人教版九年级圆的性质知识点.doc

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圆的有关性质

学生姓名：

就读年级：

九年级

任课教师：

教导处签名：

日期：

2017年10月21日

课题

圆的有关性质

教学目标

1、在探索的过程中，能从两种不同的角度理解圆的概念

2、了解弦、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等于圆有关的概念，理解概念之间的区别与联系。

3、能够通过图形直观地认识弦、弧等概念，能够从具体图形中识别出与圆有关的一些元素。

知识要点及重难点

重点：

圆的概念的解析与应用

难点：

圆的有关概念的解析

作业评价

○好○很好○一般○差

备注：

作业布置

学生课后评价（学生填写）

学生对本次课的评价：

1、学习心情：

□愉悦□紧张□沉闷

2、学习收获：

□很大□一般□没有

3、教学流程：

□清晰□一般□混乱

4、其它：

。

家长反馈

签名：

日期：

年月日

一、课前复习

1、旋转

2、中心对称

3、中心对称图形

4、求关于原点对称的点的坐标

二、新课导入

初中阶段我们有几种几何是必须掌握的：

三角形，四边形，圆。

关于前两个已经在前期的学习中接触过了，那么本章我们将重点学习圆的相关性质以及相关的知识点，本章也是中考内容中的重点部分，所以需要打起精神，认真将知识点掌握并灵活应用起来。

三、新课讲授

圆的有关性质

知识点1圆的定义以及表示方法（重点；理解）

1、描述性定义

在一个平面内，线段OA绕它固定一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆，其中固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。

2、集合性定义

圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；

3、圆的表示方法

以点O为圆心的圆，记作“⊙”，读作“圆”

命题1圆的定义的理解

例1：

下列条件中，能确定圆的是（）

A.以已知点O为圆心B.以1cm长为半径

C.经过已知点A，且半径为2cmD.以点O为圆心，1cm为半径

针对练习：

1、与已知点A的距离为3cm的点所组成的平面图形是______.

命题点2判断四点共圆的问题

例2：

矩形的四个顶点能否在同一个圆上?

如果不在,说明理由;如果在,指出这个圆的圆心和半径.

已知,四边形ABCD是矩形,判断A、B、C、D这四个点能否在同一个圆上?

如果不在,说明理由;如果在,指出这个圆的圆心和半径。

证明：

连接AC,BD

∵四边形ABCD是矩形对角线AC与BD交于点O

∴ AO=CO=12×ACBO=DO=12×BD

∵四边形ABCD是矩形

∴AC=BD（矩形的对角线相等）

∵ AO=CO=12×ACBO=DO=12×BD AC=BD

∴AO=BO=CO=DO

∵AO=BO=CO=DO

∴A、B、C、D这四个点在以点O为圆心,OA为半径的同一个圆上

针对练习：

1、如图，四边形ABCD的一组对角∠ABC、∠ADC都是直角。

求证：

A.B.C. D四点在同一个圆上。

知识点2圆的有关概念（重点；理解）

（1）弦：

连结圆上任意两点的线段叫做弦

（2）直径：

经过圆心的弦叫做直径，并且直径是同一圆中最长的弦，直径等于半径的2倍．

（3）弧：

圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，以为端点的弧记作，读作弧AB。

（4）半圆：

圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆。

（5）等圆：

能够重合的两个圆叫做等圆。

（6）等弧：

在同圆或等圆中，能够重合的弧叫做等弧。

命题3：

圆的有关概念的应用

例3：

下列说法正确的是（）

A长度相等的弧叫做等弧B半圆不是弧

C直径是弦D过圆心的线段是直径

解析：

主要考查对先、弧、等弧以及直径的概念的理解。

类型题圆的半径的应用

考查角度1：

利用同圆的半径相等求角度

例1：

如图,AB是O的直径,C是O上一点,∠BOC=44∘，则∠A的度数为___度。

解析：

利用同圆半径相等，所对的角也相等。

针对练习：

1、如图，AB是O的直径，D. C在O上，AD∥OC，∠DAB=60∘，连接AC，则∠DAC等于（ ）

A. 15∘B. 30∘C. 45∘D. 60∘

考查角度2：

利用同圆的半径相等比较线段大小

2、如图,正方形ABCD的边长为1,其中DEˆ,EFˆ,FGˆ的圆心依次是点A，B，C.连接GB和FD，则GB与FD的关系是___.

解析：

根据同圆的半径相等可以得BC=DC，CG=CF，又∠FCD=∠GCB=90°由此可以得到则△FCD≌△GCB，由此推出GB=FD，∠G=∠F，∴∠G+∠CDF=∠F+∠CDF=90°，由此即GB与FD的关系．

针对练习：

2、如图所示：

点M、G、D在半圆O上，四边形OEDF、HMNO均为矩形，EF=b，NH=c，则b与c之间的大小关系是（ ）

A. b>cB. b=cC. c>bD. b与c的大小不能确定

考查角度3：

利用同源半径向更解决实际问题

例3：

如图，某部队在灯塔A的周围进行爆破作业，A的周围3km内的水域为危险区域，有一渔船误入离A处2km的B处，为了尽快驶离危险区域，该船应沿哪条航线方向航行?

