届高考数学二轮复习求轨迹方程的常用方法学案含答案全国通用Word下载.docx

1、求点C的轨迹。【变式】：已知圆的圆心为M1，圆的圆心为M2，一动圆与这两个圆外切，求动圆圆心P的轨迹方程。二：用直译法求轨迹方程此类问题重在寻找数量关系。例2：一条线段两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，且BM=a，AM=b，求AB中点M的轨迹方程？【变式】: 动点P（x,y）到两定点A（3，0）和B（3，0）的距离的比等于2（即），求动点P的轨迹方程？三：用参数法求轨迹方程此类方法主要在于设置合适的参数，求出参数方程，最后消参，化为普通方程。注意参数的取值范围。例3过点P（2，4）作两条互相垂直的直线l1，l2，若l1交x轴于A点，l2交y轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方程。四：用代入

2、法求轨迹方程 例4. 轨迹方程。【变式】如图所示，已知P（4，0）是圆x2+y2=36内的一点，A、B是圆上两动点，且满足APB=90，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程 五、用交轨法求轨迹方程例5.已知椭圆（abo）的两个顶点为,，与y轴平行的直线交椭圆于P1、P2，求A1P1与A2P2交点M的轨迹方程.六、用点差法求轨迹方程例6. 已知椭圆，（1）求过点且被平分的弦所在直线的方程；（2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；（3）过引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；练习1.在中，B，C 坐标分别为（-3，0），（3，0），且三角形周长为16，则点A的轨迹方程是_.2.两条直线与的交点的轨

3、迹方程是 _ .3.已知圆的方程为（x-1）2+y2=1,过原点O作圆的弦0A，则弦的中点M的轨迹方程是 _4.当参数m随意变化时，则抛物线的顶点的轨迹方程为_。5:点M到点F（4，0）的距离比它到直线的距离小1，则点M的轨迹方程为_。6:求与两定点距离的比为1：2的点的轨迹方程为_7.抛物线的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）与抛物线交于A、B两点，动点C在抛物线上，求ABC重心P的轨迹方程。8.已知动点P到定点F（1，0）和直线x=3的距离之和等于4，求点P的轨迹方程。9.过原点作直线l和抛物线交于A、B两点，求线段AB的中点M的轨迹方程。参考答案【解析】由可知，即，满足椭圆的定义。令椭圆方

4、程为，则，则轨迹方程为（，图形为椭圆（不含左，右顶点）。【变式1】: 1:解：设动圆的半径为R，由两圆外切的条件可得：。动圆圆心P的轨迹是以M1、M2为焦点的双曲线的右支，c=4，a=2，b2=12。故所求轨迹方程为2:一动圆与圆O：外切，而与圆C：内切，那么动圆的圆心M的轨迹是：A：抛物线B：圆 C：椭圆 D：双曲线一支【解答】令动圆半径为R，则有，则|MO|-|MC|=2，满足双曲线定义。故选D。用直译法求曲线轨迹方程 一条线段AB的长等于2a,两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，求AB中点P的轨迹方程？解 设M点的坐标为由平几的中线定理：在直角三角形AOB中，OM=M点的轨迹是以O为圆

5、心，a为半径的圆周.【变式2】:【解答】|PA|=代入得化简得（x5）2+y2=16，轨迹是以（5，0）为圆心，4为半径的圆.用参数法求曲线轨迹方程【解析】分析1：从运动的角度观察发现，点M的运动是由直线l1引发的，可设出l1的斜率k作为参数，建立动点M坐标（x，y）满足的参数方程。解法1：设M（x，y），设直线l1的方程为y4k（x2），（k） M为AB的中点， 消去k，得x2y50。 另外，当k0时，AB中点为M（1，2），满足上述轨迹方程； 当k不存在时，AB中点为M（1，2），也满足上述轨迹方程。 综上所述，M的轨迹方程为x2y50。 分析2：解法1中在利用k1k21时，需注意k1、k

