极限，应该注意到：
在本题中，由积分定义，
（11）设
，其中函数
可微，则
【答案】0
【考点】多元复合函数的求导法
二元函数
（是一元函数
与二元函数
的复合函数），在变量替换
下，得到
的偏导数为
在本题中，根据题中条件可知，
（12）微分方程
满足条件
的解为
（或
）
【考点】一阶线性微分方程
方程
叫做一阶线性微分方程，其通解为
在本题中，方程可整理为
，将
看作因变量，一阶线性非齐次微分方程的通解为
.又
）为所求解.
（13）曲线
上曲率为
的点的坐标为.
（-1，0）
【考点】曲率
曲率公式
，代入曲率公式
，解得
或
.故坐标为
（14）设
为3阶矩阵，
为
的伴随矩阵，若交换
的第一行与第二行得到矩阵
_________
【答案】-27.
伴随矩阵
在本题中，设
则
，从而
三、解答题：
15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（15）已知函数
记
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）当
时，
与
是同阶无穷小，求常数
的值.
【考点】无穷小量的比较
当
（Ⅰ）
（Ⅱ）
方法一：
利用泰勒公式
解得
.
方法二：
利用等价无穷小量代换
（16）求函数
的极值.
【考点】函数的极值
【难易度】★★★★
二元函数取得极值的充分条件：
在点
的某邻域有连续的二阶偏导数，又
，令
（1）当
取极值，且当
时取极小值，
时取极大值；
（2）当
不是
的极值点；
（3）当
时，仅此不足以判断
是否是
的极值点，还需另作讨论.
在本题中，先求函数的驻点.令
解得驻点为
根据判断极值的第二充分条件，
代入（1，0），得
在（1，0）取得极大值，极大值为
；
代入（-1，0），得
在（-1，0）取得极小值，极小值为
（17）过点（0，1）作曲线
的切线，切点为
，又
轴交于
点，区域
由
与直线
及
轴围成，求区域
的面积及
绕
轴旋转一周所得旋转体的体积.
【考点】导数的几何意义、定积分的应用
（i）函数
处的导数
是曲线
处的切线的斜率.
函数；
（ii）函数
连续，则由曲线
及直线
所围区域的面积
（iii）曲线
轴旋转一周所得旋转体的体积
在本题中，设切点
坐标为
，则切线斜率为
，切线方程为
，代入（0，1）点，解得
，从而切点
点坐标为
，所以区域
的面积
（18）计算二重积分
，其中区域
与极轴围成.
【考点】二重积分的计算；
定积分的换元积分法
在本题中，作极坐标变换
的极坐标表示是
（19）已知函数
满足方程
的表达式；
（Ⅱ）求曲线
的拐点.
【考点】二阶常系数齐次线性微分方程；
函数图形的拐点
（i）二阶常系数齐次线性微分方程
的特征方程
有两个不同的实根，微分方程的通解形式为
（ii）拐点的充分判别定理：
内二阶可导，
，若在
两侧附近
异号，则点
为曲线的拐点.
（Ⅰ）因
满足
①
②
由②得
，代入①得
两边乘
积分得
，即
代入②式得
，于是
代入①式自然成立.因此求得
（Ⅱ）曲线方程为
为求拐点，先求出
是曲线的唯一拐点.
（20）证明：
【考点】函数单调性的判别
证明：
则转化为证明
（
因
为偶函数，故只需考察
的情形.
用单调性方法.
连续
），同理
.又因
为偶函数
.即原不等式成立.
（21）
（Ⅰ）证明：
为大于1的整数）在区间
内有且仅有一个实根；
（Ⅱ）记（Ⅰ）中的实根为
，证明
存在，并求此极限.
【考点】闭区间上连续函数
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