1、求点C的轨迹。【变式】:已知圆的圆心为M1,圆的圆心为M2,一动圆与这两个圆外切,求动圆圆心P的轨迹方程。二:用直译法求轨迹方程此类问题重在寻找数量关系。例2:一条线段两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动,且BM=a,AM=b,求AB中点M的轨迹方程?【变式】: 动点P(x,y)到两定点A(3,0)和B(3,0)的距离的比等于2(即),求动点P的轨迹方程?三:用参数法求轨迹方程此类方法主要在于设置合适的参数,求出参数方程,最后消参,化为普通方程。注意参数的取值范围。例3过点P(2,4)作两条互相垂直的直线l1,l2,若l1交x轴于A点,l2交y轴于B点,求线段AB的中点M的轨迹方程。四:用代入
2、法求轨迹方程 例4. 轨迹方程。【变式】如图所示,已知P(4,0)是圆x2+y2=36内的一点,A、B是圆上两动点,且满足APB=90,求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程 五、用交轨法求轨迹方程例5.已知椭圆(abo)的两个顶点为,,与y轴平行的直线交椭圆于P1、P2,求A1P1与A2P2交点M的轨迹方程.六、用点差法求轨迹方程例6. 已知椭圆,(1)求过点且被平分的弦所在直线的方程;(2)求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程;(3)过引椭圆的割线,求截得的弦的中点的轨迹方程;练习1.在中,B,C 坐标分别为(-3,0),(3,0),且三角形周长为16,则点A的轨迹方程是_.2.两条直线与的交点的轨
3、迹方程是 _ .3.已知圆的方程为(x-1)2+y2=1,过原点O作圆的弦0A,则弦的中点M的轨迹方程是 _4.当参数m随意变化时,则抛物线的顶点的轨迹方程为_。5:点M到点F(4,0)的距离比它到直线的距离小1,则点M的轨迹方程为_。6:求与两定点距离的比为1:2的点的轨迹方程为_7.抛物线的通径(过焦点且垂直于对称轴的弦)与抛物线交于A、B两点,动点C在抛物线上,求ABC重心P的轨迹方程。8.已知动点P到定点F(1,0)和直线x=3的距离之和等于4,求点P的轨迹方程。9.过原点作直线l和抛物线交于A、B两点,求线段AB的中点M的轨迹方程。参考答案【解析】由可知,即,满足椭圆的定义。令椭圆方
4、程为,则,则轨迹方程为(,图形为椭圆(不含左,右顶点)。【变式1】: 1:解:设动圆的半径为R,由两圆外切的条件可得:。动圆圆心P的轨迹是以M1、M2为焦点的双曲线的右支,c=4,a=2,b2=12。故所求轨迹方程为2:一动圆与圆O:外切,而与圆C:内切,那么动圆的圆心M的轨迹是:A:抛物线B:圆 C:椭圆 D:双曲线一支【解答】令动圆半径为R,则有,则|MO|-|MC|=2,满足双曲线定义。故选D。用直译法求曲线轨迹方程 一条线段AB的长等于2a,两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动,求AB中点P的轨迹方程?解 设M点的坐标为由平几的中线定理:在直角三角形AOB中,OM=M点的轨迹是以O为圆
5、心,a为半径的圆周.【变式2】:【解答】|PA|=代入得化简得(x5)2+y2=16,轨迹是以(5,0)为圆心,4为半径的圆.用参数法求曲线轨迹方程【解析】分析1:从运动的角度观察发现,点M的运动是由直线l1引发的,可设出l1的斜率k作为参数,建立动点M坐标(x,y)满足的参数方程。解法1:设M(x,y),设直线l1的方程为y4k(x2),(k) M为AB的中点, 消去k,得x2y50。 另外,当k0时,AB中点为M(1,2),满足上述轨迹方程; 当k不存在时,AB中点为M(1,2),也满足上述轨迹方程。 综上所述,M的轨迹方程为x2y50。 分析2:解法1中在利用k1k21时,需注意k1、k
