届高考数学二轮复习求轨迹方程的常用方法学案含答案全国通用Word下载.docx

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求点C的轨迹。

【变式】：

已知圆

的圆心为M1，圆

的圆心为M2，一动圆与这两个圆外切，求动圆圆心P的轨迹方程。

二：

用直译法求轨迹方程

此类问题重在寻找数量关系。

例2：

一条线段两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，且BM=a，AM=b，求AB中点M的轨迹方程？

【变式】:

动点P（x,y）到两定点A（－3，0）和B（3，0）的距离的比等于2（即

），求动点P的轨迹方程？

三：

用参数法求轨迹方程

此类方法主要在于设置合适的参数，求出参数方程，最后消参，化为普通方程。

注意参数的取值范围。

例3．过点P（2，4）作两条互相垂直的直线l1，l2，若l1交x轴于A点，l2交y轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方程。

四：

用代入法求轨迹方程

例4.

轨迹方程。

【变式】如图所示，已知P（4，0）是圆x2+y2=36内的一点，A、B是圆上两动点，且满足∠APB=90°

，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程

五、用交轨法求轨迹方程

例5.已知椭圆

（a＞b＞o）的两个顶点为

，与y轴平行的直线交椭圆于P1、P2，求A1P1与A2P2交点M的轨迹方程.

六、用点差法求轨迹方程

例6.已知椭圆

，

（1）求过点

且被

平分的弦所在直线的方程；

（2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；

（3）过

引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；

练习

1.在

中，B，C坐标分别为（-3，0），（3，0），且三角形周长为16，则点A的轨迹方

程是_______________________________.

2.两条直线

与

的交点的轨迹方程是__________.

3.已知圆的方程为（x-1）2+y2=1,过原点O作圆的弦0A，则弦的中点M的轨迹方程是_____

4.当参数m随意变化时，则抛物线

的顶点的轨迹方程为______。

5:

点M到点F（4，0）的距离比它到直线

的距离小1，则点M的轨迹方程为________。

6:

求与两定点

距离的比为1：

2的点的轨迹方程为_____________

7.抛物线

的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）与抛物线交于A、B两点，动点C在抛物线上，求△ABC重心P的轨迹方程。

8.已知动点P到定点F（1，0）和直线x=3的距离之和等于4，求点P的轨迹方程。

9.过原点作直线l和抛物线

交于A、B两点，求线段AB的中点M的轨迹方程。

参考答案

【解析】由

可知

，即

，满足椭圆的定义。

令椭圆方程为

，则

，则轨迹方程为

（

，图形为椭圆（不含左，右顶点）。

【变式1】:

1:

解：

设动圆的半径为R，由两圆外切的条件可得：

。

∴动圆圆心P的轨迹是以M1、M2为焦点的双曲线的右支，c=4，a=2，b2=12。

故所求轨迹方程为

2:

一动圆与圆O：

外切，而与圆C：

内切，那么动圆的圆心M的轨迹是：

A：

抛物线B：

圆C：

椭圆D：

双曲线一支

【解答】令动圆半径为R，则有

，则|MO|-|MC|=2，满足双曲线定义。

故选D。

用直译法求曲线轨迹方程

一条线段AB的长等于2a,两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，求AB中点P的轨迹方程？

解设M点的坐标为

由平几的中线定理：

在直角三角形AOB中，OM=

M点的轨迹是以O为圆心，a为半径的圆周.

【变式2】:

【解答】∵|PA|=

代入

得

化简得（x－5）2+y2=16，轨迹是以（5，0）为圆心，4为半径的圆.

