高考数学一轮复习85直线平面垂直的判定与性质Word文件下载.docx
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A.α⊥β且m⊂αB.α⊥β且m∥α
C.m∥n且n⊥βD.m⊥n且α∥β
[答案] C
[解析] 由线线平行性质的传递性和线面垂直的判定定理,可知C正确.
(2)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°
,PA=AB=BC,E是PC的中点.求证:
①CD⊥AE;
②PD⊥平面ABE.
[证明] ①在四棱锥P-ABCD中,
∵PA⊥底面ABCD,CD⊂平面ABCD,
∴PA⊥CD.∵AC⊥CD,PA∩AC=A,
∴CD⊥平面PAC.
而AE⊂平面PAC,∴CD⊥AE.
②由PA=AB=BC,∠ABC=60°
,可得AC=PA.
∵E是PC的中点,∴AE⊥PC.
由①知,AE⊥CD,且PC∩CD=C,
∴AE⊥平面PCD.
而PD⊂平面PCD,∴AE⊥PD.
∵PA⊥底面ABCD,∴PA⊥AB.
又AB⊥AD,且PA∩AD=A,
∴AB⊥平面PAD,而PD⊂平面PAD,
∴AB⊥PD.
又AB∩AE=A,
∴PD⊥平面ABE.
[点石成金] 直线和平面垂直判定的四种方法
(1)利用判定定理;
(2)利用判定定理的推论(a∥b,a⊥α⇒b⊥α),如典题1的第
(1)题中选项C;
(3)利用面面平行的性质(a⊥α,α∥β⇒a⊥β);
(4)利用面面垂直的性质.
当两个平面垂直时,在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.
[2017·
湖北武汉调研]如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,点E在线段PC上,PC⊥平面BDE.
(1)求证:
BD⊥平面PAC;
(2)若PA=1,AD=2,求三棱锥E-BCD的体积.
(1)证明:
∵PA⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,∴PA⊥BD.
∵PC⊥平面BDE,BD⊂平面BDE,
∴PC⊥BD.
又PA∩PC=P,
∴BD⊥平面PAC.
(2)解:
如图所示,设AC与BD的交点为O,连接OE.
∵PC⊥平面BDE,∴PC⊥OE.
由
(1)知,BD⊥平面PAC,
∴BD⊥AC.
由题设条件知,四边形ABCD为正方形.
由AD=2,得AC=BD=2
,OC=
.
在Rt△PAC中,
PC=
=
=3.
易知Rt△PAC∽Rt△OEC,
∴
,即
,
∴OE=
,CE=
∴VE-BCD=
S△CEO·
BD
·
OE·
CE·
×
2
考点2 平面与平面垂直的判定与性质
平面与平面垂直的判定定理与性质定理
垂线 l⊂β l⊥α 交线 α⊥β l⊂β
α∩β=a l⊥a
定理的应用:
注意由平面到空间的思维的变化.
(1)已知直线a,b,c,若a⊥b,b⊥c,则a与c的位置关系为________.
平行、相交或异面
解析:
在同一个平面内,由题设条件可得a∥c,在空间中,则直线a与c的位置关系不确定,即平行、相交、异面都有可能.
(2)已知直线a和平面α,β,若α⊥β,a⊥β,则a与α的位置关系为________.
a∥α或a⊂α
易得a∥α或a⊂α.
垂直关系的证明及应用:
直接法.
(1)如图所示,在四边形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°
,∠BAD=90°
.将△ADB沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,构成三棱锥A-BCD,则在三棱锥A-BCD中,平面ADC________平面ABC.
⊥
在四边形ABCD中,由已知可得BD⊥CD,又平面ABD⊥平面BCD,
且平面ABD∩平面BCD=BD,
所以CD⊥平面ABD,所以CD⊥AB.
又AD⊥AB,AD∩CD=D,
所以AB⊥平面ADC,
所以平面ABC⊥平面ADC.
(2)如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=3,AA1=2,则四棱锥A-BB1D1D的体积为________.
6
连接AC,交BD于点O,
在长方体ABCD-A1B1C1D1中,
因为AB=AD=3,所以BD=3
,且AC⊥BD.
又因为BB1⊥底面ABCD,所以BB1⊥AC.
又DB∩BB1=B,所以AC⊥平面BB1D1D,
所以AO为四棱锥A-BB1D1D的高,且AO=
BD=
因为矩形BB1D1D的面积
S=BD·
BB1=3
2=6
所以四棱锥A-BB1D1D的体积
V=
S·
AO=
=6.
[典题2] 如图,四棱锥P-ABCD中,AB⊥AC,AB⊥PA,AB∥CD,AB=2CD,E,F,G,M,N分别为PB,AB,BC,PD,PC的中点.求证:
(1)CE∥平面PAD;
(2)平面EFG⊥平面EMN.
[证明]
(1)证法一:
取PA的中点H,连接EH,DH.
因为E为PB的中点,
所以EH∥AB,EH=
AB.
又AB∥CD,CD=
AB,
所以EH∥CD,EH=CD,
因此四边形DCEH是平行四边形.
所以CE∥DH.
又DH⊂平面PAD,CE⊄平面PAD,
所以CE∥平面PAD.
证法二:
连接CF.
因为F为AB的中点,所以AF=
又CD=
AB,所以AF=CD.
又AF∥CD,所以四边形AFCD为平行四边形.