6、2是否存在,故而分情形讨论,能否避开讨论呢?只需利用PAB为直角三角形的几何特性: 解法2:设M(x,y),连结MP,则A(2x,0),B(0,2y), l1l2,PAB为直角三角形化简,得x2y50,此即M的轨迹方程。分析3:设M(x,y),由已知l1l2,联想到两直线垂直的充要条件:k1k21,即可列出轨迹方程,关键是如何用M点坐标表示A、B两点坐标。事实上,由M为AB的中点,易找出它们的坐标之间的联系。解法3:设M(x,y),M为AB中点,A(2x,0),B(0,2y)。 又l1,l2过点P(2,4),且l1l2 PAPB,从而kPAkPB1, 注意到l1x轴时,l2y轴,此时A(2,0
7、),B(0,4) 中点M(1,2),经检验,它也满足方程x2y50 综上可知,点M的轨迹方程为x2y50。【变式3】过圆O:x2 +y2= 4 外一点A(4,0),作圆的割线,求割线被圆截得的弦BC的中点M的轨迹。解法一:“几何法” 设点M的坐标为(x,y),因为点M 是弦BC的中点,所以OMBC, 所以|OM | | ,即(x2 +y2)+(x )2 +y2 =16 化简得:(x2)2+ y2 =4. 由方程 与方程x2 +y2= 4得两圆的交点的横坐标为1,所以点M的轨迹方程为 (x2)2+ y2 =4 (0x1)。所以M的轨迹是以(2,0)为圆心,2为半径的圆在圆O内的部分。解法二:“参
8、数法” 设点M的坐标为(x,y),B(x1,y1),C(x2,y2)直线AB的方程为y=k(x4),由直线与圆的方程得(1+k2)x2 8k2x +16k24=0.(*),由点M为BC的中点,所以x=.(1) , 又OMBC,所以k=.(2)由方程(1)(2)消去k得(x2)2+ y2 =4,又由方程(*)的0得k2,所以x1.所以点M的轨迹方程为(x2)2+ y2 =4 (0x1)所以M的轨迹是以(2,0)为圆心,用代入法等其它方法求轨迹方程 分析:题中涉及了三个点A、B、M,其中A为定点,而B、M为动点,且点B的运动是有规律的,显然M的运动是由B的运动而引发的,可见M、B为相关点,故采用相
9、关点法求动点M的轨迹方程。 【解析】设动点M的坐标为(x,y),而设B点坐标为(x0,y0) 则由M为线段AB中点,可得 即点B坐标可表为(2x2a,2y)【变式4】如图所示,已知P(4,0)是圆x2+y2=36内的一点,A、B是圆上两动点,且满足APB=90【解析】: 设AB的中点为R,坐标为(x,y),则在RtABP中,|AR|=|PR| 又因为R是弦AB的中点,依垂径定理 在RtOAR中,|AR|2=|AO|2|OR|2=36(x2+y2)又|AR|=|PR|=所以有(x4)2+y2=36(x2+y2),即x2+y24x10=0因此点R在一个圆上,而当R在此圆上运动时,Q点即在所求的轨迹
10、上运动 设Q(x,y),R(x1,y1),因为R是PQ的中点,所以x1=代入方程x2+y24x10=0,得10=0整理得 x2+y2=56,这就是所求的轨迹方程 分析:此题中四问都跟弦中点有关,因此可考虑设弦端坐标的方法设弦两端点分别为,线段的中点得由题意知,则上式两端同除以,有将代入得(1)将代入,得,故所求直线方程为: 将代入椭圆方程符合题意,为所求(2)将代入得所求轨迹方程为:(椭圆内部分)(3)将练习1【正确解答】ABC为三角形,故A,B,C不能三点共线。轨迹方程里应除去点,即轨迹方程为的交点的轨迹方程是 .【解答】:直接消去参数即得(交轨法):3:已知圆的方程为(x-1)2+y2=1,过原点O作圆的弦0A,则弦的中点M的轨迹方程是 .令M点的坐标为(,则A的坐标为(2,代入圆的方程里面得:4:当参数m随意变化时,则抛物线的顶点的轨迹方程为【分析】:把所求轨迹上的动点坐标x,y分别用已有的参数m来表示,然后消去参数m,便可得到动点的轨迹方程。【解答】:抛物线方程可化为它的顶点坐标为消去参数m得:故所求动点的轨迹方程为的距离
copyright@ 2008-2022 冰豆网网站版权所有
经营许可证编号:鄂ICP备2022015515号-1