人教版九年级上册数学复习资料.docx

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2018年湛江市中考数学科复习考点

九年级上册考点

第一章一元二次方程

1、一元二次方程的概念：

等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程。

一元二次方程的解就叫一元二次方程的根。

2、一元二次方程的一般形式：

a2x+bx+c=0（a、b、c分别为二次项系数；一次项系数；常数项）

3、三种解一元二次方程的方法：

（1）、配方法

例：

2x2+1=3x（解法在课本P7）

（2）、公式法

求根公式：

x=-b±b2-4ac2a;判别式公式：

△=b2-4ac

（3）、因式分解法（包括：

提公因式法；完全平方公式及平方差公式法；十字相乘法）

例：

3x2+6x=0;x2-4x+4=0;9X2-1=0;X2-5X+6=0

解:

3x（x+2）=0解:

（x-2）2=0解:

（3x-1）（3x+1）=0解:

（x+2）（x-3）=0

x1=0;x2=-2x1=x2=2x1=x=13;x2=-13x1=-2;x2=3

4、韦达定理

如果方程a2x+bx+c=0有两根：

x1与x2，那么x1+x2=-ba;x1.x2=ca

5、用一元二次方程解实际问题（应用题）

步骤：

1、根据题意设未知数（x）;2、根据题中数量关系列一元二次方程；

3、解方程（不符合题意的解舍去）；4、做答

第二章二次函数

知识点一：

二次函数的定义

1．二次函数的定义：

一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数．

其中是二次项系数，是一次项系数，是常数项．

知识点二：

二次函数的图象与性质抛物线的三要素：

开口、对称轴、顶点

2.二次函数的图象与性质

（1）二次函数基本形式的图象与性质：

a的绝对值越大，抛物线的开口越小

（2）的图象

与性质：

上加下减

（3）的图象与性质：

左加右减

（4）二次函数的图象与性质

3.二次函数的图像与性质

（1）当时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为．

当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；当时，有最小值．

（2）当时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为．

当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，有最大值．

4.二次函数常见方法指导

（1）二次函数图象的画法

①画精确图五点绘图法（列表-描点-连线）

利用配方法将二次函数化为顶点式，确定其开口方向、对称轴及顶点

坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.

②画草图抓住以下几点：

开口方向，对称轴，与轴的交点，顶点.

（2）二次函数图象的平移

平移步骤：

①将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；

②可以由抛物线经过适当的平移得到具体平移方法如下：

③平移规律：

概括成八个字“左加右减，上加下减”．

（3）用待定系数法求二次函数的解析式

①一般式：

.已知图象上三点或三对、的值，通常选择一般式.

②顶点式：

.已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式.

③交点式：

.已知图象与轴的交点坐标、，通常选择交点式.

（4）求抛物线的顶点、对称轴的方法

①公式法：

，∴顶点是，对称轴是直线.

②配方法：

运用配方的方法，将抛物线的解析式化为的形式，得到顶点为（,），对称轴是直线.

③运用抛物线的对称性：

由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.

（5）抛物线中，的作用

①决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样.

②和共同决定抛物线对称轴的位置

由于抛物线的对称轴是直线，故

如果时，对称轴为轴；

如果（即、同号）时，对称轴在轴左侧；

如果（即、异号）时，对称轴在轴右侧.

③的大小决定抛物线与轴交点的位置

当时，，所以抛物线与轴有且只有一个交点（0，），故

如果，抛物线经过原点；

如果,与轴交于正半轴；

如果,与轴交于负半轴.

知识点三：

二次函数与一元二次方程的关系

5.函数，当时，得到一元二次方程，那么一元二次方程的解就是二次函数的图象与轴交点的横坐标，因此二次函数图象与轴的交点情况决定一元二次方程根的情况.

（1）当二次函数的图象与轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根；

（2）当二次函数的图象与轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根；（3）当二次函数的图象与轴没有交点，这时，则方程没有实根.

通过下面表格可以直观地观察到二次函数图象和一元二次方程的关系：

的图象

的解

方程有两个不等实数解

方程有两个相等实数解

方程没有实数解

6.拓展：

关于直线与抛物线的交点知识

（1）轴与抛物线得交点为.

（2）与轴平行的直线与抛物线有且只有一个交点（,）.

（3）抛物线与轴的交点

二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程的两个实数根.抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：

①有两个交点抛物线与轴相交；

②有一个交点（顶点在轴上）抛物线与轴相切；

③没有交点抛物线与轴相离.

（4）平行于轴的直线与抛物线的交点

同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为，则横坐标是的两个实数根.