为什么?

解析：

该船应沿航线AB方向航行离开危险区域

理由如下：

如图，设航线AB交⊙A于点C，在⊙A上任取一点D（不包括C关于A的对称点）

连接AD、BD；

在△ABD中，

∵AB+BD>AD，AD=AC=AB+BC，

∴AB+BD>AB+BC，

∴BD>BC.

答：

应沿AB的方向航行。

针对练习：

3、由于过度采伐森林和破坏植被，我国部分地区频频遭受沙尘暴的侵袭.近日，A城气象局测得沙尘暴中心在A城的正西方向240km的B处，以每小时12km的速度向北偏东60°的方向移动，距沙尘暴中心150km的范围为受影响区域.

（1）A城是否受到这次沙尘暴影响？

为什么?

（2）若A城受到这次沙尘暴影响，那么遭受影响的时间有多长?

垂直于弦的直径

知识点1：

圆的对称性（了解）

圆既是中心对称图形，又是轴对称图形，也是旋转对称图形。

知识点2：

垂径定理及其推论（重点，难点；掌握）

垂径定理：

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．

平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；

垂径定理的推论：

平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

命题点1：

利用垂径定理判定结论

例1：

在O上作一条弦AB,再作一条与弦AB垂直的直径CD,CD与AB交于点E,则下列结论中不一定正确是（）

A. AE=BEB. ACˆ=BCˆC. CE=EOD. ADˆ=BDˆ

解析：

据垂径定理，垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两段弧得出结论．

针对练习：

1、如图,已知直径MN⊥弦AB,垂足为C,下列结论：

①AC=BC;②ANˆ=BNˆ;③AMˆ=BMˆ;④AM=BM.其中正确的个数为（）

A. 1B. 2C. 3D. 4

命题点2：

利用垂径定理求弦长或半径

例2：

如图，AB为O的弦，O的半径为5，OC⊥AB于点D，交O于点C，且CD=1，则弦AB的长是___.

解析：

连接AO，得到直角三角形，再求出OD的长，就可以利用勾股定理求解．

针对练习：

2、（2014⋅毕节地区）如图，已知的半径为13，弦AB长为24，则点O到AB的距离是（ ）       

A. 6B. 5C. 4D. 3

类型题1：

应用垂径定理解决最值问题

考查角度1：

利用垂径定理和垂线最短解决问题

例1：

如图，⊙ O 的直径是 10 ，弦 AB ＝ 8 ， P 是弦上的一个动点，那么 OP 长的取值范围是_______．

解析：

找到最短与最长的点所在的位置，根据勾股定理可求出长度

针对练习

1、如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为6，M是AB上的动点，则线段OM长的最小值为（　　）

A.2B.3C.4D.5

考查角度2：

利用垂径定理解决线段和最短问题

例2：

如图，AB、CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB=8，CD=6，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上的任意一点，则PA+PC的最小值为______.

解析：

A、B两点关于MN对称，因而PA+PC=PB+PC，即当B、C、P在一条直线上时，PA+PC的最小，即BC的值就是PA+PC的最小值

解：

连接OA，OB，OC，作CH垂直于AB于H.

根据垂径定理,得到BE=12AB=4,CF=12CD=3，

∴OE=OB2−BE2−−−−−−−−−√=52−42−−−−−−=3，

OF=OC2−CF2−−−−−−−−−−√=52−32−−−−−−=4，

∴CH=OE+OF=3+4=7，

BH=BE+EH=BE+CF=4+3=7，

在直角△BCH中根据勾股定理得到BC=7，

则PA+PC的最小值为7

故答案为：

7

针对练习：

2、在⊙O中,AB是⊙O的直径,AB=8cm,ACˆ=CDˆ=BDˆ，M是AB上一动点，CM+DM的最小值是______cm.

类型题2：

利用垂径定理解决实际问题

例2、把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图，已知圆心为O，EF=CD=16厘米，则⊙O的半径为多少厘米?

解析：

如图，过点O作OM⊥AD于点M，连接OF，设OF=x，则OM是16-x，MF=8，然后在直角三角形MOF中利用勾股定理求得OF的长即可．

针对练习：

2、温州是著名水乡,河流遍布整个城市。

某河流上建有一座美丽的石拱桥（如图）.已知桥拱半径OC为5m,水面宽AB为4√6m,则石拱桥的桥顶到水面的距离CD为（ ）

A. 4√6mB. 7m

C. 5+√6mD. 6m

类型题3：

垂径定理与平面直角坐标系的综合应用

例3：

如图,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,点P在第一象限,⊙P与x轴交于O,A两点,点A的坐标为（6,0）,⊙P的半径为√13，则点P的坐标为______.

解析：

过点P作PD⊥x轴于点D，连接OP，先由垂径定理求出OD的长，再根据勾股定理求出PD的长，故可得出答案．

针对练习：

3、半径为6的⊙E在直角坐标系中,与x轴交于A,B两点,与y轴交于C,D两点,已知C（0,3）,D（0,-7）,求