数学变形裂项文档格式.docx
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3〕
2×
3=〔2×
3×
4-1×
3〕÷
3×
4=〔3×
4×
5-2×
4〕÷
4×
5=〔4×
5×
6-3×
5〕÷
……扩大倍数=公差X因数加一
98×
99=〔98×
99×
100-97×
98×
99〕÷
99×
100=〔99×
100×
101-98×
100〕÷
将以上算式的等号左边和右边分别累加,左边即为所求的算式,右边括号里面诸多项相互抵消,可以简化为〔99×
101-0×
3。
解:
=〔99×
3
=333300下式:
增大后减〔裂差〕
例2、计算3×
5+5×
7+7×
9+……+97×
101
这个算式实际上也可以看作是:
等差数列3、5、7、9……97、99、101,先将所有的相邻两项分别相乘,再求所有乘积的和。
数列公差为2,因数个数为2。
5=〔3×
7-1×
〔2×
5×
7=〔5×
7×
9-3×
7〕÷
7×
9=〔7×
9×
11-5×
9〕÷
……
97×
99=〔97×
101-95×
97×
101=〔99×
101×
103-97×
101〕÷
将等号左右两边分别累加,左边即为所求算式,右边括号里面许多项可以相互抵消。
103-1×
=1029882÷
6
=171647
例3、计算1×
3+2×
4+3×
5+……+96×
98+97×
99
等差数列1、2、3、4、5……98、99、100,先将所有的相邻三项分别相乘,再求所有乘积的和。
数列公差为1,因数个数为3。
3=〔1×
4-0×
4〕
4=〔2×
5-1×
6-2×
96×
98=〔96×
99-95×
96×
98〕÷
100-96×
右边累加,括号相互抵消,整个结果为〔97×
100-0×
4〕。
5+…+96×
+97×
=〔97×
=23527350
例4、计算10×
16×
22+16×
22×
28+……+70×
76×
82+76×
82×
88
算式的特点为:
数列公差为6,因数个数为3。
10×
=〔76×
88×
94-4×
22〕÷
〔6×
=2147376
二、组合裂项
例5、计算1×
1+2×
2+3×
3+……+99×
99+100×
n×
n=(n-1)×
n+n
=1+〔1×
2+2〕+〔2×
3+3〕+……+〔98×
99+99〕+〔99×
100+100〕
=〔1×
3+……+98×
100〕+〔1+2+3+……+99+100〕
=99×
101÷
3+〔1+100〕×
100÷
2
=333300+5050
=338350
例6、计算1×
4+5×
6+……+97×
98+99×
(n-1)×
n=(n-2)×
n+n左式:
缩小后加〔裂和〕
6+7×
8+……+97×
=2+〔2×
4+4〕+〔4×
6+6〕+〔6×
8+8〕+……+〔96×
98+98〕+〔98×
=〔2×
6+6×
8+……+96×
98+98×
100〕+〔2+4+6+8+……+98+100〕
=98×
102÷
6+〔2+100〕×
50÷
=169150
例7、计算1×
(n+1)+n更神奇的“倒推〞
3+2〕+〔2×
4+3〕+……+〔98×
100+99〕+〔99×
101+100〕
4+……+98×
100+99×
101〕+〔1+2+3+……+99+100〕
4+〔1+100〕×
=25492400
例8、计算1×
5+4×
6+……+98×
101〔奇偶数项分开〕
5+……+99×
101〕+〔2×
100〕
6+1×
3+98×
=171650+166600
=338250
例9、计算1+〔1+2〕+〔1+2+3〕+……+〔1+2+3+4+……+100〕
1+〔1+2〕+〔1+2+3〕+……+〔1+2+3+4+……+100〕
=1×
2÷
3÷
4÷
2+……+100×
2〔高斯新解:
101为均数的两倍〕 =〔1×
4+……+100×
=〔100×
=171700
三、分数裂项
〔下面常数:
其分母即裂项后的裂差分子,或叫连续自然数乘积的差〕
例题一:
1/1×
2+1/2×
3+1/3×
4+…+1/99×
=〔1-1/2〕+〔1/2-1/3〕+〔1/3-1/4〕+...+〔1/98-1/99〕+〔1/99-1/100〕
=1-1/100
=99/100
例二:
1/〔1*2*3〕+1/〔2*3*4〕+1/〔3*4*5〕+1/〔4*5*6〕…+1/〔21*22*23〕
=【(1/1*2-1/2*3〕+(1/2*3-1/3*4〕+(1/3*4-1/4*5〕+(1/4*5-1/5*6〕+…+(1/21*22-1/22*23〕】*1/2
=【1/〔1*2〕-1/〔22*23〕】*1/2
=126/253*1/2
=63/253