用参数法求曲线轨迹方程

【解析】

分析1：

从运动的角度观察发现，点M的运动是由直线l1引发的，可设出l1的斜率k作为参数，建立动点M坐标（x，y）满足的参数方程。

解法1：

设M（x，y），设直线l1的方程为y－4＝k（x－2），（k≠０）

∵M为AB的中点，

消去k，得x＋2y－5＝0。

另外，当k＝0时，AB中点为M（1，2），满足上述轨迹方程；

当k不存在时，AB中点为M（1，2），也满足上述轨迹方程。

综上所述，M的轨迹方程为x＋2y－5＝0。

分析2：

解法1中在利用k1k2＝－1时，需注意k1、k2是否存在，故而分情形讨论，能否避开讨论呢？

只需利用△PAB为直角三角形的几何特性：

解法2：

设M（x，y），连结MP，则A（2x，0），B（0，2y），

∵l1⊥l2，∴△PAB为直角三角形

化简，得x＋2y－5＝0，此即M的轨迹方程。

分析3：

：

设M（x，y），由已知l1⊥l2，联想到两直线垂直的充要条件：

k1k2＝－1，即可列出轨迹方程，关键是如何用M点坐标表示A、B两点坐标。

事实上，由M为AB的中点，易找出它们的坐标之间的联系。

解法3：

设M（x，y），∵M为AB中点，∴A（2x，0），B（0，2y）。

又l1，l2过点P（2，4），且l1⊥l2

∴PA⊥PB，从而kPA·

kPB＝－1，

注意到l1⊥x轴时，l2⊥y轴，此时A（2，0），B（0，4）

中点M（1，2），经检验，它也满足方程x＋2y－5＝0

综上可知，点M的轨迹方程为x＋2y－5＝0。

【变式3】过圆O：

x2+y2=4外一点A（4，0），作圆的割线，求割线被圆截得的弦BC的中点M的轨迹。

解法一：

“几何法”

设点M的坐标为（x,y）,因为点M是弦BC的中点，所以OM⊥BC,

所以|OM|２＋|ＭＡ|２　＝|ＯＡ|２　， 

即（x2+y2）+（x－４）2+y2=16

化简得：

（x－2）2+y2=4................................①

由方程①与方程x2+y2=4得两圆的交点的横坐标为1，所以点M的轨迹方程为

（x－2）2+y2=4（0≤x＜1）。

所以M的轨迹是以（2，0）为圆心，

2为半径的圆在圆O内的部分。

解法二：

“参数法”

设点M的坐标为（x,y），B（x1,y1）,C（x2,y2）直线AB的方程为y=k（x－4）,

由直线与圆的方程得（1+k2）x2－8k2x+16k2－4=0...........（*）,

由点M为BC的中点，所以x=

...............

（1）,又OM⊥BC，所以k=

.................

（2）由方程

（1）

（2）

消去k得（x－2）2+y2=4,又由方程（*）的△≥0得k2 

≤

所以x＜1.

所以点M的轨迹方程为（x－2）2+y2=4（0≤x＜1）所以M的轨迹是以（2，0）为圆心，

用代入法等其它方法求轨迹方程

分析：

题中涉及了三个点A、B、M，其中A为定点，而B、M为动点，且点B的运动是有规律的，显然M的运动是由B的运动而引发的，可见M、B为相关点，故采用相关点法求动点M的轨迹方程。

【解析】设动点M的坐标为（x，y），而设B点坐标为（x0，y0）

则由M为线段AB中点，可得

即点B坐标可表为（2x－2a，2y）

【变式4】如图所示，已知P（4，0）是圆x2+y2=36内的一点，A、B是圆上两动点，且满足∠APB=90°

【解析】：

设AB的中点为R，坐标为（x,y），则在Rt△ABP中，|AR|=|PR|又因为R是弦AB的中点，依垂径定理在Rt△OAR中，|AR|2=|AO|2－|OR|2=36－（x2+y2）

又|AR|=|PR|=

所以有（x－4）2+y2=36－（x2+y2）,即x2+y2－4x－10=0

因此点R在一个圆上，而当R在此圆上运动时，Q点即在所求的轨迹上运动

设Q（x,y），R（x1,y1），因为R是PQ的中点，所以x1=

代入方程x2+y2－4x－10=0,得

－10=0

整理得x2+y2=56,这就是所求的轨迹方程

分析：

此题中四问都跟弦中点有关，因此可考虑设弦端坐标的方法．

设弦两端点分别为

，线段

的中点

①－②得

．

由题意知

，则上式两端同除以

，有

将③④代入得

．⑤

（1）将

代入⑤，得

，故所求直线方程为：

．⑥

将⑥代入椭圆方程

符合题意，

为所求．

（2）将

代入⑤得所求轨迹方程为：

．（椭圆内部分）

（3）将

练习1【正确解答】ABC为三角形，故A，B，C不能三点共线。

轨迹方程里应除去点

，即轨迹方程为

的交点的轨迹方程是.

【解答】:

直接消去参数

即得（交轨法）:

3:

已知圆的方程为（x-1）2+y2=1,过原点O作圆的弦0A，则弦的中点M的轨迹方程是.

令M点的坐标为（

则A的坐标为（2

代入圆的方程里面得:

4:

当参数m随意变化时，则抛物线

的顶点的轨迹方程为

【分析】：

把所求轨迹上的动点坐标x，y分别用已有的参数m来表示，然后消去参数m，便可得到动点的轨迹方程。

【解答】：

抛物线方程可化为

它的顶点坐标为

消去参数m得：

故所求动点的轨迹方程为

的距离