6、2是否存在，故而分情形讨论，能否避开讨论呢？只需利用PAB为直角三角形的几何特性： 解法2：设M（x，y），连结MP，则A（2x，0），B（0，2y）， l1l2，PAB为直角三角形化简，得x2y50，此即M的轨迹方程。分析3：设M（x，y），由已知l1l2，联想到两直线垂直的充要条件：k1k21，即可列出轨迹方程，关键是如何用M点坐标表示A、B两点坐标。事实上，由M为AB的中点，易找出它们的坐标之间的联系。解法3：设M（x，y），M为AB中点，A（2x，0），B（0，2y）。 又l1，l2过点P（2，4），且l1l2 PAPB，从而kPAkPB1， 注意到l1x轴时，l2y轴，此时A（2，0

7、），B（0，4） 中点M（1，2），经检验，它也满足方程x2y50 综上可知，点M的轨迹方程为x2y50。【变式3】过圆O：x2 +y2= 4 外一点A（4，0），作圆的割线，求割线被圆截得的弦BC的中点M的轨迹。解法一：“几何法” 设点M的坐标为（x,y）,因为点M 是弦BC的中点，所以OMBC, 所以|OM | | ，即（x2 +y2）+（x ）2 +y2 =16 化简得：（x2）2+ y2 =4. 由方程 与方程x2 +y2= 4得两圆的交点的横坐标为1，所以点M的轨迹方程为 （x2）2+ y2 =4 （0x1）。所以M的轨迹是以（2，0）为圆心，2为半径的圆在圆O内的部分。解法二：“参

8、数法” 设点M的坐标为（x,y），B（x1,y1）,C（x2,y2）直线AB的方程为y=k（x4）,由直线与圆的方程得（1+k2）x2 8k2x +16k24=0.（*）,由点M为BC的中点，所以x=.（1） , 又OMBC，所以k=.（2）由方程（1）（2）消去k得（x2）2+ y2 =4,又由方程（*）的0得k2,所以x1.所以点M的轨迹方程为（x2）2+ y2 =4 （0x1）所以M的轨迹是以（2，0）为圆心，用代入法等其它方法求轨迹方程 分析：题中涉及了三个点A、B、M，其中A为定点，而B、M为动点，且点B的运动是有规律的，显然M的运动是由B的运动而引发的，可见M、B为相关点，故采用相

9、关点法求动点M的轨迹方程。 【解析】设动点M的坐标为（x，y），而设B点坐标为（x0，y0） 则由M为线段AB中点，可得 即点B坐标可表为（2x2a，2y）【变式4】如图所示，已知P（4，0）是圆x2+y2=36内的一点，A、B是圆上两动点，且满足APB=90【解析】： 设AB的中点为R，坐标为（x,y），则在RtABP中，|AR|=|PR| 又因为R是弦AB的中点，依垂径定理 在RtOAR中，|AR|2=|AO|2|OR|2=36（x2+y2）又|AR|=|PR|=所以有（x4）2+y2=36（x2+y2）,即x2+y24x10=0因此点R在一个圆上，而当R在此圆上运动时，Q点即在所求的轨迹

10、上运动 设Q（x,y），R（x1,y1），因为R是PQ的中点，所以x1=代入方程x2+y24x10=0,得10=0整理得 x2+y2=56,这就是所求的轨迹方程 分析：此题中四问都跟弦中点有关，因此可考虑设弦端坐标的方法设弦两端点分别为，线段的中点得由题意知，则上式两端同除以，有将代入得（1）将代入，得，故所求直线方程为： 将代入椭圆方程符合题意，为所求（2）将代入得所求轨迹方程为：（椭圆内部分）（3）将练习1【正确解答】ABC为三角形，故A，B，C不能三点共线。轨迹方程里应除去点，即轨迹方程为的交点的轨迹方程是 .【解答】:直接消去参数即得（交轨法）:3:已知圆的方程为（x-1）2+y2=1,过原点O作圆的弦0A，则弦的中点M的轨迹方程是 .令M点的坐标为（,则A的坐标为（2,代入圆的方程里面得:4:当参数m随意变化时，则抛物线的顶点的轨迹方程为【分析】：把所求轨迹上的动点坐标x，y分别用已有的参数m来表示，然后消去参数m，便可得到动点的轨迹方程。【解答】：抛物线方程可化为它的顶点坐标为消去参数m得：故所求动点的轨迹方程为的距离