（5）一次函数的图像与二次函数的图像的交点，由方程组的解的数目来确定：

①方程组有两组不同的解时与有两个交点;

②方程组只有一组解时与只有一个交点；

③方程组无解时与没有交点.

（6）抛物线与轴两交点之间的距离：

若抛物线与轴两交点为，由于、是方程的两个根，故

知识点四：

利用二次函数解决实际问题

　　7.利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义.

　　利用二次函数解决实际问题的一般步骤是：

（1）建立适当的平面直角坐标系；

（2）把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来；

　　（3）用待定系数法求出抛物线的关系式；

（4）利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题.

第三章旋转

知识点一旋转的概念

1.旋转的定义：

把一个图形绕着某一O转动一个角度的图形变换叫做旋转

点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角

.如果图形上的点A经过旋转变为点A′，那么，这两个点叫做这个旋转的对应点

.重点突出旋转的三个要素：

旋转中心、旋转方向和旋转角度

2.旋转的性质：

（1）对应点到旋转中心的距离相等；

（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；

（3）旋转前后的图形全等

3.作图：

在画旋转图形时，要把握旋转中心与旋转角这两个元素

.确定旋转中心的关键是看图形

在旋转过程中某一点是“动”还是“不动”，不动的点则是旋转中心；确定旋转角度的方

法是根据已知条件确定一组对应边，看其始边与终边的夹角即为旋转角

作图的步骤：

1）连接图形中的每一个关键点与旋转中心； 

（2）把连线按要求绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）；

 （3）在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；

第一章 （4）连接所得到的各对应点.

知识点二、中心对称与中心对称图形

 1.中心对称：

把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心．这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．

2.中心对称的两条基本性质：

（1）关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分．

（2）关于中心对称的两个图形是全等图形．

3.中心对称图形

把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么

这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 

 4.中心对称和中心对称图形的区别与联系

 中心对称中心对称图形

区别 ①指两个全等图形之间的相互位置关系①指一个图形本身成中心对称

②对称中心不定②对称中心是图形自身或内部的点

联系：

 如果将中心对称的两个图形看成一个整体（一个图形），那么这个图形就是中心对称图形．

 如果把中心对称图形对称的部分看成是两个图形，那么它们又关于中心对称．

 5. 关于原点对称的点的坐标特征：

关于原点对称的两个点的横、纵坐标均互为相反数.即P（x,y）关于原点的对称点Q（-x,-y）的坐标为，反之也成立

知识点三、平移、轴对称、旋转

 1.平移、旋转、轴对称之间的对比

三、规律方法指导

1.在学习了图形平移、轴对称的基础上，学习图形旋转的有关知识，要注意处理好如

下三个问题：

（1）先复习图形平移、轴对称的有关内容，学习时要采用对比的方法；

（2）在对图形旋转性质探索过程中，要从图形变换前后的形状、大小和位置关系上入手

分析，发现图形旋转的特性、对应关系、旋转中心和旋转方向；

（3）利用旋转设计简单的图案，通过具体画图操作，掌握旋转图形的方法、技巧

2.学习中心对称时，注意采用如下方法进行探究：

（1）实物分析法：

观察具体事物的特征，结合所学知识，分析它们的共同特征和联系；

（2）类比分析法：

中心对称是一个图形旋转180°后能和另一个图形重合，离不开旋转的知识，因此要类比着进行学习，以提升对图形变换知识的掌握；

（3）理论联系实际：

在学习中可以通过具体画图操作，以及对具体事物的分析、归纳总

结出中心对称的有关知识

第四章圆

考点一、圆的相关概念

1、圆的定义

在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。

2、圆的几何表示

以点O为圆心的圆记作“⊙O”，读作“圆O”

考点二、弦、弧等与圆有关的定义

（1）弦

连接圆上任意两点的线段叫做弦。

（如图中的AB）

（2）直径

经过圆心的弦叫做直径。

（如途中的CD）

直径等于半径的2倍。

（3）半圆

圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。

（4）弧、优弧、劣弧

圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。

弧用符号“⌒”表示，以A，B为端点的弧记作“”，读作“圆弧AB”或“弧AB”。

大于半圆的弧叫做优弧（多用三个字母表示）；小于半圆的弧叫做劣弧（多用两个字母表示）

考点三、垂径定理及其推论（重要）

垂径定理：

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。

推论1：

（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。

（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。

*推论2：

圆的两条平行弦所夹的弧相等。

考点四、圆的对称性

1、圆的轴对称性

圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。

2、圆的中心对称性

圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。

考点五、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理

1、圆心角

顶点在圆心的角叫做圆心角。

2、弦心距

从圆心到弦的距离叫做弦心距。

3、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦想等，