数学变形裂项文档格式.docx

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3〕

　　2×

3=〔2×

3×

4-1×

3〕÷

　　3×

4=〔3×

4×

5-2×

4〕÷

　　4×

5=〔4×

5×

6-3×

5〕÷

　　……扩大倍数=公差X因数加一

　　98×

99=〔98×

99×

100-97×

98×

99〕÷

　　99×

100=〔99×

100×

101-98×

100〕÷

　　将以上算式的等号左边和右边分别累加，左边即为所求的算式，右边括号里面诸多项相互抵消，可以简化为〔99×

101-0×

3。

　　解：

　　=〔99×

3

　　=333300下式：

增大后减〔裂差〕

例2、计算3×

5+5×

7+7×

9+……+97×

101

这个算式实际上也可以看作是：

等差数列3、5、7、9……97、99、101，先将所有的相邻两项分别相乘，再求所有乘积的和。

数列公差为2，因数个数为2。

5=〔3×

7-1×

〔2×

　　5×

7=〔5×

7×

9-3×

7〕÷

　　7×

9=〔7×

9×

11-5×

9〕÷

　　……

　　97×

99=〔97×

101-95×

97×

101=〔99×

101×

103-97×

101〕÷

　　将等号左右两边分别累加，左边即为所求算式，右边括号里面许多项可以相互抵消。

103-1×

　　=1029882÷

6

　　=171647

例3、计算1×

3+2×

4+3×

5+……+96×

98+97×

99

等差数列1、2、3、4、5……98、99、100，先将所有的相邻三项分别相乘，再求所有乘积的和。

数列公差为1，因数个数为3。

3=〔1×

4-0×

4〕

4=〔2×

5-1×

6-2×

　　96×

98=〔96×

99-95×

96×

98〕÷

100-96×

　　右边累加，括号相互抵消，整个结果为〔97×

100-0×

4〕。

5+…+96×

+97×

　　=〔97×

　　=23527350

例4、计算10×

16×

22+16×

22×

28+……+70×

76×

82+76×

82×

88

算式的特点为：

数列公差为6，因数个数为3。

10×

　　=〔76×

88×

94-4×

22〕÷

〔6×

　　=2147376

二、组合裂项

例5、计算1×

1+2×

2+3×

3+……+99×

99+100×

n×

n=（n-1）×

n+n

　　=1+〔1×

2+2〕+〔2×

3+3〕+……+〔98×

99+99〕+〔99×

100+100〕

　　=〔1×

3+……+98×

100〕+〔1+2+3+……+99+100〕

　　=99×

101÷

3+〔1+100〕×

100÷

2

　　=333300+5050

　　=338350

例6、计算1×

4+5×

6+……+97×

98+99×

（n-1）×

n=（n-2）×

n+n左式：

缩小后加〔裂和〕

6+7×

8+……+97×

　　=2+〔2×

4+4〕+〔4×

6+6〕+〔6×

8+8〕+……+〔96×

98+98〕+〔98×

　　=〔2×

6+6×

8+……+96×

98+98×

100〕+〔2+4+6+8+……+98+100〕

　　=98×

102÷

6+〔2+100〕×

50÷

　　=169150

例7、计算1×

（n+1）+n更神奇的“倒推〞

3+2〕+〔2×

4+3〕+……+〔98×

100+99〕+〔99×

101+100〕

4+……+98×

100+99×

101〕+〔1+2+3+……+99+100〕

4+〔1+100〕×

　　=25492400

例8、计算1×

5+4×

6+……+98×

101〔奇偶数项分开〕

5+……+99×

101〕+〔2×

100〕

6+1×

3+98×

　　=171650+166600

　　=338250

例9、计算1+〔1+2〕+〔1+2+3〕+……+〔1+2+3+4+……+100〕

1+〔1+2〕+〔1+2+3〕+……+〔1+2+3+4+……+100〕

　　=1×

2÷

3÷

4÷

2+……+100×

2〔高斯新解：

101为均数的两倍〕　　=〔1×

4+……+100×

　　=〔100×

　　=171700

三、分数裂项

〔下面常数：

其分母即裂项后的裂差分子，或叫连续自然数乘积的差〕

例题一：

1/1×

2+1/2×

3+1/3×

4+…+1/99×

　　=〔1-1/2〕+〔1/2-1/3〕+〔1/3-1/4〕+...+〔1/98-1/99〕+〔1/99-1/100〕

　　=1-1/100

　　=99/100

例二：

1/〔1*2*3〕+1/〔2*3*4〕+1/〔3*4*5〕+1/〔4*5*6〕…+1/〔21*22*23〕

　　=【（1/1*2-1/2*3〕+（1/2*3-1/3*4〕+（1/3*4-1/4*5〕+（1/4*5-1/5*6〕+…+（1/21*22-1/22*23〕】*1/2

　　=【1/〔1*2〕-1/〔22*23〕】*1/2

　　=126/253*1/2

　　=63/253