因此CF∥AD.
又CF⊄平面PAD,AD⊂平面PAD,
所以CF∥平面PAD.
因为E,F分别为PB,AB的中点,
所以EF∥PA.
又EF⊄平面PAD,PA⊂平面PAD,
所以EF∥平面PAD.
因为CF∩EF=F,
故平面CEF∥平面PAD.
又CE⊂平面CEF,
(2)因为E,F分别为PB,AB的中点,
又AB⊥PA,所以AB⊥EF.
同理可证AB⊥FG.
又EF∩FG=F,EF⊂平面EFG,FG⊂平面EFG,
因此AB⊥平面EFG.
又M,N分别为PD,PC的中点,
所以MN∥CD.
又AB∥CD,所以MN∥AB,
所以MN⊥平面EFG.
又MN⊂平面EMN,
所以平面EFG⊥平面EMN.
[题点发散1] 在本例条件下,证明:
平面EMN⊥平面PAC.
证明:
因为AB⊥PA,AB⊥AC,且PA∩AC=A,
所以AB⊥平面PAC.
又MN∥CD,CD∥AB,
所以MN∥AB,所以MN⊥平面PAC.
所以平面EMN⊥平面PAC.
[题点发散2] 在本例条件下,证明:
平面EFG∥平面PAC.
因为E,F,G分别为PB,AB,BC的中点,
所以EF∥PA,FG∥AC.
又EF⊄平面PAC,PA⊂平面PAC,
所以EF∥平面PAC.
同理,FG∥平面PAC.
又EF∩FG=F,
所以平面EFG∥平面PAC.
[点石成金] 1.判定面面垂直的方法
(1)面面垂直的定义;
(2)面面垂直的判定定理(a⊥β,a⊂α⇒α⊥β).
2.在已知平面垂直时,一般要用性质定理进行转化.
在一个平面内作交线的垂线,转化为线面垂直,然后进一步转化为线线垂直.
如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,平面PAD⊥底面ABCD,PA⊥AD.E和F分别是CD和PC的中点.求证:
(1)PA⊥底面ABCD;
(2)BE∥平面PAD;
(3)平面BEF⊥平面PCD.
(1)∵平面PAD∩平面ABCD=AD,
又平面PAD⊥平面ABCD,且PA⊥AD,
PA⊂平面PAD,∴PA⊥底面ABCD.
(2)∵AB∥CD,CD=2AB,E为CD的中点,
∴AB∥DE,且AB=DE.
∴四边形ABED为平行四边形.
∴BE∥AD.
又BE⊄平面PAD,AD⊂平面PAD,
∴BE∥平面PAD.
(3)∵AB⊥AD,且四边形ABED为平行四边形,
∴BE⊥CD,AD⊥CD.
由
(1)知,PA⊥底面ABCD,CD⊂平面ABCD,
则PA⊥CD,又PA∩AD=A,
∴CD⊥平面PAD.
又PD⊂平面PAD,从而CD⊥PD,
又E,F分别为CD,CP的中点,
∴EF∥PD,故CD⊥EF.
∵EF⊂平面BEF,BE⊂平面BEF,且EF∩BE=E,
∴CD⊥平面BEF.
又CD⊂平面PCD.
∴平面BEF⊥平面PCD.
考点3 平行与垂直的综合问题
[考情聚焦] 空间线、面的平行与垂直的综合考查一直是高考必考热点.
主要有以下几个命题角度:
角度一
证明多面体中的平行与垂直关系
[典题3] 如图所示,E是以AB为直径的半圆弧上异于A,B的点,矩形ABCD所在平面垂直于该半圆所在的平面.
AE⊥EC;
(2)设平面ECD与半圆弧的另一个交点为F.求证:
EF∥AB.
[证明]
(1)∵E是半圆上异于A,B的点,
∴AE⊥EB.
又∵平面ABCD⊥平面ABE,平面ABCD∩平面ABE=AB,CB⊥AB,
∴CB⊥平面ABE.
又∵AE⊂平面ABE,∴CB⊥AE.
∵CB∩BE=B,∴AE⊥平面CBE.
又∵EC⊂平面CBE,∴AE⊥EC.
(2)∵CD∥AB,AB⊂平面ABE,
∴CD∥平面ABE.
又∵平面CDE∩平面ABE=EF,
∴CD∥EF.又∵CD∥AB,∴EF∥AB.
角度二
探索性问题中的平行与垂直关系
[典题4] 如图,在三棱台ABC-DEF中,CF⊥平面DEF,AB⊥BC.
(1)设平面ACE∩平面DEF=a,求证:
DF∥a;
(2)若EF=CF=2BC,试问在线段BE上是否存在点G,使得平面DFG⊥平面CDE?
若存在,请确定点G的位置;
若不存在,请说明理由.
(1)[证明] 在三棱台ABC-DEF中,AC∥DF,AC⊂平面ACE,DF⊄平面ACE,
∴DF∥平面ACE.
又∵DF⊂平面DEF,
平面ACE∩平面DEF=a,
∴DF∥a.
(2)[解] 线段BE上存在点G,且BG=
BE,使得平面DFG⊥平面CDE.证明如下:
取CE的中点O,连接FO并延长交BE于点G,连接GD,
∵CF=EF,∴GF⊥CE.
在三棱台ABC-DEF中,AB⊥BC